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3 2数学归纳法的应用 1 用数学归纳法证明不等式运用数学归纳法证明不等式的两个步骤实际上是分别证明两个不等式 尤其是第二步 一方面需要我们充分利用归纳假设提供的 便利 另一方面还需要结合运用比较法 综合法 分析法 反证法和放缩法等其他不等式的证明方法 点拨在用数学归纳法证明不等式的问题中 从 n k 到 n k 1 的过渡 利用归纳假设是比较困难的一步 它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样 只需拼凑出所需要的结构来 而证明不等式的第二步中 从 n k 到 n k 1 只用拼凑的方法 有时也行不通 因为对不等式来说 它还涉及 放缩 的问题 它可能需通过 放大 或 缩小 的过程 才能利用归纳假设 因此 我们可以利用 比较法 综合法 分析法 等来分析从 n k 到 n k 1 的变化 从中找到 放缩尺度 准确地拼凑出所需要的结构 做一做1用数学归纳法证明 2n n2 1对于n n0的正整数n都成立 时 第一步证明中的起始值n0应取 a 2b 3c 5d 6解析 取n 1 2 3 4 5 6 7计算知n0 5 答案 c 2 贝努利不等式对任何实数x 1和任何正整数n 有 1 x n 1 nx 做一做2设n n 求证 3n 2n 证明 3n 1 2 n 根据贝努利不等式 有 1 2 n 1 n 2 1 2n 上式右边舍去1 得 1 2 n 2n 故3n 2n成立 探究一 探究二 探究三 探究一用数学归纳法证明不等式有关自然数的不等式证明问题 可以考虑数学归纳法 其主要步骤是 1 证明当n n0 第一个自然数 时不等式成立 2 假设不等式当n k k n0 时成立 证明n k 1时不等式也成立 由 1 2 知对于n n0的一切正整数 不等式都成立 注意 使用数学归纳法证明不等式 难点往往出现在由n k时命题成立推出n k 1时命题也成立 为了完成这步证明 不仅要正确使用归纳假设 还要灵活利用问题中的其他条件以及相关知识 过去讲过的证明不等式的方法在此都可以使用 如比较法 放缩法 分析法 反证法等 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 点评利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n k到n k 1的变形 为满足题目的要求 常常要采用 放 与 缩 等手段 但是放缩要有度 这是一个难点 解决这类难题一是要仔细观察题目的结构 二是要靠经验积累 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二
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