高考数学应用试题考点解析.pdf

6 4 重庆 数学教学通讯 2 0 0 4 年 6 月 下半月 总第 2 1 1 期 高考数学应用试题考点解析 四川省渠县 中学 6 3 5 2 0 0 郑兴明 重庆市兼善 中学4 0 0 7 0 0 陈怀礼 教育部考试中心颁发的数学科 考试说明 要求考 生 在数学应用方面 能阅读 理解陈述的材料 能综合 应用所学数学知识 思想和方法解决问题 包括解决带 有实际意义的或在相关学科 生产 生活中的数学问 题 并能用数学语言正确地加以表述 随着课程改革 和研究性学习课的开设 数学应用问题已成为高考的 盏 鞋 醴 窜C 毯 鞋 程 越 毯 鞋 喜 进 毒 墨 A B的垂直平分线上 即在虚轴上 除去 O O 点 为纯虚数 为负数 Z 2 例 4 已知复数 z 一1 一m i O z z y i 和c c 一X Y i 其中z Y X Y 均为实数 i 为虚数单 位 且对于任意复数z有 c c 一i i I c c I 一2 I z I 1 试求 m的值 并分别写出X 和 Y 用X 表示 的关系式 2 将 作为点P的坐标 作为点Q的 坐标 上述关系式可以看作是坐标平面上的点的一个 变换f 它将平面上的点尸变到这一平面上的点Q 当点 P在直线Y X 1 上移动时 试求点P经该变换后得 到的点Q的轨迹方程 解析 1 由题设 l c c 1 一 l 三 i 1一 l z i 1 2 l z 1 1 l 一2 于是由1 m 4 且 0 得m 3 复数 z 1 3 2 1一i 则z z 1 z 2 在 复平面内的对应点位于 象限 A 第一 B 第二 C 第三 D 第四 答案 D 4 若复数满足 l z i l l z i l 一2 那么 l z i 1 1 的最大值是 A 1 B 2 C 2 D 5 解 由题意得z的轨迹为以 O 1 O 一 1 为端点 的线段 那么 I i I I 表示 z 到点 一I 一1 的距 离 故最大值是 D 例 2 1 9 9 1 年上海高考题 设复数满足等式 l z i l 1 且z 0 z 2 i 又 复 数cc 使 得 兰 z 为实数 问复数c c 在复平面上对应点z的集合是什么图 形 解析 求复数对应点的轨迹常有两条途径 一是设 z X y i Y R 代入条件 利用复数性质得到关 于动点的方程再由解几知识去判断轨迹图形 二是利 用复数 共轭复数性质及其几何意义去获解 解 设 一 X y i z n O 则 一 c z一 2 i z Y 一 2 y 2 x i 一 rF 一 亏 由1z 1 1 得 n 2 I b 一 2 b 一0 又 z 为实数 得n z I Y 2 y 一 0 因 n O X Y 一 2 y 0 故点z的集合是 以 O 1 为圆心 1 为半径的圆 除去点 O 2 例3 已知非零复数z 1 z 满足 1 z z z 1 1 z 一 z 1 求证 一定是负数 证明 因 1 z 1 z 2 1 1 z 1 一z 2 1 且 Z 1 0 Z 2 0 在等式两边同时除以 1 z z 1 得 l卺 l l 一 l 此 方 程 表 示 卺 对 应 点 到 点 A 1 O 和点 B 一1 O 的距离相等 故点 z在线段 3 因此由X Y i 一 1 一 3 f y i 一 3 3 X y i 得关系式 X X y l一 X Y 2 设点户 在直线Y X 1 上 则其变换后 的点Q Y 满足 z 1 3 z 3 Y 一 3 1 z一 1 消去 X 得 Y 2一 3 一 2 3 2 故得Q轨迹方程为Y一 2一 3 z一 2 i 2 从以上看出 新课程卷 考试说明 对 复数的三角 形式及其运算 不作要求 这无疑降低了高考试题的难 度 近四年新课程卷复数试题均以客观题出现 难度 低 重基础 源于教材 改编例题 习题的试题偏多 主 要考查代数形式的加 减 乘 除法等运算 为此 我们 应紧扣教材和考纲 仔细研究近年高考复数试题的考 点和求解思路和方法 搞好以复数代数形式的四则运 算 为重点的基本训练 借助数形结合 化归转化 复数 问题转化为实数问题 等思想方法 就能适应高考的要 求 维普资讯 数学教学通讯 2 0 0 4 年 6 月 下半月 总第 2 l 1 期 重庆 6 5 重点考查内容 并且为社会各界所认可 下面按照应用 问题所涉及的数学知识分类 并在下面考点设置应用 问题 考察考生的数学应用意识和运用数学模型知识 解决实际问题的实践能力 考点 1 构建函数模型解决应用问题 例 1 1 有一个附有进出水管的容器 每单位时 间进出的水量都是一定的 设从某时刻开始 5 分钟内只 进水 在随后的 1 5 分钟 内既进水 又出水 得到时间z 分 与水量 y 升 之间关系如图 若 2 O 分后 只放水 不进水 则这时 即 2 7 2 O 时 与z之间的函数关系式 是 答案 一3 z 9 5 2 0 2 某工厂生产两种成本不同的产品 由于市场销 售发生变化 甲产品连续两次提价 2 O 同时乙产品连 续 两次降价 2 O 结果都以2 3 O 4 元售出 此时厂家同 时出售甲乙产品各一套 盈亏情况为 解 析 甲原 价 1 6 乙原 价 一 3 6 故 亏 了 1 6 3 6 2 3 O 4 2 3 某不法商人将彩电先按原价提高4 O 然后在 广告上写上 大酬宾 八折优惠 结果是每台彩电比原 价多赚了2 7 0 元 那么每台彩电原价是 元 解析 设每台彩电原价是z元 则 z 1 4 0 8 0 z一 2 7 0 z一 2 2 5 0元 1 4 定义在正整数集上的函数 其图象上所 有相邻两点纵坐标积的和记为t 你估计 A t 1 B t 3时 1 P m 一 4 t 一3 1 4 t 一2 4 t 一3 1 4 f c o s 1 2 0 综合上述 1 P I 一4 8 t z 一2 4 f 7 f E o o o 当f 时即 在第1 5 分 钟末 P Q 最 短 最短距离为 2 k m 例 4 2 O O O年全国高考理 某蔬菜基地种植西红 柿 由历年市场行情知 从二月一 日 起的3 0 0 天内 西红 柿市场售价与上市时间关系用图a 的一条折线表示 西 红柿的种植成本与上市时间关系用图b的抛物线段表 示 1 写出图a 表示市场售价与时间的函数关系式P f t 写出图b 表示种植成本与时间的函数关系式Q g f 2 认定市场售价减去种植成本为纯收益 问何时 上市的西红柿纯收益最大 注 市场售价和种植成本 的单位 元 l o k g 时间单位 天 解 1 由图a可得市场售价与时间的函数关系式 f 3 0 0一 t 0 t 2 0 0 厂 一 2 t 一 3 0 0 2 0 0 t 3 0 0 1 一 由图b可得种植成本与时间的函数关系式为 g f f 一 1 5 o l O 0 o 3 一 维普资讯 6 6 重庆 数学教学通讯 2 0 0 4 年 6 月 T 7 1 总第 2 1 1 期 2 设t 时刻的纯收益为 f 一g f 一 1 1 T17 5 0 f 2 0 o l一 卜 cz 00 t s 图 n 图 b 在 0 f 2 0 0 时 一 f 一 5 O 1 0 0 由二次函数单调性及图象得当t 一 5 0 时h 取最大值 为 1 0 0 t 1 2 0 0 f 3 0 0 时 f 一 0 3 5 0 1 0 0 当t 一3 0 0 时h f 取最大值为8 7 5 综上当t 5 0 时 即从二月一E t 开始的第 5 O 天上市的西红柿纯收益 最大 另法 运用导数的几何意义 专 0 t 2 0 0 h 一 1 1 7 一 专 2 0 0 f 3 0 0 令 h 一0 极值点t 5 0 和 3 5 0 在0 t 2 0 0 上当t 一 5 0 h f 取最大为1 0 0 在 2 0 0 0 h f 是一个增函数 当t 一3 0 0 时h 最大为8 7 5 综上当t 5 0时纯收益最大 注 本题考查由函数图象建立函数关系式 利用 函数单调性及图象求最大值问题 同时与新教材联系 应用导数知识会避免因数据较大带来的麻烦 考点 2 构建不等式模型解决应用问题 例 i 1 一批货物随l 7 列货车从甲市 千米 小 时匀速直达乙市 已知两地铁路线长 4 0 0千米 为了安 全 两列货车间距离不得小于 千米 那么这批物 资全部运到乙市 最快需要 小时 不计货车的 车身长 解 析 即 看 最 后 一 列 车 到 达 的 时 间 f 4 0 0 4 8 御 最快 时 UU 2 某文具用品店出售羽毛球拍和羽毛球 球拍每 副定价 2 O 元 羽毛球每只定价 5 元 该店制定了两种优 惠方法 买一副球拍赠送一只羽毛球 按总价的 9 2 付款 某人计划购买 4 副球拍 羽毛球z只 z不小 于 4 总付款额 Y元 若购买 3 O只羽毛球 两种优惠方 法中 哪一种更省钱 A 省钱 B 省钱 C 同样省钱 D 不能确定 答案 A 3 一屋顶横断面是一等腰 A B C 横梁 A C一 2 L 定值 当雨水从屋顶面上流下来时间最短时 屋面 的倾斜角等于 度 摩擦忽略不计 雨水初速记为 O A 3 0 B 4 5 C 6 0 D 7 5 答案 B 4 某商店用一杆不准确的天平 两臂不等长 称 散装化妆品 某顾客要购买 2 0 g 售货员选 1 0 g的砝码 放人左盘 置化妆品于右盘使平衡后给顾客 然后又将 1 0 g砝码放人右盘 置化妆品于左盘平衡后给顾客 这 样称两次 顾客的化妆品的实际重量为 A 大于 2 0 g B 等于 2 0 g C 小于 2 0 g D 不确定 解析 设天平的支点为O 左臂长为 a 右臂长为b 两次称得的实际重量分别为z Y 由物理知识得 1 0 a一 6 z a y 1 0 b 从而化妆品的实际重量为W z y 半 一l o a十一 垒 2 0 n 6 故 选 A O a o a 例 2 2 O O O 年春北京高考题 某地区上年度电价 为 0 8 元 千瓦时 年用电量为a 千瓦时 本年度计划将 电价降到 0 5 5 元 千瓦时至 0 7 5 元 千瓦时之间 而 用户期望电价为 0 4 元 千瓦时 经测算下调电价后新 增用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比 系 数为志 该地区电力的成本价为0 3 元 千瓦时 1 下调后电力部门的收益Y与实际电价 z的关 系 2 设 0 2 a 当电价最低定为多少时可保证收 益比上年至少增长 2 O 收益 一实际用电量 实际电价 一成本电价 解析 现实世界广泛存在着人口控制 资源保护 市场价格等涉及量与量相等与不等问题 常需化归为 方程或不等式问题 运用方程理论或不等式性质去解 决 解 1 易得 n z一0 3 其中定 义域为 O 5 5 0 7 s 2 当 一0 2 n 时 由题意得 n z一 0 3 a 0 8 0 3 1 2 即 1 0 x 一 l 1 z 3 0 解得z 0 6 或 z 0 5 舍去 故电价最低定为 0 6 元 例 3 某游泳馆出售学生游泳卡每张 2 4 0 元 使用 一 一一 一 一 1 一 州 一 臣 一 维普资讯 数学教学通讯 2 0 0 4 年 6 月 下半月 总第 2 1 1 期 重庆 6 7 泳卡需 2 4 o z元 共分塑 批 故需包车费为塑 4 o 元 一2 4 0 x 兰 旦 4 o 2 4 0 z 64 2 z 6 4 1 6 3 8 4 o 当 z 64 即 z 8 塑 张 一 4 o 2 4 o 4 0 4 8 4 0 2 堡 一 9 6 4 o 3 8 4 0 当 z 4 0 0 x 3 0 2 x 5 y 1 0 0 6 x 3 y 1 8 0 O f I 考点 3 构建数列模型解决应用问题 例1 1 在 直角坐 标系中 点A o 在 轴 上方的射线z 上有一列点A A A N 0为原点 且 I O A f 一 2 一 设 A O A 且存在 0 o 使得c o s O c o s 1 C O S a 2 C O S a 3 C O S q n 则 0 的值为 A 詈 B 手 c 号 D 警 答案 C 2 对于每个 自然数 n 抛物线 y n n x 一 2 n 1 1 与z轴交于A B 两点 以 l A B l 表示 该两点的距离 则 l A B l l A B l l A B l 的 值是 A B c D 解析 设 抛 物线 与 z轴 的交 点 为 z z 则 f A B 1 l z 一z l l 一 l 一 一 故答案 D 3 一套共 7 册的书计划每两年出一册 若出完全 部各册书公元年代之和为 1 3 9 5 8 则出齐这套书的年份 是 答案 2 0 0 0 年 4 从盛满n升酒精的容器里倒出b 升 然后再用 水 加满 再倒出b 升 再用水加满 这样连续倒了n次 则容器中有纯酒精 答 案 n 1 一号 例 2 2 0 0 1 年全国高考题 从社会效益和经济效 益出发 某地投入资金进行生态环境建设 并以此发展 旅游产业 根据规划本年度投入 8 0 0 万元 以后每年投 入将比上一年减少 本年度当地旅游产业收入估计 为 4 0 0 万元 由于该项建设对旅游业的促进作用 预计 今后的旅游业收入每年比上年增加 1 1 设 年内 本年度为第一年 总投人为n 万元 总收人为b 万元 写出n b 2 至少经过几年旅游业总收人才能超过总 投入 解析 在社会发展和人们生活中 广泛存在着增长 率 盈利 总量控制等问题 常需建立相应的数列模型 运用数列的有关知识去解决问题 构建数列模型时应 弄清是解决第 项问题还是解决前 项和问题 解 1 n 一8 0 0 8 0 0 1 一 8 0 0 1 一 一 一4 0 0 0 1 一 同 理b 一1 6 0 0 4 一1 维普资讯 6 8 重庆 数学教学通讯 2 0 O 4年 6 月 下半月 总第 2 l 1 期 2 设至少经过n 年 则 1 6 0 0 一1 一 4 0 0 0 1 一 4 一 0 设 4 一 代入得 5 t 2 7 t 2 0 解得t 一 1 舍去 故至 少经过 5 年 例3 据 经济 日报 1 9 9 5 年8 月2 5 日报道 记者采 访建设部某部长谈工薪阶层购房问题时说 造价每平 方米 1 0 0 0 元左右 还可以采取个人购房抵押贷款的方 式 解决一次性付款有困难的问题 比如首先支付 4 O 的房款 剩下的分 1 0年还清 请根据上面提供的材料 解答下面的问题 若职工小李将全部积蓄的本息 1 3 3 3 4 元恰好付掉了4 O 的购房款 其余部分向银行贷款支 付 1 小李应向银行贷款多少元 保留三位有效数 字 2 若购房贷款年利率 1 O 按复利计算 从贷款之 日起 每年等额归还一次 问小李每年应还多少元 精 确到 1 元 解 1 设贷款为 y元 由题得 1 3 3 3 4 4 0 一 1 3 3 3 4 一 一 1 3 3 3 4 2 0 0 0 1 2 0 0 1 0 元 2 设小李每年应归还 z元 由已知需 1 O 年还清 一 年后贷款余额为 2 0 0 0 0 1 1 0 一z 两年后贷款 余莓 勾E 2 o o o o 1 1 O 一 z 1 1 O 一 z一 2 O O O O 1 1 O 一oZ 1 1 O 一z 十年后 贷款余额为 2 0 0 0 0 1 1 O 一 1 1 O 一 z 1 1 O 一 z 1 1 O 一z 0 解得 z 一 3 2 5 5元 1 1 1 1 1 一 1 一 一 一 0 1 1 1 O 0 1 C o 0 1 C o 0 1 C o 0 1 1 1 0 1 0 4 5 0 0 0 2 5 2 2 5 9 3 7 考点 4 构建三角函数模型解决应用 例 1 1 已知曲线 一2 c o s 2 z O z 1 0 7 r 的 图象与直线y一2 围成一个封闭的平面图形 则这个封 闭图形的面积是 A 1 0 7 r B 2 0 7 r C 3 0 7 r D 无法计算 2 在空间四边形 A B C D 中 连接 A C B D 若 z B C D是正三角形 且 E为其中心 则 百 1 一 要砚 一 的 化 简 结 果 是 A B 2 c D 2 D 答案 1 B 2 C 3 半径为 r的圆内接矩形的面积 S的最大值是 当 S最大时 矩形的边长为 解析 如 图所示 设 矩形 长 B C d 宽 A B b D B C a o a 6 则A B 一2 r s i n a B C 一 2 r c o s a 一4 r 2 s i n a c o s a I 2 r s i n 2 当 s i n 2 a一 1 2 a一 a 时 S 有最大值2 r 当 最大时 矩形 6 A B C D为正方形 边长A B B C一2 r c o s 4 5 一 2 r 例2 1 9 8 1 年全国高考题 扇形O A B的中心角为 4 5 半径为尺 矩形 尸 Q 内接于这扇型 如图 求矩 形的对角线L的最小值 解析 在人们 的生产和 R 生 形 需 型 解 圆弧有关的最值问题时 常选取弧上一点的半径与圆 半径所成角为自变量 去构建三角函数模型 解 设 A O M 一口 则 Q M R s i n a O Q R c o s 又 A OB 一 4 5 OP 尸 一 QM R s i n a L 一 P P Q R s i n a Rc o s a R s i n a 一 R 1 L s i n 2 a 3 s in a r c s in 一 号一 当 2 a a r c t a rl 一 L 的最小值为 6 6 R z 即 L R 二 二 例 3 某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠 为 降低成本 必须尽量减少水与水渠壁的接触面 若水渠 横断面面积设计为定值 平方米 渠深 8 米 则水渠壁 的倾斜角a 应为多少时 方能使修建成本最低 解析 作 C E j A D 垂足为 E 设水渠横断面周长为 L 则 L B C 2 C D 在 R t C D E中 E D 8 C O t a C D 从 A E D 詈一 8 c 0 则 L 詈 8 a 1 则 t s i n c o s 口 一 2 于是 S l n s i n a 一 竺 t a n p 一 1 故只须求s i n 1 t 有最大值时所对应的t 即可 0 1 8 0 当且仅当 9 0 一1 t 3 1 t 此时t a n 3 0 一6 O 成本最低 考点 5 构建排列组合模型解决应用问题 例 1 1 计划展出1 O 副不同的画 其中一副水彩 画 4 副油画 5 副国画 排成一行陈列 要求同一类型的 必须连在一起 并且水彩画不放在两端 那么不同的排 法有 种 A A A 2 B Ai A A i C Aj A A 2 D A 2 A A 2 解析 把 4 副油画和5 副国画各自捆绑 捆绑法 在 一 起 看成两整体 有A 2 种 由于水彩画不能放在两端 故只能插在两整体之间 然后油画 水彩画各自的全排 列有A A 种 有分步计数原理可得答案 D 2 某天上午有数学 物理 外语 化学 4 节不同的 课 若第一节排数学或第四节排物理 共有 种 解 A i Aj Al 1 0 3 从一批含有 1 3 只正品 2只次品的产品中 不 放 回地抽取 3 次 每次抽取 1 只 设抽得次品数为 则 E 5 1 解析 从含有2 只次品的1 5 只产品中抽取3 只 的 可能取值是 0 1 2 分别计算概率 就可写出 的分布 列 计算期望 甓 一 一 一 一 2 一 1 E 0 2 2 3 5 1 1 2 3 5 2 1 3 5 1 4 3 5 E 5 1 5 E 1 3 例2 现有 6 套不同的练习题 1 平均分成 3 份 有 多少种不同分法 2 平均分给 3 名学生 有多少种不同 分法 解 1 分三步 C 但 倍 故有 C l A j 1 5 种 2 分三步 C C C l 9 0 种 总结 把4 个元素平均 两份不同分法有 C C A 1 种 把6 个元素平均三份不同分法有 C C 2 A 种 把 8 个元素平均四份不同分法有 c c i c i c l 种 例 3 1 9 9 9 年全国高考题 在一块并排 1 O 垄的田 地中 选择2 垄分别种植 B两种作物 每种作物种植 1 垄 为有利于作物生长 要求 A B两种作物的间隔不 小于 6 垄 则不同的选垄方法共有 种 解析 在处理产品抽样 选构方式 分配种类等随 机事件时常需运用排列组合知识或概率知识去解决问 题 解 先选取6 垄 然后在余下的4 垄中任选2 垄种植 A B两种作物有P 1 2 种选法 再将选取的6 垄插入 A B两种作物所种植的2垄间 确保A B作物间隔不 小于6 垄 即可 故不同选垄方法共有 1 2 种 例4 如图 一个地区分为5 个行政区域 现给地图着色 要求 相邻区域不得使用同一颜色 现 有 4 种颜色可供选择 则不