高等代数期末试题及解答xxl.doc

西南财经大学2010 2011学年第二学期 周二学 号 评定成绩 （分）学生姓名 担任教师 高等代数 期末 A 卷一、 填空（每小题2分，共10分）1.设向量空间，则V是 n-1 维空间。2A，B均为3阶方阵，A的特征值为1，2，3，则 -84 3设二次型正定，则t满足。 4设矩阵A满足条件，则矩阵A的特征值是 2 ，3 5三维线性空间V的秩为2，则零度为 1 。二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分） 1设是n阶可逆矩阵A的属于特征值的特征向量，在下列矩阵中，不是（ D ）的特征向量 （A） （B）-3A （C） （D）2已知A，B为同阶正交矩阵，则下列（ C ）是正交阵。 （A） （B）A-B （C） （D）3， 设A为n 阶方阵，则下列结论不成立的是（ C ）（A）若A可逆，则矩阵A的属于特征值的特征向量也是矩阵的属于特征值的特征向量（B）若矩阵A存在属于特征值的n个线性无关的特征向量，则（C）矩阵A的属于特征值的全部特征向量为齐次线性方程组的全部解（D）A与有相同的特征值4若A为n阶实对称矩阵，P为n阶正交阵，则为（ A ）。 （A）实对称阵 （B）正交阵 （C）非奇异阵 （D）奇异阵5设A，B都是正定阵，则（ C ） （A）AB，A+B一定都是正定阵 （B）AB是正定阵，A+B不一定是正定矩阵 （C）AB不一定是正定阵，A+B是正定阵 （D）AB，A+B都不是正定阵6当（ C ）时，是正交阵。 （A） （B） （C） （D）7设A，B均为n阶矩阵，且A与B合同，则( D) （A）A,B有相同的特征值 （B）A,B 相似 （C） （D）8. 上的线性变换T在基下的矩阵为 则基在下的矩阵为（ A ）（A） （B） （C） （D）9对于阶实对称矩阵，结论（ C ）正确。（A）一定有个不同的特征值（B）一定有个相同的特征值（C）必存在正交矩阵P，使成为对角矩阵（D）的不同特征值所对应的特征向量不一定是正交的10 设矩阵A，B，C均为n阶矩阵，则矩阵 的充分条件是（C）（A）与B有相同的特征值（B）与B有相同的特征向量（C）与B与同一矩阵相似（D）一定有个不同的特征值三、计算题（每小题8分，共64分）1.设n阶矩阵 求的特征值和特征向量，并判断A是否相似于对角阵解： 所以A的特征值为 （3分）代入特征值，A的特征向量为（2分）代入特征值，A的特征向量为 （2分）A有n个线性无关的特征向量，所以A可以对角化 （1分）2已知向量是矩阵的逆矩阵的特征向量，求常数k。解：由于向量是矩阵的逆矩阵的特征向量，所以也是矩阵A的特征向量，根据特征值和特征向量的定义，得： ，（3分）代入得 ，（2分）得方程组 解得：（2分）所以当时，向量是的特征向量（1分）3设 4维空间的两组基为（A）（B）1）求基（A）到（B）的过渡矩阵2）求向量在（A）下的坐标。解：1）过渡矩阵 对矩阵作初等变换化为行最简形得（2分）所以过渡矩阵 （2分）2）（2分）故在A下的坐标为 （2分）4设 为线性空间的一组基，线性变换T在基下的矩阵为在基下的坐标为，求在基下的坐标。解：（4分）所以在基下的坐标 （4分5设矩阵，已知有3个线性无关的特征向量，是的二重特征值，试求可逆矩阵P，使得为对角阵解：因为有3个线性无关的特征向量，是的二重特征值，故A的属于线性无关的特征向量必有两个，秩 ( 2分 ) 经行初等变换得：解得 （2分）所以矩阵，求得特征值对于特征值，解得特征向量 （ 2分）的特征向量 所以可逆矩阵则有 （2分）6设矩阵，矩阵，其中k为实数，求对角阵，使B与相似，并求k为何值时，B为正定阵解：先求A的特征值，得 得A的特征值（2分）故得B的特征值 （2分）所求对角阵 （2分）当 B为正定阵（2分）7已知三阶实对称矩阵A的三个特征值为8，2，2，对应特征值的特征向量为，求：（1）对应的特征向量；（2）问A是否与对角矩阵相似，若相似，给出与之相似的对角矩阵，并求出矩阵P，使。解：由题意与正交，令 得方程组解得 （3分）由于A有三个线性无关的特征向量，所以A与对角矩阵相似, （2分）,使。 （3分）8将二次型化为标准型，并写出变换矩阵。解：二次型的矩阵为，则的特征多项式 （1分）由此得的特征值（1分）对于，解齐次线性方程组，得基础解系 （1分）对于，得特征向量 （1分）正交化，单位化得： （1分）对角阵 （1分）所以得正交变换的矩阵为 （1分）二次型