高考数学 2.6幂函数与二次函数配套课件 文 新人教A版.ppt

第六节幂函数与二次函数 1 二次函数的解析式 ax2 bx c h k 2 二次函数的图象与性质 b 0 3 幂函数形如 r 的函数叫幂函数 其中x是 是常数 y x 自变量 4 幂函数的图象幂函数y x y x2 y x 1 y x3的图象如下 5 幂函数y x y x2 y x3 y x 1的性质 r r r 0 x x r 且x 0 r 0 r 0 y y r 且y 0 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 增 x 0 时 增 x 0 时 减 增 增 x 0 时减 x 0 时减 1 1 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 二次函数y ax2 bx c x a b 的最值一定是 2 二次函数y ax2 bx c x r 不可能是偶函数 3 幂函数的图象都经过点 1 1 和点 0 0 4 幂函数y xn 当n 0时是定义域上的增函数 解析 1 错误 当 a b 时 二次函数的最值不是 2 错误 当b 0时 二次函数y ax2 bx c是偶函数 3 错误 幂函数y x 1不经过点 0 0 4 错误 幂函数y x2在定义域上不单调 答案 1 2 3 4 1 已知点在幂函数f x 的图象上 则f x 的表达式为 a f x x2 b f x x 2 c f x d f x x 解析 选b 设f x xn 则 n 2 f x x 2 2 函数f x m 1 x2 2mx 3为偶函数 则f x 在区间 5 3 上 a 先减后增 b 先增后减 c 单调递减 d 单调递增 解析 选d f x m 1 x2 2mx 3为偶函数 2m 0 m 0 则f x x2 3在 5 3 上是增函数 3 图中c1 c2 c3为三个幂函数y xk在第一象限内的图象 则解析式中指数k的值依次可以是 解析 选a 设c1 c2 c3对应的k值分别为k1 k2 k3 则k11 故选a 4 函数f x x2 2 a 1 x 2在区间 3 上是减函数 则实数a的取值范围是 解析 二次函数f x 的对称轴是x 1 a 由题意知1 a 3 a 2 答案 2 考向1二次函数的图象与性质 典例1 1 已知一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的两个实数根x1 x2满足x1 x2 4和x1 x2 3 那么二次函数y ax2 bx c a 0 的图象有可能是 2 已知函数f x x2 2ax 3 x 4 6 当a 2时 求f x 的最值 求实数a的取值范围 使y f x 在区间 4 6 上是单调函数 当a 1时 求f x 的单调区间 思路点拨 1 先根据条件求出两个根 进而得到对称轴方程 最后可得结论 2 解答 和 可根据对称轴与区间的关系 结合图象或单调性直接求解 对于 应先将函数化为分段函数 再求单调区间 规范解答 1 选c 因为一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的两个实数根x1 x2满足x1 x2 4和x1 x2 3 所以两个根为1 3 所以对应的二次函数其对称轴为x 2 图象与x轴的交点坐标为 1 0 3 0 故选c 2 当a 2时 f x x2 4x 3 x 2 2 1 则函数在 4 2 上为减函数 在 2 6 上为增函数 f x min f 2 1 f x max f 4 4 2 4 4 3 35 函数f x x2 2ax 3的对称轴为 要使f x 在 4 6 上为单调函数 只需 a 4或 a 6 解得a 4或a 6 当a 1时 f x x2 2 x 3 其图象如图所示 又 x 4 6 f x 在区间 4 1 和 0 1 上为减函数 在区间 1 0 和 1 6 上为增函数 拓展提升 1 求二次函数最值的类型及解法 1 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型 轴定区间定 轴动区间定 轴定区间动 不论哪种类型 解决的关键是对称轴与区间的关系 当含有参数时 要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论 2 常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解 最值一般在区间的端点或顶点处取得 2 二次函数单调性问题的解法结合二次函数图象的升 降对对称轴进行分析讨论求解 变式训练 2013 杭州模拟 已知函数f x x2 2a 1 x 3 1 当a 2 x 2 3 时 求函数f x 的值域 2 若函数f x 在 1 3 上的最大值为1 求实数a的值 解析 1 当a 2时 f x x2 3x 3 2 对称轴为f x max f 3 6a 3 6a 3 1 即满足题意 f x max f 1 2a 1 2a 1 1 即a 1满足题意 综上可知或 1 考向2二次函数的综合应用 典例2 1 2013 深圳模拟 已知二次函数f x ax2 3 a x 1 g x x 若对于任一实数x f x 与g x 至少有一个为正数 则实数a的取值范围是 a 0 3 b 3 9 c 1 9 d 0 9 2 已知函数f x ax2 bx 1 a b r x r 若函数f x 的最小值为f 1 0 求f x 的解析式 并写出单调区间 在 的条件下 f x x k在区间 3 1 上恒成立 试求k的范围 思路点拨 1 因为x 0时 g x 0 x 0时 f x 1 0 故只需x 0时 f x 0 2 根据f 1 0及列方程组求解 分离参数 转化为求函数的最值问题 规范解答 1 选d 当x 0时 y f x 可取任意实数 故a r 当x 0时 f x 1 故a r 当x 0时 则f x 0 由f 0 0知a 0 此时只需方程f x 0无实根或两根为正实数 又 3 a 2 4a a2 10a 9 故a2 10a 9 0或解得1 a 9或0 a 1 即0 a 9 综上 0 a 9 2 由题意知 f x x2 2x 1 x 1 2 单调减区间为 1 单调增区间为 1 f x x k在区间 3 1 上恒成立 转化为x2 x 1 k在 3 1 上恒成立 设g x x2 x 1 x 3 1 则g x 在 3 1 上递减 g x min g 1 1 k 1 即k的取值范围为 1 拓展提升 1 一元二次不等式恒成立问题的两种解法 1 分离参数法 把所求参数与自变量分离 转化为求具体函数的最值问题 2 不等式组法 借助二次函数的图象性质 列不等式组求解 2 二次函数的应用 1 解决一元二次方程根的分布问题的方法 常借助于二次函数的图象数形结合来解 一般从 开口方向 对称轴位置 判别式 端点函数值符号四个方面分析 2 解决一元二次不等式的有关问题的策略 一般需借助于二次函数的图象 性质求解 变式训练 2013 东莞模拟 已知函数f x ax2 2x c a c n 满足 f 1 5 6 f 2 11 1 求a c的值 2 若对任意的实数x 都有f x 2mx 1成立 求实数m的取值范围 解析 1 f 1 a 2 c 5 c 3 a 又 6 f 2 11 即6 4a c 4 11 将 式代入 式 得又 a c n a 1 c 2 2 由 1 知f x x2 2x 2 方法一 设g x f x 2mx x2 2 1 m x 2 当即m 2时 故只需解得又 m 2 故无解 当即m 2时 又 m 2 综上可知 m的取值范围是 方法二 x 不等式f x 2mx 1恒成立 2 1 m 在 上恒成立 易知 x min故只需2 1 m 即可 解得m 考向3幂函数及其性质 典例3 1 幂函数y f x 的图象过点 4 2 则幂函数y f x 的图象是 2 已知幂函数f x m n 的图象关于y轴对称 且在 0 上是减函数 求满足的实数a的取值范围 思路点拨 1 设出函数的解析式 根据幂函数y f x 的图象过点 4 2 构造方程求出指数的值 再结合函数的解析式研究其性质即可得到图象 2 首先根据单调性求m的范围 其次由图象的对称性确定m的值 最后根据的大小 求解关于a的不等式 规范解答 1 选c 设幂函数的解析式为y xa 幂函数y f x 的图象过点 4 2 2 4a 解得 其定义域为 0 且是增函数 当0 x 1时 其图象在直线y x的上方 对照选项 2 f x 在 0 上是减函数 m2 2m 3 0 解之得 1 m 3 又m n m 1或m 2 由于f x 的图象关于y轴对称 m2 2m 3为偶数 又当m 2时 m2 2m 3为奇数 m 2舍去 因此m 1 又在 0 上为增函数 等价于0 a 1 3 2a 解之得故实数a的取值范围是 拓展提升 幂函数的指数对函数图象的影响当 0 1时 幂函数y x 在第一象限的图象特征 如图所示 1 1 图象过点 0 0 1 1 下凸递增 如y x2 2 0 1 图象过点 0 0 1 1 上凸递增 如 3 0 图象过点 1 1 单调递减 且以两坐标轴为渐近线 如y x 1 变式训练 1 2013 广州模拟 函数是幂函数 且在x 0 上是减函数 则实数m的值为 a 2 b 3 c 4 d 5 解析 选a 由题意知m2 m 1 1 解得m 2或m 1 当m 2时 m2 2m 3 3 f x x 3符合题意 当m 1时 m2 2m 3 0 f x x0不合题意 综上知m 2 2 若a a 0 2a b 0 2a a 2a c a 0 2a 2a d 2a 0 2a a 解析 选b a a 2a 满分指导 解答二次函数的综合题 典例 12分 2013 大连模拟 设a为实数 函数f x 2x2 x a x a 1 若f 0 1 求a的取值范围 2 求f x 的最小值 思路点拨 规范解答 1 f 0 a a 1 a 0 即a 0 2分由a2 1 知a 1 则a的取值范围是 1 5分 2 记f x 的最小值为g a 我们有f x 2x2 x a x a 7分 当a 0时 f a 2a2 由 知f x 2a2 此时g a 2a2 9分 当aa 则由 知f x 若x a 由 知f x f a 2a2 因此g a 11分综上得 12分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2013 梅州模拟 设a 0 64 2 b 0 74 2 c 0 65 1 则a b c大小关系正确的是 a a b c b b a c c b c a d c b a 解析 选b 函数y x4 2在 0 上是增函数 0 64 20 65 1 0 74 2 0 64 2 0 65 1 即b a c 2 2013 珠海模拟 设二次函数f x ax2 bx c 如果f x1 f x2 x1 x2 则f x1 x2 等于 解析 选c 因为f x ax2 bx c的对称轴为故x1 x2 所以f x1 x2 3 2013 潮州模拟 若f x 是幂函数 且满足则f a 3 b 3 c d 解析 选c 设f x xn 则 4 2013 佛山模拟 设函数f x x2 2a 1 x 4 若x1 x2 x1 x2 0时 有f x1 f x2 则实数a的取值范围是 解析 选c 由题意知函数f x 的图象开口向上 对称轴为x0 当x0 x1时 y f x 在 x1 x2 上递增 此时f x1 f x2 不合题意 当x1 x0 x2时 要使f x1 f x2 则x1离对称轴远 故x0 x1 x2 x0 即2x0 x1 x2 又x1 x2 0得x0 0 故0 x0 x2 当x0 x2时 y f x 在 x1 x2 上递减 此时f x1 f x2 综上可得x0 0 即1 2a 0 得 5 2013 清远模拟 集合a是由具备下列性质的函数f x 组成的 函数f x 的定义域是 0 函数f x 的值域是 2 4 函数f x 在 0 上是增函数 试分别探究下列两小题 1 判断函数f1 x 2 x 0 及f2 x 4 6 x x 0 是否属于集合a 并简要说明理由 2 对于 1 中你认为属于集合a的函数f x 不等式f x f x 2 2f x 1 是否对于任意的x 0恒成立 请说明理由 解析 1 函数f1 x 2不属于集合a 因为f1 x 的值域是 2 所以函数f1 x 2不属于集合a f2 x 4 6 x x 0 属于集合a 因为 函数f2 x 的定义域是 0 f2 x 的值域是 2 4 函数f2 x 在 0 上是增函数 2 是 f x f x 2 2f x