第一次校内选拔错题比较多的试题答案.pdf

2012 年天津市大学生数学竞赛 天津大学校内培训班第一次选拔考试试题以及答案 考试时间 2012 年 3 月 10 日 2012 年天津市大学生数学竞赛 天津大学校内培训班第一次选拔考试试题以及答案 考试时间 2012 年 3 月 10 日 2 凹凸性 设 1 xxxf 则 A 0 x是 xf的极值点 但不是曲线 0 0 xfy 的拐点 B 0 x不是 xf的极值点 但是曲线 0 0 xfy 的拐点 C 0 x是 xf的极值点 且是曲线 0 0 xfy 的拐点 D 0 x不是 xf的极值点 也不是曲线 0 0 xfy 的拐点 解 10 1 10 1 2 2 xxxxxx xxxxx xf 或 12 21 x x xf 10 10 xx x 或 2 2 xf 10 10 xx x 或 在 0 的两侧 x f 异号 故 0 是 x f 的极值点 又点两侧 凸凹性不同 0 0 0 x 两侧 x f 异号 所以是曲线 0 0 xfy 的拐点 应选 C 5 设 在 xf xg 内有定义 为连续 且 xf0 xf 有间断点 则下列函数中必有间断点为 xg A B C D xfg 2 xg xgf xf xg 解 A B C 不成立可用反例 D 成立 可用反证法 假若不然 1 xf 0 0 1 1 x x xg xh xf xg 没有间断点 那么 xhxf xg 为两个连续函数乘积 一定连 续故矛盾 所以 xf xg 一定有间断点 二 填空题 本题15分 每空5分 请将最终结果填在相应的横线上面 6 用定积分定义求极限 设1p 则 1 12 lim ppp p n n n 解 原式 1 1 lim p n n k k nn 1 0 p x dx 1 1p 7 用夹逼定理求极限 1 3 521 lim 2 4 62 n n n 解 令 1 3 521 2 4 62 n n x n 2 42 3 521 n n y n 则 0 xn yn 于是 2 1 0 21 nnn xx y n 由夹逼定理可知 2 lim0 n x x 于是原极限为 0 8 定积分 1 52 1 ln 1 xx Ix xeexxdx 解 1 xx f xee 是奇函数 2 112 xx eef x ln 1 fxfxxx 是奇函数 22 2 2 2 1 ln 1 ln 1 xx fxxx xx 2 2 ln1 ln 1 xxfx 1 因此 2 ln 1 xx x eexx 是奇函数 于是 11 66 10 2 02 7 Ix dxx dx 三 本题三 本题 10 分 分 设函数在点的某邻域内具有二阶导数 且 xf0 x 3 e 1 0 1lim x x x xf x 求 0 f 0 f 0 f 及 x x x xf 1 0 1lim 解 因为 x xf x x x x x x xf x 1ln 1 lim 1 0 30 e 1lime 所以 3 1ln 1 lim 0 x xf x x x 由无穷小比较 可知 0 1lnlim 0 x xf x x 以 及 3 lim 0 x x xf x x 从而 3 1 2 x xf 其中0lim 0 x 即 2 22 xoxxf 由此可得 0 0 f0 0 f 4 0 f 并有 2 1 22 0 1 0 e 2 1lim 1lim x x x x x xox x xf 五 五 本题 10 分 计算 dx x 32 1 1 解 令tanxt 则 1 4 2 00 ln 1 ln 1tan 1 x dx It dt x 令 4 ut 则 444 000 ln2 ln 1tan ln2ln 1tan ln 1tan 4 It dtuduu du 于是有 ln2 8 I 七七 20 分 证明不等式 2 设函数 f x在 01 上二阶可导 且 0010fff 11f 求证 存在 使得 0 1x 4fx 证 先把 f x在处展成拉格朗日型余项的一阶泰勒公式 0 x 2 1 1 00 2 f xffxfx 1 0 x 再把 f x在处展成拉格朗日型余项的一阶泰勒公式 1x 2 2 1 1111 2 f xffxfx 2 1 x 在上面两个公式中皆取 1 2 x 则得 1 11 28 ff 1 1 0 2 2 11 1 28 ff 2 1 1 2 2 3 八 八 求两条不平行直线 1 11 112