基础物理学 刑秀文 总习题 第1,2章答案 完美版.pdf

總習題答案 習題解答之目的 是為了幫助諸位同學更有 效率的思考 更快速的學習 而不是為了你抄襲 作業方便 希望各位同學參考本解答之前 認真閱讀原 題 獨立思考 經此過程之後 再看答案 會有 更大的收穫 祝大家學習愉快 北理工珠海學院 2012 Spring 郉 秀 文 創 造 第一章質點力學 運動學 1 1 一個物體沿着直線運動 其加速度a 4 3t SI 若x0 5 v0 0 計算該 物體在t 10 s時的速度和坐標 解答 任意時刻的速度 v t v0 t 0 adt t 0 4 3t dt 4t 1 5t2 t 0 4t 1 5t2 將t 10代 得v 10 190 m s 任意時刻的座標 x t x0 t 0 v t dt 5 2t2 0 5t3 將t 10代 得x 10 705 m 1 2 質點從坐標原點開始沿着x軸運動 其速度為v t 4t sin t SI 計算該物 體在t 10 s時的加速度和坐標 解答 加速度 a 10 dv dt t 10 4 2cos t t 10 4 2 任意時刻的座標 x t x0 t 0 v t dt t 0 4t sin t dt 2t2 cos t t 0 2t2 cos t 1 將t 10代 得x 10 200 m 1 3 如下圖所示 在河堤上安裝一個高於水面h的定滑輪 用繩子通過滑輪將水面上 的船拉向岸邊 收繩的速率v0均勻不變 當船到河堤的水平距離為s時 船速vs多 大 提示 船速是距離s縮短的快慢 ds dt 收繩的速率v0是繩子縮短的快慢 總習題1 3圖 解答 令繩 的 度為l 由於繩 在縮短 所以v0 dl dt 根據幾何關繫有 l2 s2 h2 其中l s都隨着時間t變化 h是常量 等式兩邊對時間t求導數 得 2l dl dt 2s ds dt 0 即 vs ds dt l s dl dt s2 h2 s v0 1 根據 部分學生的強烈要求 我 們將完整的答案發布出來 供 大家複習 後面幾部分的完整 答案會陸續釋出 望各位同學用完後銷毀 不要 傳給下一屆同學 以免抄襲作 業 影響弟弟妹妹們的學業 切記切記 郉 秀 文 製 造 基礎物理學 總習題 答案第1章 質點力學 1 4 一個質點從靜止出發 沿半徑R 1 5 m的圓周運動 其角速度 2t 當 at an時 計算質點所走過的路程 解答 由at an可知 R d dt 2R 將已知數據R 代 得 1 5 2 4t2 1 5 t 0 707 質點轉過的 度 0 707 0 dt t2 0 707 0 0 5 路程l R 0 75 m 或者 質點的線速度v R 3t 路程 l 0 707 0 vdt 1 5t2 0 707 0 0 75 m 1 5 質點在xy平面內運動 運動方程為r 2ti t2j SI 計算 1 軌跡方程 2 t 1 s時的v a at以及an 3 t 1 s時質點所在位置的軌道曲率半徑 解答 1 x 2t y t2 軌跡x2 4y 2 v dr dt 2i 2tj v1 2i 2j a dv dt 2j a1 2j at是a在速度v 向的投影 若 是速度與加速度的夾 則 at acos a v v 4t 4 4t2 at1 2 an有兩種算法 an asin a v v 4 4 4t2 an1 2 或者 an a2 a2 t 4 4 4t2 an1 2 3 v2 1 1 an1 1 v2 1 an1 8 2 4 2 1 6 快艇在速度達到v0時關閉發動機 受到阻力而減速 其減速度大小與速度的平 方成正比 即a kv2 證明它在水面上再行駛距離x時的速度為v v0e kx 解答 dv dt kv2 dv dx dx dt dv dxv kv 2 dv dx kv dv v kdx v v0 dv v x 0 kdx v v0e kx 2 郉 秀 文 製 造 基礎物理學 總習題 答案第1章 質點力學 1 7 某質點的運動規律為x Acos t y Bsin t 其中A B 都是常量 證明 r v是常矢量 解答 r ix jy iAcos t jBsin t v dx dt i dy dt j i Asin t j Bcos t r v Acos t Bcos ti j Bsin t Asin tj i r v AB cos2 t sin2 t i j ABk 牛頓定律 1 8 粗糙的水平路面上放置質量m的重物 摩擦係數 用大小恆定的力F拽拉 拉 力與水平方向的夾角 可以變化 問 多大時重物獲得的加速度最大 解答 設地 向上的 持 為N 在垂直 向 Fsin N mg 在 平 向 Fcos N ma 上述 式整理得 ma Fcos mg Fsin 要使得加速度a最 就是要求上式右側取得極 値 根據微積分中的極値條件 d d Fcos mg Fsin 0 求解得 arctan 1 9 小球在半徑R的光滑半球形碗內作勻速圓周運動 其角速度 軌道平面水平 問軌道平面至碗底的高度多大 解答 碗對球的 持 指向碗 設其 為N 設 球與碗 的連線與垂直 向 夾 為 在垂直 向 Ncos mg 在 平 向 球有向 加速度 Nsin man m 2 Rsin 由上述 式計算得 cos g 2R h R 1 cos 2R g 2R 1 10 質量為m的子彈以v0的初速度水平射入沙土牆壁中 進入牆壁後 它受到與速 度成正比的水平摩擦阻力f kv 1 計算子彈的速度隨時間變化的函數關係 2 計算子彈射入的最大深度 3 郉 秀 文 製 造 基礎物理學 總習題 答案第1章 質點力學 解答 1 由f ma得 kv m dv dt dv v k m dt 積分得 lnv v v0 k mt v v0 e k mt 2 xm 0 vdt m k v0 0 e k mtd kt m mv0 k 最 深度也可以這樣計算 將 kv m dv dt 兩邊對時間積分 k 0 vdt m 0 dv dt dt m 0 v0 dv 上式中速度的積分就是最 深度 0 vdt xm kxm mv0 xm mv0 k 1 11 以初速度v0豎直上拋一個物體 除重力外 還受到空氣阻力f kv 計算上 升到最高點的時刻t 以及上升的最大高度H 解答 以垂直向上為正 向 由f ma得 kv mg m dv dt 為了使 分離變量法 教材附錄Ap3 1 上式兩邊同除以k 可以將其簡化為 m k dv v mg k dt 為使 常數變易法或特解法 教材附錄Ap3 2 可以化為標準形式 dv dt k mv g 我們 特解法來做 很容易求解 次 程 dv dt k mv 0 的通解為 v0 t Ce k mt 其次 尋找 個特解 顯然 若令特解v 是 個常數s 那麼代 原 程得 k ms g s mg k 所以原 程的通解為 v t Ce k mt mg k 將初始條件v0代 上式得 C v0 mg k 故原 程的通解為 v t v0 mg k e k mt mg k 4 郉 秀 文 製 造 基礎物理學 總習題 答案第1章 質點力學 令v t 0 可得出此刻的時間 t m k ln v0 mg k mg k 為了計算最 度 我們將原 程兩邊對時間積分 t 0 kv mg dt m t 0 dv dt dt k t 0 vdt mgt m 0 v0 dv kH mgt mv0 H mv0 k m2g k2 ln v0 mg k mg k 動量 1 12 超高壓水切割又稱水刀和水射流 它是將普通的水經過多級增壓後所產生的高 壓水流 再通過一個極細的紅寶石噴嘴以近千米每秒的速度噴射切割 假設噴嘴噴 出的水流速率水從高壓泵中以800 m s噴出 垂直沖擊到某固體表面後速度降為零 固體表面受到水的壓強有多大 已知水的密度 1000 kg m3 解答 設 流截 積為A 在dt時間內 射到固體表 的 流 度為vdt 其質 量dm Avdt 動量為vdm Av2dt 流 射到表 後 動量變為零 在此過 程中固體表 對於 流的衝量為Fdt 根據動量定理 Av2dt Fdt 壓強 P F A v2 6 4 108Pa 1 13 水平面上的一條水管有一個直角拐彎 已知管中的水流平均速度為2 0 m s 水 管橫截面積100 cm2 計算拐彎處受力的大小 解答 設 流截 積為A 在dt時間內 有質量dm Avdt的 從管道的 側流 並從另 側流出 由於流 流出的 流動量 相等 向垂直 故在此過程中動 量變化量的 為 2vdm 根據動量定理 2vdm Fdt F 2 Av2 56 57 N 解法 在 管上建 直 坐標系 流從y軸流 從x正 向流出 設管中 的 流的總 度為L 某時刻x 向流動的 度為x y 向流動的 度為L x 則 流的總動量為 p Axvi A L x j ALj Axv i j 在上式中 只有x是變化的 且dx dt v 根據 頓第 定律 F dp dt A dx dt v i j Av2 i j 5 郉 秀 文 製 造 基礎物理學 總習題 答案第1章 質點力學 這就是 管對 流的作 F Av2 i j 2 Av2 1 14 質量為M的砲彈以速率v0仰角 射出 當砲彈升至最高點時 水平向後射出質 量為m的碎片 二者的相對速率為u 因為碎片的射出 砲彈射程增加多少 忽略空 氣阻力 解答 在爆炸的瞬間 平動量守恆 炮彈爆炸前 平速度為v0cos 設爆炸後 炮彈的相對於地 的速度為v 則碎 相對於地 向前運動的速度為v u Mv0cos m v u M m v 整理得炮彈 平速度增 了 v v v0cos mu M 炮彈 平速度的變化並不影響垂直 向的運動 炮彈上升到最 點花費的時間和從 最 點下降的時間相同 均為 T v0sin g 平射程增加 v T muv0sin Mg 1 15 一條質量m1 100 kg長度l 3 m的小船停在水面上 質量m2 50 kg的人 從船頭走到船尾 在此過程中小船的位移多大 假定水的阻力很小 解答 解法 平動量守恆 只考慮動量 有 m1v1 m2v2 m1 t 0 v1dt m2 t 0 v2dt 速率的積分就是路程 所以 m1l1 m2l2 其中 相對於地 前 的路程l1與船相對於地 後退的路程l2之和就是船 l l1 l2 l 聯 上述兩式得 l1 m2l m1 m2 1 m 解法 以 前進的 向為正 向 平動量守恆 有 m1v1 m2v2 0 m1v1 m2 v2 v1 m2v1 0 其中 v2 v1 是 相對於船的速度 它的積分就是船 l m1l1 m2l m2l1 0 l1 m2l m1 m2 1 m 這裡的負號表 船的位移與 的位移 向相反 6 郉 秀 文 製 造 基礎物理學 總習題 答案第1章 質點力學 能量 1 16 一維空間的保守力場F 1 2x 規定Ep x 0 5 0 求此力場的勢能函 數 解答 Ep x 0 5 x Fdx 0 5 x 1 2x dx x2 x 0 25 1 17 用鐵錘將釘子敲入牆壁 設釘子受到的阻力與其釘入的深度成正比 若第一次 敲擊能釘入1 00 cm 則第二次敲擊能將釘子再釘入多深 設兩次敲擊時鐵錘的速度 相同 解答 在兩次敲擊過程中 釘 獲得的動能是相同的 為什麽 墻壁與釘 間的摩 擦 f kx做功也相同 令第 次敲擊後 釘 深度為h W 1 0 kxdx h 1 kxdx 解得h 2 第 次將釘 敲 了 2 1 0 41 cm 1 18 一顆速率為v0 700 m s的子彈 打穿第一塊木板後 速率降低為v1 500 m s 如果它繼續打穿同樣的一塊木板 速率將下降為多大 解答 穿透 板需要做功是相同的 第 次做功 W Ek 1 2m v 2 1 v 2 0 12m 10 4 1 設第 次穿透 板後 速度是v W 1 2m v 2 v2 1 2 聯 等式 1 等式 2 解得v 100 m s 1 19 輕質彈簧原始長度l0 勁度係數k 上端固定 下端懸掛質量為m的物體 若 用手托住物體 使彈簧處於原長 然後突然放手 物體下落的最大速度多大 下落 的最大距離多大 解答 機械能守恆 以初始位置為重 勢能和彈性勢能零點 初始機械能為零 設 下落l時 速度為v 則 1 2kl 2 mgl 1 2mv 2 0 位置最 時 v 0 此時 1 2kl 2 mgl 0 解得l 2mg k 1 20 如下圖所示 水平放置的輕質彈簧左端固定在牆上 右端拴着質量m的方塊 方塊與地面的摩擦係數 彈簧開始無變形 方塊受到水平向右的恆定外力F後開始 向右運動 在外力F 摩擦力以及彈性力的作用下 方塊的最大速率以及最大位移是 多少 總習題1 20圖 7 郉 秀 文 製 造 基礎物理學 總習題 答案第1章 質點力學 解答 彈簧的 是保守 除此之外 拉 F以及摩擦 mg做功等於系統機械能 的增量 Fx mgx 1 2kx 2 1 2mv 2 0 1 加速度為零時 速率達到極値 即物體受到的合 為零 F kx mg x F mg k 將上式代 式 可以轉化為 1 2mv 2 F mg x 1 2kx 2 kx x 1 2kx 2 1 2x 2 1 2k F mg k 2 v F mg mk 2 達到最 位移時 v 0 Fx mgx 1 2kx 2 x1 0 略去 x2 2 F mg k 綜合 1 21 如下圖所示 半徑R的半球形槽固定在地面上 一個很小的質量為m1物體從槽 的頂端滑下 物體與槽之間存在摩擦 已知當物體滑動到槽的底部時 物體受到向 上的支持力為N 計算下滑過程中摩擦力所做的功 總習題1 21圖 解答 在滑槽底部 由 頓定理得 N mg man mv 2 R 得滑塊的動能 Ek 1 2mv 2 1 2 NR mgR 在下落過程中 摩擦 做功等於機械能增量 Wf Ek mgR 0 1 2NR 3 2mgR 1原題中漏掉了質量m 8 郉 秀 文 製 造 基礎物理學 總習題 答案第1章 質點力學 1 22 如下圖所示 半徑R的四分之一光滑圓槽放在光滑的地面上 小滑塊從圓槽頂 端下滑 當落至底部時 相對於地面的速度多大 此時滑塊對圓槽的壓力多大 假 定圓槽與滑塊質量相等M m 總習題1 22圖 解答 滑塊運動 底部時 滑塊與圓槽之間的作 為豎直 向 因此 者 平 向均沒有加速度 以圓槽為參照物 滑塊相對於圓槽做圓周運動 在底部 滑塊相 對圓槽的速度為v V N mg m v V 2 R 在下落過程中 沒有耗散 做功 機械能守恒 mgR 1 2mv 2 1 2MV 2 滑塊與圓槽在 平 向不受外 平動量守恒 mv MV 聯 上述三式以及m M 得 v V gR N 5mg 1 23 長度為l的細線拴着一個質量為M的沙袋 動量為mv0的子彈水平射入沙袋 問 沙袋向上擺動的最大高度是多少 解答 彈打 沙袋的過程中 有內摩擦 做功 機械能不守恒 但是 平動量守 恒 mv0 m M v 沙袋與 彈上擺過程中 只有重 做功 機械能守恒 1 2 m M v 2 m M gh 解得 h 1 2g mv0 m M 2 1 24 質量M的軟木塊停在摩擦係數為 的水平面上 質量m的子彈水平射入木塊後 木塊能夠滑行s距離 問子彈的水平初速度v0多大 解答 彈打 塊的過程時間很短 摩擦 的衝量忽略 因此 平動量守恆 mv0 m M v1 者結合後 摩擦 做功 最終停 摩擦 做的功等於機械能的增加量 m M gs 0 1 2 m M v 2 1 從上述兩式中消去v1 即可得到v0 v0 m M m 2 gs 9 郉 秀 文 創 造 第二章連續介質力學 轉動慣量 2 1 根據定義計算半徑為r 質量為m的均勻細圓環繞它的一條直徑轉動的轉動慣量 解答 以環 為座標原點建 極座標 座標軸為轉軸 每個質元到極軸的距離為 l rsin 對應的圓 為d 整個圓周的 度為2 總質量為m 則該質元的質 量為dm m 2 d J L l2dm 2 0 r2sin2 m 2 d mr2 2 2 0 sin2 d mr2 2 2 0 1 cos2 2 d 1 2mr 2 2 2 已知均勻薄圓盤質量為m 半徑為R 根據平行軸定理和正交軸定理 證明若圓 盤繞它自己邊緣的一條切線旋轉 則轉動慣量為5mR2 4 解答 以圓盤中 為原點建 直 座標系 使得z軸垂直於圓盤 則Jz 1 2mR 2 根 據垂直軸定理有 Jx Jy Jz 根據對稱性可知Jx Jy 故有Jx 1 4mR 2 作切線 平 於x軸 則根據平 軸定理 J Jx mR2 5 4mR 2 2 3 在半徑為R2的均勻薄圓盤中心再挖去半徑為R1的圓盤 剩餘的圓環總質量為m 證明剩餘部分相對於中垂軸的轉動慣量為m R2 1 R 2 2 2 解答 圓盤的 密度為 m R2 2 R 2 1 將該圓盤切割為細圓環 其轉動慣量 dJ r2dm r2 2 rdr 2m R2 2 R 2 1 r3dr 總轉動慣量 J 2m R2 2 R 2 1 R2 R1 r3dr m 2 R2 2 R 2 1 另解 設圓盤的 密度為 半徑為R2的 圓盤質量為m2 R2 2 挖去的 圓 盤質量為m1 R2 1 剩餘部分的質量m R 2 2 R 2 1 圓盤的轉動慣量 J2 1 2m2R 2 2 1 2 R 4 2 圓盤的轉動慣量 J1 1 2m1R 2 1 1 2 R 4 1 剩餘部分的轉動慣量 J J2 J1 1 2 R 4 2 R 4 1 1 2 R2 2 R 2 1 R2 2 R 2 1 1 2 m R2 2 R 2 1 10 郉 秀 文 製 造 基礎物理學 總習題 答案第2章 連續介質力學 轉動定律 2 4 如下圖所示 重物的質量m1 m2 定滑輪的半徑為r 轉動慣量為J 軟繩與 滑輪之間無相對滑動 滑輪的輪軸處無摩擦 物體2與水平支撐面之間的摩擦係數為 計算重物加速度a的大小 總習題2 4圖 解答 設滑輪兩側繩 的張 分別為F1 F2 重物1加速下落 m1g F1 m1a 1 重物2向右加速 F2 m2g m2a 2 定滑輪加速轉動 F1r F2r J Ja r 3 式 1 r 2 r 3 得 m1gr m2gr r m1 m2 J r2 a a m1g m2g m1 m2 J r2 另解 假設重物下落距離l時 速率為v 則此刻滑輪的 速度 v r 根據 動能定理 重 與摩擦 做功等於系統動能增量 m1gl m2gl 1 2 m1 m2 v2 1 2J 2 化簡上式 得 m1g m2g l 1 2 m 1 m2 J r2 v2 在該式中 l與v是隨着時間變化的 兩邊對時間求導 得 m1g m2g dl dt 1 2 m 1 m2 J r2 2v dv dt 其中 dl dt v dv dt a a m1g m2g m1 m2 J r2 2 5 如下圖所示 定滑輪由兩個半徑不同的輪子拼接而成 總轉動慣量為J 半徑分 別為r1 r2 且r1 r2 1 重物的質量m1 m2 軟繩與滑輪之間無相對滑動 滑輪 的輪軸處無摩擦 計算滑輪的角加速度 的大小 總習題2 5圖 解答 設懸掛兩個重物的繩 的張 分別為F1 F2 定滑輪轉動 周 重物1下降的 距離 於重物2上升的距離 因此兩個重物運動的加速度是不同的 定滑輪的 加 1原文r1 0 故式 的右側mgh 1 2kh 2 0 從拋物線的圖像可以看出0 6 h 6 2mg k h的極 値hm 2mg k 2 11 如下圖所示 長度為D 質量為M的均勻細棒一端可以繞O點自由轉動 另一 端固定一個質量為m的小球 若系統從水平位置開始擺動 當擺動 角時 角速度多 大 14 郉 秀 文 製 造 基礎物理學 總習題 答案第2章 連續介質力學 總習題2 11圖 解答 系統的總轉動慣量J 1 3MD 2 mD2 當擺動 時 細棒的重 下降1 2Dsin 球重 下降Dsin 在下落過程中 重 做功轉化為系統的動能 Mg 1 2Dsin mg Dsin 1 2J 2 將J代 計算得 3M 6m gsin M 3m D 另解 利 重 矩做功等於動能增量 來求解 系統轉動 任意 度 時 棒的重 矩為Mg 1 2Dcos 球的重 矩為mg Dcos 重 矩做功 W 0 d 0 Mg 1 2Dcos mg Dcos d Mg