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等差数列的性质进阶练习一、选择题.等差数列中，那么方程（）的根的情况（） .没有实根.两个相等实根.两个不等实根.无法判断.首项为正数的等差数列满足，则前项和中最大项为（） .设等差数列的前项和为，且满足，则中最大的项为（） . . . .二、填空题.若数列的前项和为，则下列四个命题： 若数列是递增数列，则数列也是递增数列； 数列是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数； 若是等差数列（公差），则的充要条件是； 若是等比数列，则（，）的充要条件是 其中，正确命题的序号是 三、解答题.设数列满足（）（，*）；等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项 （）求数列的通项公式； （）试确定的值，使得数列为等差数列； （）当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个，得到一个新数列设是数列 的前项和，试求满足的所有正整数 参考答案.解：（）由题意，则，解得或， 由于为正整数，则， 又，； （）由数列为等差数列，数列满足（）（，*）； 分别代入，又，得（）， 得，而当时， 由（常数）知此时数列为等差数列， 故 （）由（），（），知， 由题意知， 则当时，不合题意，当时，适合题意 当时，若，则一定不适合题意， 从而必是数列中的某一项， 则， （）（） （）（）， 又， ，即， 为奇数，（）为偶数，上式无解 即当时， 综上知，满足题意的正整数只有.解：等差数列中， 即有，则，即， 即有， 方程（）即为 ， 判别式为， 故方程没有实根 故选 运用等差数列的性质，即有，代入方程，求出判别式，即可判断根的情况 本题考查等差数列的性质，同时考查二次方程的实根的分布，属于基础题 .解：等差数列中， 公差， （）（）， 令可得， 等差数列的前项为正数，从第项开始为负， 达到最大值的是 故选： 由题意易得数列的公差，进而可得通项公式，从而数列的前项为正数，从第项开始为负，即可可得结论 本题考查等差数列的前项和及其最值，得出数列的正负变化是解决问题的关键，属基础题 .解：由题意显然公差， （）， ，则； 同理由可得， 结合可得， 时，最大，而最小，最大 故选： 由等差数列的性质和求和公式易得且，可得时，最大，而最小，故最大 本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前项和，属中档题 .解：数列的前项和为，故若数列是递增数列，而数列不一定是递增数列，如数列，故不正确； 数列是递增数列，不能推出数列各项为正如：，故不正确； 若数列是等差数列（公差），则由不能推出， 例如，故不正确； 若数列是等比数列，由，能推出公比则，反过来明显成立，故正确 故答案为： 对四个命题进行分析，即可得出结论 本题考查等差数列的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较综合 .（）运用等差数列的性质和等比数列的通项公式，即可求出公比，得到通项公式； （）由条件结合等差数列的性质，得到方程，解出，检验即可； （）由（），（），知，由已知写出，讨论，求出，列出方程，整理，并讨
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