弹性力学-05.ppt

第五章平面问题的复变函数解答 要点 1 应力函数 应力分量 位移分量 边界条件等的复变函数表示 2 多连体中复位势函数的结构 应用 复杂边界形状及边界条件的问题 3 复变函数解法的应用 5 1应力函数的复变函数表示 主要内容 5 2应力和位移的复变函数表示 5 3各个复变函数确定的程度 5 4边界条件的复变函数表示 5 5多连体中应力和位移的单值条件 5 6无限大多连体的情形 5 7保角变换与曲线坐标 5 8孔口问题 5 9椭圆孔口 5 10裂隙附近的应力集中 5 11正方形孔口 5 1应力函数的复变函数表示 1 复变函数的基本概念 1 复数的表示 其中 i 为虚数单位 复数z的模 复数z的极角 2 共轭复数 3 复变函数的表示 分别为f z 的实部和虚部 复变函数的共轭函数的表示 一般 而应将所有i换为 i 注意 复数z对应平面上的点 复变函数w f z 将平面z上的点变换为平面w上的点 将平面z上的图形变换为平面w上的图形 将平面z上的一个区域变换为平面w上的一个区域 因此 用复数和复变函数来描述和求解平面问题是十分自然的 记为 4 解析函数的概念与性质 如果函数f z 在z0及z0的邻域内处处可导 则称f z 在z0点解析 如果函数f z 在区域D内每一点解析 则称f z 在D内解析 或称f z 是D内的一个解析函数 解析函数的概念 1 解析函数的性质 两个解析函数的和 差 积 商仍为解析函数 解析函数的复合函数仍为解析函数 2 函数 解析的充要条件 a 在定义域D上处处可微 b 满足Cauchy Riemann方程 称为互为共轭的调和函数 且满足Laplace方程 曲线族 互相正交 3 如果函数f z 在单连域D内处处解析 则f z 在D内任何一封闭曲线C的积分为零 柯西 古萨 Cauchy Goursat 定理 4 如果函数f z 在单连域D内处处解析 则f z 的积分与路径无关 5 如果函数f z 在单连域D内处处解析 则原函数F z 必为解析函数 且有 6 Cauchy积分公式 如果函数f z 在单连域D内处处解析 C为D内任何一条简单闭曲线 它的内部完全属于D z0为包含在C内的任一点 则有 特别当 有 7 设f z 在以z z0为圆心的圆内和圆周上是解析的 那么对圆内所有的点有泰勒级数表示 8 设f z 在以R1 z z0 R2为圆环域内处处解析的 那么可展开成罗朗 Laurent 级数 2 相容方程的复变函数表示 由 可知 1 复变数与直角坐标的导数关系 2 相容方程的复变函数表示 本章中用U x y 表示应力函数 同时将应力函数视为复变数z 的函数 即 5 1 5 2 对式 5 1 进一步求导 5 3 5 4 由此可得 相容方程的复变函数表示 3 应力函数的复变函数表示 将式 a 对复变量z各积分两次 b a 双调和函数U为实函数 所以式 b 中应两两共轭 有 式 b 可改写为 令 古萨 Goursat 公式 上式也可改写为 其中 分别为两解析函数 5 5 5 6 由此可见 在常量体力的平面问题中 应力函数U总可以用复变量z的两个解析函数 1 z 和 1 z 来表示 称为克罗索夫和穆斯赫利什维利 Kolosoff Mushelishvili 函数 5 2应力和位移的复变函数表示 1 应力分量的复变函数表示 假定不计体力 有 5 7 由方程 5 4 得 5 4 将式 5 5 代入 有 5 8 由式 5 2 可得 将式 5 5 代入 有 令 另一解析函数 a 5 9 5 8 由式 5 9 可看出 1 函数具有相同的量纲 力 长度 1 2 只要函数求得 则应力分量就可确定 2 位移分量的复变函数表示 不妨考虑平面应力问题 有 b c d e 由式 5 8 5 7 5 1 得 f e f 对上两式分别就变量x y积分 g 式中f1 f2为任意函数 将上式中的第一 二式分别对y x求导 有 将上式代入式 d 得 d 解此方程 有 代表刚体位移 当不计刚体位移 其位移分量为 计算 h 利用式 5 2 中的第一式 及式 5 5 式 得 i 将式 i 代入式 h 有 等式两边同除以 有 5 10 位移分量的复变函数表示 说明 1 式 5 8 5 9 5 10 是由柯洛索夫 M C Kolossoff 首先得到的 2 式 5 10 是就平面应力情形推导而得的 若为平面应变情形 则材料常数E 需作相应转换 即 3 例 已知 式中A B为复常数 试求其所对应的应力 解 由式 5 8 5 9 可知 将 代入得 令 其中A1 A2 B1 B1为实常数 a 于是有 对应于均匀应力状态 5 3各个复变函数确定的程度 问题 当物体内应力分量 位移分量给定时 复变函数能确定到什么程度 1 应力分量确定时 的确定程度 当物体内应力分量给定时 有 a b 现假设另外两个复变函数 也给出同样的应力 则有 c d 1 比较式 a 与 c 应有 即允许相差一虚常数 即 e 其中 C为任意实常数 对式 e 两边积分 有 f 式中为任意复常数 2 由式 b d 可知 当按式 f 确定时有 在保证应力不变的条件下 对应满足 g 对式 g 两边积分 有 式中为任意复常数 h 结论1 在应力保持不变的条件下 复变函数可以作如下代换 可代以 可代以 i 其中 为任意常数 2 位移分量确定时 的确定程度 由弹性力学基本理论可知 当位移确定时 应力是完全确定的 反之 当应力确定时 位移不是完全确定的 现考察代换 i 如何才能不改变位移 对平面应力情形 位移分量的复变函数表示 5 10 将式 i 的代换代入 有 将式 i 的代换代入 有 整理得 j 由式 j 可以看到 要使位移单值确定 须有 结论2 要使应力和位移都能确定 复变函数只能可以作如下代换 可代以 可代以 其中 为任意复常数 说明 对平面应变情形 式中的材料常数应作相应的代换 小结 1 相容方程的复变函数表示 2 应力函数的复变函数表示 古萨 Goursat 公式 5 5 5 6 5 8 3 应力分量的复变函数表示 5 9 或 其中 4 位移分量的复变函数表示 5 10 平面应力问题 平面应变问题 5 复变函数的确定程度 当应力 位移都确定时 可以有如下改变 5 4 本章内容回顾 1 几个重要的关系式 2 相容方程的复变函数表示 3 应力函数的复变函数表示 古萨 Goursat 公式 5 5 5 6 5 8 4 应力分量的复变函数表示 5 9 或 其中 5 位移分量的复变函数表示 5 10 平面应力问题 平面应变问题 6 复变函数的确定程度 当应力 位移都确定时 可以有如下改变 5 4边界条件的复变函数表示 1 应力边界条件的复变函数表示 平面问题的应力边界条件为 将应力函数表示的应力分量 代入 有 a 边界外法线的方向余弦为 代入式 a 有 面力矢量的复数形式可表示为 因为 代入 有 将两边同乘以ids 有 将其从A到B积分 有 5 11 或者写为 b 现将A点作为基准点 B点作为边界上的任一点 并记 再引入记号 式 b 可简写为 c 考虑到 可任意增加一个复常数 可增加一个复常数 这样总可选取适当的 使得式 c 中的k消去 并简写为 5 12 应力边界条件的复变函数表示 说明 表示在边界s上基点A与任一点B间面力的主矢量 于是有 式 5 12 的物理意义 在边界s上任一点 z的值 就等于基点A与该点间面力的主矢量 2 位移边界条件的复变函数表示 位移边界条件为 d 式中 为边界上已知的位移分量 由位移分量的复变函数表示 5 10 代入 得到 5 13 位移边界条件的复变函数表示 对于平面应变情形 有 平面问题复变函数求解公式小结 5 9 5 8 5 10 5 12 应力边界条件的复变函数表示 5 13 位移边界条件的复变函数表示 只要我们要求出满足边界条件的两个解析函数 问题就得以解决 但要求出满足边界条件的两个解析函数 这仍旧是困难的 克罗索夫和穆斯赫利什维利 Kolosoff Mushelishvili 根据边界条件和柯西积分解决了不少复杂的问题 前面主要内容回顾 1 相容方程的复变函数表示 2 应力函数的复变函数表示 3 应力分量的复变函数表示 4 位移分量的复变函数表示 平面应变问题 5 边界条件的复变函数表示 位移边界条件 平面应变情形 6 复变函数的确定程度 当应力 位移都确定时 可以有如下改变 结论 弹性力学平面问题归结为 根据问题的条件寻求出满足边界条件的两个解析函数 5 5多连体中应力和位移的单值条件 对于平面单连体问题 复位势函数为单值解析函数 对于平面多连体问题 复位势函数可能表现为多值解析函数 如 问题 如何适当选择函数 才能保证应力和位移的单值性 1 应力单值条件对要求 先考虑仅有一个内边界Sk和一个外边界Sm 1的情形 1 由式 5 8 a 可知 要使应力单值 须要求的单值 但其虚部可以多值 即 允许环绕内边界Sk一周后 有一虚数增量 设此虚数增量为 其中 Ak为任意实数 符合上述要求的函数有 其中 zk为Sk边界外的任一点 上述函数环绕内边界Sk一周后 有虚数增量 由此可取 b 其中 为多连体中的单值解析函数 事实上 上述函数可表示成 对 b 式两边积分 有 c 复常数 其中 z0为弹性体内的任一点 由解析函数的性质 有 仍为解析函数 但上述积分可能成为多值函数 绕Sk一周后可能有一增量 这里Ck一般为复常数 参照式 b 可表达为 单值解析函数 将上式代入式 c 有 单值解析函数 d 式 c 中 为一复常数 为一单值解析函数 2 由式 5 9 5 9 可知 要使应力单值 取决于是否分别单值 由于 对上式两边求导 显然 将取式 d 的形式 为单值解析的 e 式中 多连体中的单值解析函数 为复常数 小结 d e 2 位移单值条件对要求 平面应力条件下 位移分量的复变函数表达式为 5 10 将式 b d e 代入 有 整理得 当绕行Sk一周后 将有增量 要使位移单值 则须使上述增量为零 即 f f 将其代入式 d e 有 的边界条件表示 由应力边界条件的复变函数表示 5 11 将其应用到闭环Sk上 即 点与 点重合 有 g 将式 g 表示成 g 其中 Xk Yk为Sk边界上面力的主矢量 将式 d e 代入式 g 有 表明 与Sk边界上的面力主矢量成正比 将上式代入 可得 i 式中 为单值解析函数 以上为仅有一个内边界Sk和外边界Sm 1的情形 对于具有同m个内边界和外边界Sm 1的情形 可将以上论证推广而得 5 14 f 结论 为保证多连体中应力和位移的单值性 复变函数必须取式 5 14 的形式 其中 为该多连体中单值解析函数 本节小结 问题 其中 函数 单值解析函数 对平面多连体问题 如何适当选择复位势函数 才能保证应力和位移的单值性 应力的单值对的要求 位移的单值对的要求 应力 位移的单值条件 与内边界上外力的关系 应力 位移的单值条件 与内边界上外力的关系 单个孔洞问题 为单值解析函数 多个孔洞问题 思考题 对平面多连体问题 什么情况下其应力 位移必定是单值的 5 6无限大多连体的情形 如图 命外边界SR趋于无穷远 则该多连体成为无限大多连体问题 对于无限大多连体问题 需要知道取什么样的 才能保证在无穷远处应力有限 以坐标原点为圆心 作半径为R的大圆周SR 将所有的内边界S1 S2 Sm包括在内 则对于SR之外 弹性体内的任一点z 恒有 其中 zk为弹性体SR内的一点 在SR外单值解析 在SR外单值解析函数 将上式代入 得 a 其中 为m个内边界上x y方向面力之和 主矢 a 其中 为m个内边界上x y方向面力之和 主矢 为SR以外的解析的复变函数 无穷远处可能不解析 将展开成罗朗 Laurent 级数 有 b 将式 a b 代入应力分量的复变函数表达式中的第一式 c 得到 可见 可能随 z 无限增大的项为 因此 在无穷远处 即当时 使应力不致成为无限大条件为 e 同理 将式 a b 代入应力分量的复变函数表达式中的第二式 d 可推得 在无穷远处 即当时 使应力不致成为无限大条件为 f 小结 对于无限大多连体问题 在应力保持有限的条件下 复变函数 应取如下形式 g 其中 为实常数 函数SR之外 包括在 无穷远处的解析函数 可将展开为级数 由第三节的讨论 在应力不变的条件下 可以差一复常数 可以差一虚常数 因此可取 于是 式 g 就可表示为 5 15 其中 5 16 的物理意义 由式 5 15 可求得 将其代入应力分量的复变函数式 得到 无穷远处 的应力为 h 设无穷远处 的主应力及第一主应力 1与x轴的夹角为 则有 将其与式 h 比较 h 可求得 5 17 结论 1 常数B与弹性体中无穷远处的两主应力和成正比 2 常数与弹性体中无穷远处的两主应力差 或最大剪应力 成正比 本节小结 问题 对平面无限大多连体问题 如何适当选择复位势函数 才能保证应力的有限性 应力的有限对的要求 其中 应力的有限条件与无穷远受力的关系 应力的有限条件与无穷远处受力的关系 其中 本章前面内容回顾 1 相容方程的复变函数表示 2 应力函数的复变函数表示 3 应力分量的复变函数表示 4 位移分量的复变函数表示 平面应变问题 5 边界条件的复变函数表示 位移边界条件 平面应变情形 6 复变函数的确定程度 当应力 位移都确定时 可以有如下改变 7 多连体问题的应力与位移单值条件对复变函数的要求 其中 函数 单值解析函数 应力的单值对的要求 位移的单值对的要求 应力 位移的单值条件 与内边界上外力的关系 单个孔洞问题 为单值解析函数 多个孔洞问题 8 无限大多连体的应力有限条件对复变函数的要求 应力的有限对的要求 其中 应力的有限条件与无穷远受力的关系 5 7保角变换与曲线坐标 1 保角变换 映射 设z 平面上的一点z D 与 平面上的一点 D 之间通过变换 映射 相联系 其中为 平面上区域D 内的单值解析函数 且 这样使 平面上每一点 D 都对应于z 平面上完全确定的点z D 设C1 C2为过点 D 的两条曲线 其夹角为 反时针转向 通过变换后 得到z 平面上与 平面上的一点 对应点z处的曲线L1 L2 如果z 平面上点z处曲线L1 L2的夹角仍为 且转向也相同 则称变换 映射 为保角变换 映射 常用的变换 将z 平面上的复杂边界变换为 平面上的单位圆 如 其中 实数R m由椭圆的长半轴a与短半轴b决定 或 2 曲线坐标 在 平面上 任一点 可表示为 也可表示为 其中 为 点的极坐标 显然 在 平面上 const表示一圆周线 const代表一根径向直线 在z 平面上 const表示一曲线 const表示另一曲线 因此 可视为z 平面上一点z处的曲线坐标 由于变换的保角性 z 平面上的曲线坐标总是正交的 且坐标轴 的相对方向总是与坐标轴x y的相对方向相同 曲线坐标与直角坐标间的变换关系 设z 平面上有一矢量A 其起点在点 用Ax Ay分别表示它在x y轴上的投影 用 分别表示它在 轴上的投影 设 轴与x轴成角 则有 将此向量用复数表示 有 a 从而有 的计算 假想沿 方向给点z以位移dz 因而对应点 沿径线方向得到位移 于是有 b a 于是式 a 可表示为 c 3 一些基本函数与公式的变换 5 19 5 20 位移分量的变换 5 21 5 10 由 得 将上式代入式 5 21 得 位移矢量在曲线坐标 轴上的投影 位移矢量在曲线坐标 轴上的投影 5 22 曲线坐标中位移分量的复变函数表示 应力分量的变换 表示弹性体在曲线坐标 中的应力分量 由应力坐标变换式 由此可得 由应力分量的复变函数表示 有 由 e f 将式 f 代入 e 并利用式 5 20 有 5 23 曲线坐标中应力分量的复变函数表示 应力边界条件的变换 5 12 应力边界条件的复变函数表示 将式 5 19 5 20 代入 有 在边界上 1 因而 引入记号 上式可表示为 平面问题复变函数求解公式小结 1 z 平面内求解 5 9 5 8 5 10 5 12 应力边界条件的复变函数表示 5 13 位移边界条件的复变函数表示 对无限大多连域问题 5 15 其中 5 16 5 17 为m个内边界上x y方向面力之和 主矢 2 平面内求解 由孔口的形状确定所用的保角变换 5 19 5 20 5 22 曲线坐标中位移分量的复变函数表示 曲线坐标中应力分量的复变函数表示 曲线坐标中应力边界条件的的复变函数表示 本章前面内容回顾 1 应力分量的复变函数表示 2 位移分量的复变函数表示 平面应变问题 3 边界条件的复变函数表示 位移边界条件 平面应变情形 保证多连体中应力和位移的单值性 4 多连体中两复变函数的形式 其中为该多连体中单值解析函数 5 无限大多连体中两复变函数的形式 6 曲线坐标中应力分量 位移分量 边界条件的复变函数表示 5 22 位移分量 应力分量 应力边界条件 由孔口的形状确定所用的保角变换 其中 5 8孔口问题 限于无限大弹性体单孔口问题 1 保角变换函数的确定 基本思想 把弹性体在z 平面上所占的区域变换为 平面上的 中心单位圆 即 圆心在坐标原点 0 半径为 1 对无限大弹性体单孔口问题 变换函数的一般形式可取为 5 24 其中 n为正整数 R为实数 ck一般为复数 而 以确保n 时 级数收敛 2 复位势函数 5 15 的讨论 由于在单位圆内及圆周上 有 且 因而 有 无限大多连体问题的 展开级数 从而有 的在圆内为单值的解析函数 的讨论 将其中各项作以上类似讨论 如 的在圆内为单值的解析函数 由此可见 的所有各项都是 的在圆内为单值的解析函数 将以上所得结果代入式 5 15 5 15 5 25 5 26 对圆内解析函数可表示为 5 27 5 28 在中心单位圆内是 的解析函数 式中的常数项已删去 因为它不影响应力 3 边界条件的变换 假定弹性体的全部边界为应力边界 由边界条件的复变函数表示 5 12 将式 5 19 与 5 20 代入 有 在边界上 1 因而 引入记号 上式可表示为 b 将式 5 25 5 26 取边界值 有 c d 将式 c d 代入 b 并注意到 有 e 引入记号 5 30 其边界条件及其共轭式可简写为 5 31 5 32 说明 1 当孔口不受面力时 此时 常数 取决于距孔口很远处的主应力和应力主向 即 2 当仅孔口受面力时 其应力分布是局部的 无穷远处应力应为零 即 可见 f0总是已知的 或者可以求得的 4 的确定 两种常用Cauchy积分 1 设函数F 在单位圆之内是解析的 且在圆内及圆周上连续 则对圆内任一点 都将有 5 33 适用于有限大区域的Cauchy积分 2 设函数F 在单位圆之外是解析的 且在圆外及圆周上连续 则对圆内任一点 都将有 5 34 适用于无限大区域的Cauchy积分 的确定 5 31 将上式两边同乘以 并沿整个孔边积分 有 f 因为 在中心单位圆内解析 且在圆内及圆周上连续 所以有 g 又因为 为圆外解析 且圆外及圆周上连续 故有 h 将式 g h 代入式 f 有 5 35 对式 5 32 作以上类似的讨论 5 32 将上式两边同乘以 并沿整个孔边积分 有 5 36 5 35 即求得 再利用前面的公式可容易求得应力和位移 无限大弹性体单孔口问题求解步骤小结 1 由孔口的形状 确定相应的保角变换 2 由式 5 30 求出 5 30 3 由式 5 35 5 36 求出 5 24 4 由式 5 25 5 26 求出 5 由式 5 22 5 23 求出 5 9椭圆孔口 1 保角变换函数的确定 其中 实数R m由椭圆的长半轴a与短半轴b决定 或 a b 将 代入式 a 两端 并分开实部与虚部 有 依次消去式中的 得 z平面内的椭圆方程 当 1时 所对应椭圆的长半轴与短半轴为 说明 1 在 平面上 是以反时针转向为正 而在z平面上 是以顺时针转向为正 2 坐标原点 0对应于弹性体中距孔口无穷远处的各点 2 的求解 由式 a 可求得 a 代入式 5 35 有 5 35 由式 5 27 可知 c 由式 5 27 可知 代入上式 有 因为 在单位圆外解析 且在圆内与圆周上连续 由无限大区域的Cauchy积分 可知 上式中第二项积分为零 于是 有 e 将式 c 代入式 5 36 5 36 因为 在单位圆内解析 且在圆内与圆周上连续 由有限区域的Cauchy积分 得 代入式 e 得 d f 无限大弹性体椭圆孔口问题求解步骤 1 保角变换 a 2 由式 5 30 求出 5 30 3 由式 d f 求出 d f 4 由式 5 25 5 26 求出 其中 5 17 5 由式 5 22 5 23 求出 5 22 平面问题复变函数求解公式小结 1 z 平面内求解 5 9 5 8 5 10 5 12 应力边界条件的复变函数表示 5 13 位移边界条件的复变函数表示 对无限大多连域问题 5 15 其中 5 16 5 17 为m个内边界上x y方向面力之和 主矢 2 平面内求解 由孔口的形状确定所用的保角变换 5 19 5 20 5 22 曲线坐标中位移分量的复变函数表示 曲线坐标中应力分量的复变函数表示 曲线坐标中应力边界条件的的复变函数表示 5 15 其中 5 27 5 28 单位圆内解析 圆周上连续函数 无限大弹性体单孔口问题求解步骤小结 1 由孔口的形状 确定相应的保角变换 2 由式 5 30 求出 5 30 3 由式 5 35 5 36 求出 5 24 4 由式 5 25 5 26 求出 5 由式 5 22 5 23 求出 无限大弹性体椭圆孔口问题求解步骤 1 保角变换 a 2 由式 5 30 求出 5 30 3 由式 d f 求出 d f 4 由式 5 25 5 26 求出 其中 5 17 5 由式 5 22 5 23 求出 5 22 例 设薄板或长柱与Ox轴成 角的方向受有均匀拉应力q 孔边不受面力 如图所示 试求其应力分量 解 1 求f0 由边界条件 可知 g 由公式 5 17 有 代入式 5 31 有 5 30 h i 2 求 由 j f d 由 k j k 将上两式及式 g h 代入式 5 25 5 26 有 5 26 将代入 并整理得 将整理在一起 有 l 3 求应力分量 由 可求得 将代入式 5 20 求得 代入式 5 23 m 将 代入式 m 分开实部与虚部后 即可得出 的表达式 在孔边 有 由式 m 得 将 代入 有 n 1 即拉应力q平行于x轴 由式 n 得出孔边的应力为 最大正应力为 讨论 最小正应力为 2 即拉应力q平行于y轴 由式 n 得出孔边的应力为 最小正应力为 最大正应力为 例 无限大薄板 孔边受有均匀压应力q 如图所示 试求孔边的应力 解 1 求f0 由边界条件可知 面力矢量 于是 得 因为 面力为平衡力系 无穷处不受力 由式 5 30 得 因为在边界上有 所以f0 2 求 d f 3 求应力分量 由 可求得 将代入式 5 20 求得 将上式代入应力分量公式 5 23 有 将上式代入应力分量公式 5 23 有 将 代入上式 分开实部与虚部后 即可得出 的表达式 在孔边 有 由上式得 讨论 1 最大正应力为 2 最小正应力为 无限大弹性体椭圆孔口问题求解步骤小结 1 保角变换 a 2 由式 5 30 求出 5 30 3 由式 d f 求出 d f 4 由式 5 25 5 26 求出 其中 5 17 5 由式 5 22 5 23 求出 5 22 例 具有圆孔的无限大薄板 在平行于x方向作用有均布拉力q 试用复变函数法求解圆孔附近的应力分布 解 1 选取适当的保角变换函数 圆 单位圆边界上 有 2 确定系数B B C 及角 由无穷远处的应力 3 求 4 求 0 及 0 在单位圆外解析 5 求 及 6 孔边应力 边界条件 说明 由 有 代入上式 得 与习题5 5的条件相同 5 10裂隙附近的应力集中 如图所示 当椭圆形孔口的短轴长度b 0 则该孔口变成为x方向的 长为2a的裂隙 贯穿的裂纹 裂缝 1 保角变换函数的确定 椭圆形孔口 其中 令 上式中b 0 有 a b 薄板或长柱的受力如图 无穷处受到与x方向成 的均匀拉应力 对椭圆孔口的情形 有 2 的求解 令式中 可得 c 由此可方便地求出该问题的应力与位移 过程同前 但比较繁琐 当拉应力q方向垂直于裂隙时 即 有 d 代入 得 3 应力分量 为便于直接求出应力分量 将式 d 中的 用z表示 由变换式 b b 得 考虑到 保角变换 b 中当 z 时 0 故上式中应取负号 即 e 将式 e 代入式 d 有 f 代入应力分量的复变函数式 g 对于裂纹问题中 重要的是分析裂纹尖端附近的应力分布 特别是应力随距裂纹端点的距离而变化的规律 取裂隙端点B为极坐标 r 的原点 有 将其代入式 g 有 进一步将上式分开实部与虚部 即可求出 的表达式 由于裂隙端点B附近 r远小于a 因可将上两式按r a的升幂次展开 并只保留随r的增大而减小的主项 略去不随r变化和随r的减小而减小的各项 可得到 h 从中可求出 5 37 裂纹尖端附近的应力场表达式 例 薄板或长柱在裂隙方向受有均布剪应力q 如图所示 这种情况 可用图右下角所示的受力状态情况代替 在 4的方向受均布拉应力 在 4的方向受均布压应力 将式 e 代入 有 i 代入应力分量的复变函数式 可得 j 仍以裂隙端点B为极坐标 r 的原点 因而有 将其代入式 g 然后按r a的升幂次展开 并只保留其中的主项 得 k 从中可求出 5 38 说明 1 式中当r 时 各个应力分量 都趋于无穷 表明裂隙端点的应力为无穷大 但实际上是不可能的 因为当应力达到一定值后 材料进入屈服状态 在裂隙端点出现或大或小的塑性区 2 表明式 5 37 5 38 只适用于塑性区以外部分 式 5 37 5 38 是 断裂力学 中研究裂纹扩展规律的重要依据 无限大弹性体单孔口问题求解步骤 1 由孔口的形状 确定相应的保角变换 2 由式 5 30 求出 5 30 3 由式 5 35 5 36 求出 5 24 4 由式 5 25 5 26 求出 其中 5 17 5 由式 5 22 5 23 求出 5 22 5 11正方形孔口 1 保角变换函数 由复变函数书中可查得 其变换式可为 a 式中 R为实数 取决于正方形的大小 1 若在上式中只取两项近似 即 b 分开实部与虚部 有 在z 平面上画出其图形 如图所示 为近似正方形 此正方形的中心高度a和对角线长度d分别为 四个圆角的曲率半径为 2 若在上式中取三项近似 即 c 四个圆角的曲率半径为 孔边曲线的形状 如图所示 进一步若取四项近似 即 四个圆角的曲率半径为 此时 孔边曲线的形状与精确的正方形间已不再有太大区别 2 求f0 设具有正方形孔口的薄板在与x轴成 角的方向受有均匀拉力q 孔口不受力 此时有 d e f 得 由变换 代入式 5 30 有 g h 5 30 h 3 的求解 将式 g h 代入式 5 35 5 36 其中 代入上式积分 有 将其代入式 5 35 5 35 将式 代入上式 有 比较等式两边同次幂的系数 有 由此求得 于是有 i 将式 i 代入式 5 36 5 36 有 j 将式 i j 代入式 5 25 5 26 将式 i j 代入式 5 25 5 26 得到 进一步可由式 5 23 5 22 计算应力和位移 第五章小结 一 平面问题复变函数方法的求解思路 复变函数方