高等流体力学讲义课件-二维势流4.3

4 11镜像法 如欲求圆柱外一位于点 强度为的点涡的复位势 可在圆柱内点添加一强度为的点涡 在原点添加一强度为的点涡 三个奇点在圆柱外共同产生的复位势即所求的复位势 且保证圆柱面本身是一条流线 镜像法 当流体外部流场中存在奇点 如点源 点涡等 时 常用镜像法求得满足边界条件的复位势 其作法是在物体内部适当位置也布置奇点 称为外部奇点的镜像 使得由奇点及其镜像产生的复速度势满足物体边界总是一条流线 请注意圆内点即对于圆外一点的所谓镜像点 它们的模的乘积等于圆半径的平方 它们的圆心处于同一条直线上 即和有相同的幅角 假设奇点全在的上半平面内 当无物体边界时 其复速度势为 当实轴为边界时 这些奇点在上半平面产生的复位势为 4 11镜像法 以实轴为边界 式中表示除外其余复常数均取其共轭值 如图求实轴上点涡的复位势 点涡复位势 事实上在实轴上 即的复共轭函数 表示对中所有复数取共轭 实数 即实轴是一条的流线 并且在的区域内并未增加新的奇点 即在上半平面内的奇点和的奇点完全一样 是除原奇点外的解析函数 4 11镜像法 这表明以实轴为边界时 一个点涡的复位势等于它本身的复位势与其以实轴为镜面的镜像点处一个反方向旋转的点涡的复位势的迭加 事实上在虚轴上 实数 即虚轴是的流线 并且在的区域内并不增加新的奇点 设奇点全在的平面内 当无物体边界时 其复位势为 当虚轴为边界时 这些奇点在右半平面内产生的复位势为 4 11镜像法 以虚轴为边界 复位势可以增加或减少一个常数 而不影响流体运动 c可以略去 上式表明当以虚轴为边界时 一个点涡的复位势等于她本身的复位势与其以虚轴为镜面的镜像点处一个反方向旋转的点涡的复位势的迭加 以点涡为例 由上式 在圆上所以实数 即圆周是一条流线 另一方面 奇点位置 全在圆外 其镜像点位置 全在圆内 圆外未增加奇点 设在无界流体中的复位势为 其所有奇点都在圆外 当在流场中有一个圆心在原点 半径为的圆柱时 满足圆柱面是条流线的复位势为 4 11镜像法 圆定理 圆柱的无环量绕流 平行流的复位势 圆柱无环量绕流的复速度势 这正是4 7节所求得到的结果 例1 设在点有一强度为的点涡 求存在半径为的圆周时的复位势 上式中常数可以删去 这正是我们在介绍镜像法时举例提到的圆外点涡流场的结果 4 11镜像法 解 4 12保角变换 复变函数把平面上的区域映射到平面的某区域上去 如果函数在平面处处解析且 则的值与增量的方向无关 而只是点的函数 设 或 则上式中 只应是点的函数 保角变换 4 12保角变换 由上式可以看出在平面上一点处具有长度为的线元 经过变换以后 在平面的相应线元的长度伸长了倍 变为 而且曲线的方位旋转了角 由于只是的函数 过同一点的所有曲线伸长了同样的倍数和旋转了同样的角度 且旋转方向相同 于是过同一点的任意两条曲线之间的夹角在变换后保持不变 这种映射称为保角映射 4 12保角变换 拉普拉斯方程 已知在平面内满足拉氏方程 上式中 可以从得到 保角变换把变换为平面中的函数 由上述条件可以证明在平面内也满足拉氏方程 参阅 FundamentalMechanicsofFluids pp 92 97 4 12保角变换 保角变换把平面中的拉氏方程转换为平面中的拉氏方程 即如果在平面内是调和函数 在平面内也必然是调和函数 4 12保角变换 4 12保角变换 若存在保角变换 复位势 因为在平面和平面都满足拉氏方程 在平面是复位势 相反也成立 在平面是复位势 如果平面内已知 则平面内相应的复位势可通过代入变换函数而求得 若 则 4 12保角变换 在平面无旋流动理论中应用保角变换的基本思想是把平面 物理平面 上比较复杂的外形变换成平面 映射平面 上简单的外形 如圆或无穷长平板 而这些简单外形的流动复位势是已知的 于是就可求得复杂外形流动问题的复位势 物理平面和映射平面的复速度间不是一对一变换 而是相互成比例 比例系数取决于变换函数 经过保角变换复速度的大小 方向都改变了 4 12保角变换 复速度 4 12保角变换 点源和点汇 设是封闭曲线C内所有涡的强度 是C内所有源的强度 则 点涡 点源经保角变换后强度保持不变 设是平面和平面上的相应封闭曲线 和分别是内一个点涡的强度和一个点源的强度 则 4 12保角变换 为实数 4 13茹柯夫斯基变换 在无穷远处物理平面和映射平面上的复速度相同 速度的大小和夹角都相等 茹柯夫斯基变换 在无穷远处茹柯夫斯基变换是恒等变换 4 13茹柯夫斯基变换 奇点 是奇点 该点通常位于物体内部 对研究物体外流动无影响 4 13茹柯夫斯基变换 保角变换失效点 时 称临界点 criticalpoints 在临界点变换不保角 平面上的两条线的夹角在平面上变换为原夹角的2倍 4 13茹柯夫斯基变换 平面通过点的光滑曲线在平面变换为尖角 圆变线段 4 13茹柯夫斯基变换 在上述变换中 圆变换为线段 圆外区域变换为整个平面 圆内区域也变换为整个平面 这可用圆外点和圆内点对应于平面同一点来证明 因此上述变换是双值的 实际流动中 圆内区域在物体内部 上述双值性对研究物体外流场不造成理论上的困难 平面上圆心在原点 半径为c的圆变换为z平面实轴上的割线段 在变换的保角性被破坏了 椭圆半长轴 半短轴 长轴沿x轴 短轴沿Y轴 4 14椭圆绕流 茹柯夫斯基变换 平面内圆方程 椭圆变圆 设平面内均匀来流速度为U 相对于椭圆主轴攻角为 因为在无穷远处茹柯夫斯基变换是恒等变换 可知平面内无穷远处的相应速度也为U 攻角也为 4 14椭圆绕流 在平面原点放置圆柱 根据圆周定理可得绕流圆柱复位势 平面均匀来流复势 圆柱绕流复位势 Z U U 第一