勾股定理与全等三角形.doc

1、已知：如图，ABC中，C=90，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DEDF求证：AE2+BF2=EF22、如图，ACB和ECD都是等腰直角三角形，ACB=ECD=90，D为AB边上一点，求证：（1）ACEBCD；（2）AD2+DB2=DE23、如图，ABC中，AB=BC，BEAC于点E，ADBC于点D，BAD=45，AD与BE交于点F，连接CF（1）求证：BF=2AE；（2）若CD= 2，求AD的长4、如图，已知点D在AB上，ABC和ADE都是等腰直角三角形，ABC=ADE=90，且M为EC的中点（1）求证：BMD为等腰直角三角形（思路点拨：考虑M为EC的中点的作用，可以延长DM交BC于N，构造CMNEMD，于是ED=CN=DA，即可以证明BND也是等腰直角三角形，且BM是等腰三角形底边的中线就可以了）请你完成证明过程：（2）将ADE绕点A再逆时针旋转90时（如图所示位置），BMD为等腰直角三角形的结论是否仍成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由1、证明：延长ED到G，使DG=DE，连接EF、FG、CG，如图所示：DF=DF，EDF=FDG=90，DG=DEEDFGDF（SAS），EF=FG又D为斜边BC中点BD=DC又BDE=CDG，DE=DG BDECDG（SAS） BE=CG，B=BCG ABCGGCA=180-A=180-90=90在RtFCG中，由勾股定理得：FG2=CF2+CG2=CF2+BE2EF2=FG2=BE2+CF2证明：过点A作AMBC，交FD延长线于点M，连接EMAMBC，MAE=ACB=90，MAD=BAD=BD，ADM=BDF，ADMBDFAM=BF，MD=DF又DEDF，EF=EMAE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF22、证明：（1）ACB=ECD，ACD+BCD=ACD+ACE，即BCD=ACEBC=AC，DC=EC，ACEBCD（2）ACB是等腰直角三角形，B=BAC=45度ACEBCD，B=CAE=45DAE=CAE+BAC=45+45=90，AD2+AE2=DE2由（1）知AE=DB，AD2+DB2=DE23、解答：（1）证明：ADBC，BAD=45，ABD是等腰直角三角形，AD=BD，BEAC，ADBC，CAD+ACD=90，CBE+ACD=90，CAD=CBE，在ADC和BDF中，CADCBEADBDADCBDF90，ADCBDF（ASA），BF=AC，AB=BC，BEAC，AC=2AE，BF=2AE；（2）解：ADCBDF，DF=CD=2，在RtCDF中，CF=DF2+CD2=22+22=2，BEAC，AE=EC，AF=CF=2，AD=AF+DF=2+24、解答：（1）证明：延长DM交BC于N，EDA=ABC=90，DEBC，DEM=MCB，在EMD和CMN中DEMNCMEMCMEMDNMC，EMDCMN，CN=DE=DA，MN=MD，BA=BC，BD=BN，DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线，BMDM，DBM=12DBN=45=BDM， BMD为等腰直角三角形（2）解：BMD为等腰直角三角形的结论仍成立，证明：作CNDE交DM的延长线于N，连接BN，E=MCN=45，DME=NMC，EM=CM，EMDCMN（ASA），CN=DE=DA，MN=MD，在DBA和NBC中DACNDABBCN，BABCDBANBC，DBA=NB