第01章 矢量分析和场论基础.ppt

矢量分析和场论基础 第一章 1 1标量和矢量1 2矢量的运算1 3标量场和矢量场1 4特殊正交曲线坐标系1 5场论1 6拉普拉斯算子1 7电磁场的分类和亥姆霍兹定理 1 1标量和矢量 矢量分析和场论是学习电磁场理论必备的数学工具 本章简要介绍矢量分析和场论的基本概念和定理 标量是指用单一数量就可以完整描述的物理量 比如质量 时间 温度和功等 在本教材中用粗正体字母表示矢量 比如矢量A可以写成 1 1 矢量是指既有大小又有方向的物理量 比如力 电场和磁场等 单位矢量 作业要求写成 1 2 1直角坐标系中矢量的表示 1 2矢量的运算 在直角坐标系中 矢量A可写为 1 6 其中 矢量常用带箭头的线段表示 1 3 1 2 2矢量的运算 1 矢量加法 1 7 1 8 式中 矢量满足结合律和交换律 即 1 9 1 10 2 矢量的标积 1 11 矢量的标积是一个数量 并满足交换律 分配律和数乘 即 1 12 1 13 1 14 坐标表示为 1 15 矢量投影为 3 矢量的矢积 1 17 式中n是一垂直于由矢量A和B构成的平面的单位矢量 并遵循右手螺旋法则 见图1 3 矢量的矢积不满足交换律 1 18 矢积满足分配律和数乘 即 1 20 1 19 矢量矢积的坐标表示为 1 23 或简记为 利用ex ey ez ey ez ex ez ex eyex ex ey ey ez ez 0可直接证明 矢量恒等式 1 24 1 25 例1 1计算由矢量A B和C构成的平行六面体的体积 矢量A 2ex ey 2ez B ex 3ey 5ez C 5ex 2ey 2ez 解平行六面体的体积可表示为三重积的行列式形式 例1 2给定三个矢量A ex 2ey 3ez B 4ey ez C 5ex 2ey 试求和 解 1 3标量场和矢量场 从数学上讲 场是物理量随空间坐标变化的函数 物理量可以是标量或矢量 因而 场可以是标量场或矢量场 如果物理量仅随空间点而变化 不随时间变化 这种场称之为静态场 否则 称之为动态场或时变场 1 4 1直角坐标系 1 4特殊正交曲线坐标系 直角坐标系由三个相互垂直的有向线段构成 三直线称为X Y和Z轴 三个单位矢量ex ey和ez相互垂直 分别表示X Y和Z轴的方向 1 位置矢量 如图1 6所示 2 距离矢量 如图1 7所示 距离大小 体微分元 面微分元 线微分元 3 体 面和线微分元 1 4 2圆柱坐标系 与坐标对应的单位矢量为 三者相互垂直 服从右手法则 为位置矢量r在X Y平面上投影的大小 为XOZ平面与POZ平面之间的夹角 逆时针方向正 z是r在Z轴上的投影 和是空间坐标点的函数 1 位置矢量 式中 对于任意的r 2 直角坐标与柱坐标之间的关系 取值范围 柱坐标的三个正交面如图1 11所示 3 体 面和线微分元 面微分元 线微分元 体微分元 4 单位矢量的变换 矩阵形式 逆变换 任意矢量的变换 1 47 同理 已知直角坐标系的分量表达式 利用其逆变换可得柱坐标下的分量表达式 1 4 3球坐标系 r为位置矢量r的大小 1 位置矢量 与坐标对应的单位矢量为 三者相互垂直 并服从右手法则 在球坐标系下 都是空间坐标点的函数 是位矢r与正Z轴之间的夹角 是X轴正向与位矢r在XY平面上的投影之间的夹角 对于任意的r 2 直角坐标与球坐标之间的关系 见图1 15 16 体微分元 面微分元 线微分元 3 体 面和线微分元 4 单位矢量的变换 5 任意矢量的变换 c 的投影 图1 19球坐标系和直角坐标系单位矢量间的变换 b 的投影 a 的投影 例1 3在圆柱坐标系中一点的坐标为 4 2 3 3 试求该点分别在直角坐标系和球坐标系中的坐标 解利用圆柱坐标与直角坐标的关系可得 利用圆柱坐标与直角坐标的关系可得 例1 4在柱坐标系中点P 3 6 5 有一矢量A 3 2 5 在另一点Q 4 3 3 有一矢量B 在点S 2 4 4 处有矢量C A B 试求C矢量 解显然A和B两矢量不在同一 常数的平面上 在柱坐标系下不能直接按分量形式求和 首先必须把在柱坐标系下的矢量变换到直角坐标系 P点矢量A的直角坐标表示为 同理 Q点矢量B的直角坐标表示为 于是得 再将C变换到柱坐标系中点S 2 4 4 处的矢量 1 5场论 1 5 1数量场的等值面和矢量场的矢量线 1 数量场的等值面 场的整体性描述 标量场u的等值面方程 场的局部特性描述 等值面 等值线和矢量线 标量场 方向导数和梯度 矢量场 散度和旋度 同理 如果标量场是二维函数 令u x y c得到等值线 比如地形图上的等高线 地面气象图上的等温线 等压线等 都是平面标量场等值线的例子 常数C取一系列不同的值 就得到一系列不同的等值面 形成等值面族 标量场的等值面充满场所在的整个空间 标量场的等值面互不相交 等值面的特点 2 矢量场的矢量线 直角坐标表示 概念 矢量线是这样的曲线 在曲线上每一点处矢量场的方向都在该点的切线方向上 静电场的电场线 磁场的磁场线和流速场的流线等都是矢量线的例子 意义 形象直观地描述了矢量场的空间分布状态 共线矢量dr与A x y z 满足 或 1 64 此即矢量线所满足的微分方程组 求解该方程组可得一矢量线族 矢量线通常互不相交 假设P x y z 为矢量线上任一点 则过点P沿矢量线的位移元dr与矢量A x y z 共线 矢量线方程 求解该微分方程 得到矢量线方程为 可见 该矢量场的矢量线为同心圆 见图1 22 例1 5有一二维矢量场F r yex xey 求矢量线方程 并定性画出该矢量场的图形 解由场的表达式可知 Fx y Fy x 则根据式 1 64 可得到矢量线的微分方程为 1 5 2标量场的梯度和方向导数 标量场u x y z 的两个等值面u和u du如图1 23所示 P点到Q点的位移元为 1 65 两边同除以dl 得到标量场u x y z 在P点沿dl方向的方向导数 1 梯度的定义及其方向导数 根据全微分定义 1 65 设位移元dl的方向余弦为 即 所以方向导数表示为 其中 u的梯度 dl的单位矢量 引入梯度算子 由 u的梯度表示为 可知 当al与G平行时 方向导数取得最大值 G 梯度的方向是标量u随空间坐标变化最快的方向 梯度的大小表示标量u的空间变化率的最大值 所以 梯度在柱坐标系下的表达式 梯度在球坐标系下的表达式 2 梯度在柱坐标系和球坐标系下的表达式 梯度在直角坐标系下的表达式 梯度运算的基本公式 例1 6求标量函数u x y z x2yz的梯度 并求在空间坐标点P 2 3 1 处 沿方向的方向导数 解 代入P点的空间坐标 2 3 1 得方向导数值为 补充例题 其中 2 求 1 解 1 5 3矢量场的通量和散度 1 通量的定义 如图 矢量场A A x y z 在有向曲面S上的通量定义为 面元dS的法向n与张着S的环线L满足右手螺旋关系 在直角坐标系中 对闭合曲面n取外法向为正 总通量表示为 矢量线的通量概念是对矢量场在空间分布的宏观描述 要描述每一点的情况 需引入散度的概念 通量计算存在三种情况 1 0 表明闭合曲面内部有产生矢量线的源 正源 2 0 表明闭合曲面内部有吸收矢量线的源 负源 3 0 表明闭合曲面内部可能无源 或正源负源相等 2 散度的定义 散度是单位空间体积中的的通量源 有时也简称为源通量密度 记为divA或 即 如果divA 0 表明M点有发出矢量线的正源 如果divA 0 表明M点有吸收矢量线的负源 如果divA 0 表明M点无源 矢量线在该点连续 4 散度在柱坐标系和球坐标系下的表达式 球坐标系下的表达式 3 散度在直角坐标系下的表达式 柱坐标系下的表达式 散度的有关公式 5 高斯散度定理 如图 矢量场场A x y z 的散度在体积V上的三重积分等于矢量场A x y z 穿过包围V的闭合曲面S的通量 即 图1 26高斯定理 物理意义V内的通量源总和与穿过S的总通量相等 或 例1 7设有一矢量场 1 求该矢量场的散度 2 取中心在原点的一个单位立方体 求散度的体积分和矢量场对此立方体表面的积分 验证散度定理 解 1 2 A对中心在原点的单位立方体的积分为 矢量A对单位立方体表面的积分为 可见 散度定理成立 补充例题 其中 2 求 1 解 如图 式中L是空间有向闭合曲线 dl是曲线L上的线微分元 是在空间点P处矢量A与dl的夹角 1 5 4矢量场的环量和旋度 环量的定义 A x y z 沿闭合曲线L的曲线积分称为沿L的环量 即 环量描述了L内的总涡旋源 图1 27矢量场的环量 旋度的定义 为了定义旋度 首先考察环量密度 即单位面积的环量 显然 对于给定矢量场A 环量密度的大小与所取面元 S的方向n有关 如图1 29所示 可以看出 当面元 S沿某特定方向n时 环量密度将取得最大值 定义该最大值与n之积构成的矢量称为矢量场A的旋度 记作rotA或 即 物理意义矢量场在M点处的旋度为一矢量 其数值为M点的环流量面密度的最大值 其方向为取得环量密度最大值时面积元的法线方向 柱坐标系下的表达式 球坐标系下的表达式 旋度在直角坐标系下的表达式 斯托克斯定理 旋度不为零的场是有旋场 如磁场 流速场等 物理意义斯托克斯定理将矢量旋度的面积分变换成该矢量的线积分 或将矢量A的线积分转换为该矢量旋度的面积分 式中dS的方向与dl的方向成右手螺旋关系 例1 8设有一平面流速场 其流线的分布如图1 32所示 图中有些流线是闭合曲线 如果取闭合积分回路L与闭合流线重合 计算流速环量 显然 积分结果不等于零 表明对于这样的流速场 流体的运动具有涡旋性 旋度的有关公式 课堂作业 1 标量场的梯度构成的矢量场是无旋场 2 矢量场的旋度构成的矢量场是无散场 证明 即证明数学恒等式 参见例1 11和例1 12 95 93 补充例题 其中 2 求 1 解 一 标量拉普拉斯运算 拉普拉斯算子 直角坐标系 计算公式 圆柱坐标系 球坐标系 概念 1 6拉普拉斯算子 二 矢量拉普拉斯运算 概念 直角坐标系 拉普拉斯方程 如果矢量场A的拉普拉斯为零 即 必然有每个分量的拉普拉斯为零 调和函数 1 7电磁场的分类和亥姆霍兹定理 根据矢量场满足散度运算关系和旋度运算关系的不同组合 可将场分为四种类型 不同类型的电磁场问题 求解的方法也各有差异 第一类场满足 该矢量场A可通过令 进而求解u的拉普拉斯方程而得解 第二类场满足 该矢量场A可通过令和 进而求解u的泊松方程而得解 第三类场满足 该矢量场A可通过令和 进而求解G的泊松方程而得解 第四类场满足 该矢量场A可分解为无旋场G和无散场H来求解 即通过令 其中G和H分别满足 类似与第二 三类场的分析 必存在u和F 满足 因而 若矢量场A在无限空间中处处单值 且其导数连续有界 源分布在有限区域中 则矢量场由其散度和旋度唯一地确定 并且矢量场A可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和 亥姆霍兹定理 即该矢量场必然由相应的标量源和矢量源J产生 可见 任一矢量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和 矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要问题 对于在介质不连续的边界上 描述矢量场基本方程的微分形式失去意义