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2014高中数学 3.2复数的四则运算素材 新人教a版选修2-2数系由实数系扩充到复数系之后，实数系中哪些公式和法则仍然成立，哪些不成立，又有哪些新的公式和法则，是同学们不易弄清的问题，以下给出几则在复数系中仍然成立的公式和法则及几个新的公式和法则，并简单举例说明其应用.一、中点公式：a点对应的复数为，点对应的复数为，点为两点的中点，则点对应的复数为，即例1四边形是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别为，求点对应的复数解：由已知应用中点公式可得的中点对应的复数为，所以点对应的复数为二、根与系数的关系：若实系数方程的两复根为，则有，推论：若实系数方程有两虚数根，则这两个虚数根共轭例2方程的一个根为，求实数，的值解：已知实系数方程的一个根为，由推论知方程的另一根为，由根与系数的关系可知，三、相关运算性质：为实数，为纯虚数；对任意复数有；，特别地有；例3设，且，求证为实数证明：由条件可知，则，所以，所以为实数四、两则几何意义：的几何意义为点到点的距离；中所对应的点为以复数所对应的点为圆心，半径为的圆上的点例4若，且，则的最小值为解：即，对应的点为到点的距离为定值1的所有的点，即以为圆心，1为半径的圆上的点即，为圆上的点与点之间的距离减去圆的半径，可得结果为3复数与平行四边形家族菱形、矩形、正方形等特殊的平面几何图形与某些复数式之间存在某种联系及相互转化的途径在求解复数问题时，要善于考察条件中给定的或者是通过推理所得的复数形式的结构特征，往往能获得简捷明快、生动活泼的解决方法下面略举几例，以供参考一、复数式与长方形的转化例1复数，满足，证明：解析：设复数，在复平面上对应的点为，由知，以，为邻边的平行四边形为矩形，故可设，所以例2 已知复数，满足，且，求与的值解析：设复数，在复平面上对应的点为，由于，故，故以，为邻边的平行四边形是矩形，从而，则；二、复数式与正方形的转化例3已知复数满足，且，求证：证明：设复数在复平面上对应的点为，由条件知，以，为邻边的平行四边形为正方形，而在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线，所以点评：复数与向量的对应关系赋予了复数的几何意义，复数加法几何意义的运用是本题考查的重点三、复数式与菱形的转化例4已知，求解析：设复数，在复平面上对应的点为，由知，以，为邻边的平行四边形是菱形，考虑到时，；时，无意义，故使为纯虚数的充要条件是，且，复数的加减法符合平行四边形法则，是复数与平行四边形家族联姻的前
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