中考数学总复习 第二部分 热点题型攻略 题型四 图形动态问题课件.ppt

第二部分热点题型攻略 题型四图形动态问题 类型一图形变换问题典例精讲例 13岳阳 某数学兴趣开展了一次课外活动 过程如下 如图 正方形abcd中 ab 6 将三角板放在正方形abcd上 使三角板的直角顶点与d点重合 三角板的一边交ab于点p 另一边交bc的延长线于点q 1 求证 dp dq 2 如图 小明在图 的基础上作 pdq的平分线de交bc于点e 连接pe 他发现pe和qe存在一定的数量关系 请猜测他的结论并予以证明 例1题图 3 如图 固定三角板直角顶点在d点不动 转动三角板 使三角板的一边交ab的延长线于点p 另一边交bc的延长线于点q 仍作 pdq的平分线de交bc延长线于点e 连接pe 若ab ap 3 4 请帮小明算出 dep的面积 1 思路分析 正方形abcd pdq 90 adp cdq adp cdq asa dp dq 证明 在正方形abcd中 ad cd a adc dcq 90 pdq 90 adp pdc qdc pdc 90 adp cdq adp cdq asa dp dq 2 思路分析 pde qdepe qe 证明 由 1 知dp dq pde qde 45 de de pde qde sas pe qe 3 思路分析 pde qdes dep s deq cd eqab 6 ab ap 3 4ap 8 cq 8 s dep 解 ab ap 3 4 ab 6 ap 8 bp 2 与 1 同理 可以证明 adp cdq cq ap 8 与 2 同理 可以证明 dep deq pe qe 设qe pe x 则be bc cq qe 14 x 在rt bpe中 由勾股定理得 bp2 be2 pe2 即22 14 x 2 x2 解得x 即qe s deq qe cd 6 dep deq s dep s deq 与图形有关的计算题一般涉及到以下几种问题 1 探究两线段的数量关系 具体方法如下 1 要证明的线段 角 在某一四边形中 可以考虑直接利用特殊四边形的性质 通过量的转换 等量代换进行求证 2 如果所要证明的线段 角 在某一三角形中 可以考虑直接利用等腰 直角三角形的性质进行求证 3 如果所要证明的线段 角 在两个三角形中 可以考虑通过三角形全等的判定及性质进行证明 出现直角三角形 则利用斜边的中线等于斜边的一半或30 角所对的直角边为斜边的一半进行等量代换 出现等腰三角形 则利用等腰三角形的性质两腰相等 两底角相等 底边上的高垂直于底边等进行求解 在等腰三角形中出现60 角 则可以转化为等边三角形和含30 角的特殊直角三角形进行求解 2 两线段的位置关系通常为平行或垂直 先观察图形 根据图形先推测两线段的位置关系是平行或垂直 若平行 则常通过以下方法进行证解 1 平行线判定的定理 2 平行四边形对边平行 3 三角形中位线性质等 若垂直 则常通过以下方法进行证解 1 证明两线段所在直线夹角为90 2 两线段是矩形的邻边 3 两线段是菱形的对角线 4 勾股定理的逆定理 5 利用等腰三角形三线合一的性质等方式证明 3 求线段长度 比值时一般多涉及三角形全等和相似的相关证明和性质的运用 具体方法如下 要计算线段比 面积比时 可考虑从下列两方面思考 直接利用特殊图形的性质先求出对应线段 面积的值 再求比值 通过寻找相似三角形 利用三角形相似的性质求相应的比值 类型二图形中动点问题典例精讲例1 13郴州 如图 abc中 ab bc ac 8 tana k p为ac边上一动点 设pc x 作pe ab交bc于e pf bc交ab于f 1 证明 pce是等腰三角形 2 em fn bh分别是 pec afp abc的高 用含x和k的代数式表示em fn 并探究em fn bh之间的数量关系 3 当k 4时 求四边形pebf的面积s与x的函数关系式 x为何值时 s有最大值 并求出s的最大值 例1题图 1 思路分析 根据等边对等角可得 a c 然后根据两直线平行 同位角相等求出 cpe a 从而得出 cpe c 即可得证 证明 pe ab cpe a ab bc a c c cpe ce pe 即 pce是等腰三角形 2 思路分析 根据等腰三角形三线合一的性质求出cm cp 然后求出em 同理求出fn bh的长 再结合整理可得em fn bh 解 ab bc bh ac ac 8 ah ch ac 4 在rt abh中 tana k bh 4k em fn bh分别是 pec afp abc的高 cme chb anf ahb 即 em kx fn em fn bh 3 思路分析 分别求出em fn bh 然后根据s pce s apf s abc的关系 即s s abc s cpe s apf 整理即可得到s与x的关系式 然后利用二次函数的最值问题解答 解 当k 4时 em 2x fn 16 2x bh 16 s s abc s afp s cpe ac bh ap fn cp em 8 16 8 x 16 2x x 2x 64 x2 16x 64 x2 2x2 16x 64 64 2 x 4 2 32 当x 4时 s有最大值 且为32 例2 14常德 如图 已知四边形abcd为正方形 在射线ac上有一动点p 作pe ad 或延长线 于e 作pf dc 或延长线 于f 作射线bp交ef于g 1 在图 中 设正方形abcd的边长为2 四边形abfe的面积为y ap x 求y关于x的函数表达式 2 结论 gb ef对图 图 都是成立的 请任选一图形给出证明 3 请根据图 证明 fgc pfb 例2题图 1 思路分析 在等腰直角三角形aep中 ap x 由勾股定理得ae ep x 于是可分别用含x的式子表示rt def rt bfc的两直角边 根据s四边形abfe s正方形abcd s def s bfc求得y关于x的函数表达式 解 ep ad pf dc 四边形epfd是矩形 ap x ae ep df x de pf fc 2 x s四边形abfe 4 df ed bc fc 4 x 2 x 2 2 x x2 2 2 思路分析 如解图 先证明rt fpe rt bhp 然后证明 fpg bph 根据相似三角形的对应角相等得出结果 图 的证法相同 解 如解图 证明 gb ef 延长fp交ab于h pf dc pe ad pf pe ph hb 即 bhp 90 四边形abcd是正方形 在rt fpe与rt bhp中 pf fc hb epf phb 90 ep ph rt fpe rt bhp sas pfe pbh 又 fpg bph fpg bph fgp bhp 90 即gb ef 例2题解图 h 3 思路分析 欲证 fgc pfb 首先根据gb ef得到 bpf cfg 有一角对应相等 再找来这个角的两边对应成比例即可 需连接pd 易证 dpc bpc pgf fpe 则pd pb ef pf2 fg ef 问题解决 证明 证法一 gb ef bpf cfg 如解图 连接pd 在 dpc和 bpc中 dc bc dcp bcp 135 pc pc dpc bpc sas pd pb 而pd ef ef pb又 gb ef pf2 fg ef pf2 fg pb 而pf fc pf fc fg pb 由 得 pfb fgc 例2题解图 证明 证法二 gb ef bpf cfg 又 bg fg bc cf 如解图 取bf的中点m 则mg mf mb mc mf mb b c g f四点在以m为圆心 mb为半径的圆上 pbf fcg 由 得 fgc pfb 面积与变量之间函数关系和最值问题具体方法如下 1 根据题意 用题设中已知量设出自变量 时间t或线段长x 表示出所求图形中的线段长 2 观察所求图形的面积能不能直接利用面积公式求出 若能 根据几何图形面积公式得到自变量 时间t或线段长x 关于面积的二次函数关系式 注意自变量的取值范围 若所求图形的面积不能直接利用 面积公式求出时 则需将所求图形分割成几个可直接利用面积公式计算的图形 进行求解 3 结合已知条件和函数图象性质求出面积取最大时的自变量的值 类型三图形中动点存在 探究问题典例精讲例1 14郴州 如图 在rt abc中 bac 90 b 60 bc 16cm ad是斜边bc上的高 垂足为d be 1cm 点m从点b出发沿bc方向以1cm s的速度运动 点n从点e出发 与点m同时同方向以相同的速度运动 以mn为边在bc的上方作正方形mngh 点m到达点d时停止运动 点n到达点c时停止运动 设运动时间为t s 1 当t为何值时 点g刚好落在线段ad上 2 设正方形mngh与rt abc重叠部分的图形的面积为s 当重叠部分的图形是正方形时 求出s关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围 3 设正方形mngh的边ng所在直线与线段ac交于点p 连接dp 当t为何值时 cpd是等腰三角形 1 思路分析 1 点g刚好落在线段ad上 此时点n运动到d点 dm 1cm 故只要求出en的长问题得以解决 例1题图 解 在rt abc中 b 60 bc 16cm cos60 即ab 8cm 同理 bd 4cm en 3cm 即t 3s 2 思路分析 先用含t的代数式表示出重叠部分的图形是正方形时的边长 再求它的面积 分情况讨论 解 当m运动如解图 所示时 mh没有到达ad 此时正方形mngh是边长为1的正方形 令h点在ab上 在rt bmh中 hm mn 1 b 60 tan60 hm t 1 t 此时 正方形mngh恰好完全在 abc内且边长为1 s 1 当n运动到如解图 所示时 n点继续向前移动 当m运动到d点时停止运动 此时t 4 d点 m点重合 n点继续向前移动 此后正方形mngh面积与前面不同 令g点在ac上 由 1 中可知 bd 4cm ab 8cm bc 16cm ac cm 可得mn t 4 1 t 3 cn 15 t cgn cba 即 t 3 面积s mn2 t 3 2 t2 6t 9 可得s 1 t 4t2 6t 94 t 3 例1题解图 难点突破 此题关键是抓住重叠部分的图形是正方形 3 思路分析 由于运动 需要分三种情况讨论 当cp cd dp cp dp cd 转化为方程即可解决 解 当cp cd 12时 cn 15 t cos30 t 15 例1题解图 当dp cp时 有cn dn 6 即15 t 6 t 9 当dp cd 12 而0 dp 故无解 综上 当t 15 或t 9时 cpd是等腰三角形 例2 13怀化 如图 矩形abcd中 ab 12cm ad 16cm 动点e f分别从a点 c点同时出发 均以2cm s的速度分别沿ad向d点和沿cb向b点运动 1 经过几秒首次可使ef ac 例2题图 2 若ef ac 在线段ac上 是否存在一点p 使2ep ae ef ap 若存在 请说明p点的位置 1 思路分析 设经过x秒首次使ef ac ac与ef交于点o ef ac 易证 aoe cof 所以ao oc 由勾股定理可得ac 从而可得oc 在rt ofc中 可用x表示of 作eh bc于h 在rt efh中 根据勾股定理可得关于x的方程 解方程即可 解 设经过x秒首次可使ef ac与ef的交点为o 则ae 2x cf 2x ae cf 四边形abcd是矩形 eao fco aoe cof aoe cof aas ao oc oe of ab 12cm ad 16cm ac 20cm oc 10cm 在rt ofc中 of2 oc2 fc2 of 如解图 过点e作eh bc交bc于点h 在rt efh中 fh2 eh2 ef2 即 2x 16 2x 2 122 2 2 解得x 故经过秒首次可使ef ac 例2题解图 2 思路分析 当ep ad时 根据 aep aoe可得2ep ae ef ap ep与ac的交点即为所求p点 解 如解图过点e作ep ad交ac于点p 则p就是所求的点 证明如下 由作法可知 aep 90 又 ef ac aep aoe 即ep ae eo ap ef ap 2ep ae ef ap 图形中动点存在 探究问题一般涉及到以下几种问题 1 解答三角形相似的存在问题具体方法如下 1 若为存在问题 则先假设存在 再进行下一步 若为探究问题 则直接进行下一步 2 分情况讨论 剔除不符情况 探究三角形相似时 往往没有明确指出两个三角形的对应角 对应边 根据三角形的对应关系 可以确定出三种不同的对应形式 根据题意或实际情况 剔除不符合的对应形式 3 求边长 在每种情况下 用题设中已设出自变量 时间t或线段长x 表示出所求三角形的边长 4 建立关系式并计算 由相似三角形的性质列出相应的比例关系式 整理可得一元一次方程或者一元二次方程 解方程求出t值或x值即可 2 解答等腰三角形的存在问题具体方法如下 1 若为存在问题 则先假设存在 再进行下一步 若为探究问题 则直接进行下一步 2 分情况讨论 当所给条件中没有说明哪条边是等腰三角形的底 哪条边是等腰三角形的腰时 这时要对其进行分类讨论 假设某两条边相等 得到三种情况 3 求边