8.-计算不定积分的几种技巧.doc

编号编号 学学士士学学位位论论文文 计算不定积分的几种技巧计算不定积分的几种技巧 学生姓名 艾孜热提力 吾守尔 学 号 20060105012 系 部 数 学 系 专 业 信息与计算科学 年 级 06 7 班 指导教师 姑丽巴哈尔 穆罕默德艾力 完成日期 2011 年 05 月 4 日 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 1 摘要 这篇论文详细介绍 10 种不定积分方法 深刻总结各种积分法细微特征 从各种积分法所针对的被积函数特点这个角度进行突破 希望将不同积分法所 解决的积分进行对比归类 提出了一些解不定积分的技巧 关键词 关键词 不定积分 积分法则 凑微分法 计算不定积分的技巧 待定系 数法 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 2 目录 摘要摘要 1 目录目录 2 引言引言 1 1 1 直接积分法直接积分法 1 2 2 凑微分法凑微分法 1 3 3 加减法加减法 3 4 4 提取公因式法提取公因式法 4 5 5 三角代换法三角代换法 5 6 6 取倒变换法取倒变换法 6 7 7 万能代换法万能代换法 6 8 8 观察法观察法 7 9 9 待定系数法待定系数法 8 10 10 混合法混合法 11 总结总结 12 参考文献参考文献 13 致谢致谢 14 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 1 引言引言 不定积分是导数运算的逆运算 导数运算一般是有导数的运算法则和导数 公式或导数定义来进行计算 相应的由倒竖运算可以导出不定积分的运算法则 和基本计算公式 但是 根据不定积分运算法则和基本积分公式只能计算出很 少一部分比较简单的函数的不定积分 而对于更多函数的不定积分要因函数不 同形式或不同类型选用不同的方法 因此 下面介绍对于具体问题计算不定积 分的几种技巧 1 1 直接积分法直接积分法 对一些简单函数的求积问题 我们利用不定积分的性质和基本积分公式 跟快就可以得出结果 这就是直接积分法 例例 1 求 11 11 xx dx xx 解解 11 11 xx dx xx 22 22 11 11 xx dx xx 2 11 1 11 xdx xx 2 2 2 1 1 xdx x 2 22arcsin 1 dx xc x 2 2 凑微分法凑微分法 被积函数的形式是各种各样的 而能用直接积分法求出结果的积分并不多 见 凑微分法是与复杂函数相对应的 即对于复杂函数的积分时 就要被积表 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 2 达式变形符合基本公式的形式 如果被积表达式具有原函数 可导 则有 xf xF x fxx dxfxdx dx FcFxc 凑微分法的关键是如何把被积函数凑成和两部分 f x Fx x 例例 2 求 2 5x xdx 解解 令 则 于是有5 2 x 1 2 2 dxdx xdxd 2 1 5 2 x xdxd 3 2 1 3 c 3 2 2 1 5 2 xc 类似有下面的凑微分公式 dxd xc 1 dxd kx k 2 1 2 xdxd x 2 11 dxd xx 1 2 dxdx x sincos xdxdx cossin xdxdx 2 1 tan cos dxdx 2 1 cot sin dxdx x 1 ln dxdx x xx e dxd e 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 3 例例 3 求 2 sincosxxdx 解 解 2 sincosxxdx 2 sinsinxdx 把当做一个变量 3 1 sin 3 xc sin x 3 3 加减法加减法 如果被积表达式是复杂分式 那么分子上加减某一适当的数字或式子来分 成若干个简单分式的和 这样更便于计算 例例 4 求 2 2 2 1 22 x dx xx 解 解 在本题中 由于被积函数的分母只有单一因式 因此分子上加减某一 相当的式子来简化 即 2 2 2 22 22 2221 1 2222 xxx x xxxx 22 22 121 2222 x xxxx 222 22 1221 22 2222 x xx xxxx 先分别计算个个分式的不定积分 122 2 1 arctan 1 2211 d x dx xc xxx 2 2222 222 22 221 222222 dxx x dxc xxxxxx 22 22 1 22 11 d x dx xx x 令则1tx 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 4 2 2 2 22 1 dxdt xx t 22 2 2 11 21 tt dt 22 22 22 111 2 211 tt dtdt tt 2 2 1 2121 tdt tt 3 2 1 arctan 221 t tc t 3 2 1 1 arctan1 2222 x xc xx 于是得到 2 2222 222 122 22 222222 xdxxdx dxdx xx xxxxxx 22 111 arctan 1 arctan 1 222 22 2 x xxc xxxx 4 4 提取公因式法提取公因式法 如果被积表达式是分子等于 1 的分子 则从被积表达式的分母提取适当的 公因式 通过提取的公因式进行变量代换 例例 1 求 3 dx xx 解解 3 dx xx 326 dx x xx 令则积分化为 66 xtxt 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 5 3 6 1 t dt t 3 6 1 1 1 t dt t 2 16 11 t dtdt tt 2 1 6 1 6 1 ttdtdt t 32 11 6 6ln 1 32 ttttc 32 2366ln 1ttttc 1111 3862 2366ln 1xxxxc 5 5 三角代换法三角代换法 如果被积表达式含有则采用适当的三角代换 即三角代 2222 xaax 换的是去掉根式 其一般规律如下 可令 22 ax sinxat 可令 22 xa tanxat 可令 22 xa sec xat 例例 6 求 22 0 dx a xa 解解 令 同理可考虑的情况 sec xat 0 2 t 0t 于是有 22 dx xa sectan tan att dt at sectdt ln sectanttc 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 6 求出 22 sec tan xxa tt aa 故得 22 dx xa 22 ln xab c aa 22 ln xxac 6 6 取倒变换法取倒变换法 计算有些分析的不定积分时 采用来代换自变量 使得变换后的不定 1 x t 积分容易求出 例例 7 求 1 2 x dx x 解解 令 2 11 udu xx 则 1 2 x dx x e du u ec 1 x ec 7 7 万能代换法万能代换法 由于以及三角函数的位角 乘方等全属于tan cot sec csc 的有理式 因此事实上就是纯三角函数在有理运算cos sin cos sin Rd 下所得的函数均属于似类 此类积分使由 万能变换 来可计算 令则tan 2 t 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 7 2 222 2sincos2tan 2 222 sin 1 cossin1tan 222 t t 222 2 2 222 cossin1tan 1 222 cos 1 cossin1tan 222 t t 2 2 2arctan 1 dt td t 于是 即 转化为有理函数积 cos sin Rd 2 222 122 111 tt Rdt ttt 分 例例 8 求 2 2 2arctan 1 dt td t 解 解 令 则tant 2sin dx x 2 2 12 2 1 2 1 dt t t t 2 1 dt tt 2 31 42 dx t 331 arctan 442 tc 331 arctan tan 4422 x c 8 8 观察法观察法 对一些特殊的三角函数有理式 可以用 万能变换 更简便的变换 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 8 使积分变换成有理函数积分 例举如下 cossin cosRdt 令 sincos sinRdt 令 22 cos sin tanRdt 令 cos2 sin2 tanRdt 令 tan tanRdt 令 例例 9 求 2222 sincos dx abo axbx 解解 由于 2222 sincos dx axbx 2 222 sec tan x dx axb 222 tan tan dx dx axb 故令就有tan tx 2222 sincos dx axbx 2 22 dt a tb 2 2 1d at a atb 1 arctan at c abb 1 arctantan a xc abb 9 9 待定系数法待定系数法 一般形如的不积分用分部积分法来计 cossin ax ep xbxQ xbx dx 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 9 算 可是的次数比较大时 计算此类积分有点麻烦 所以下介绍计 p xQ x和 算此类积分的另一种方法 待定系数法 时 原积分变为 10b 当 为 n 次多项式 ax x e dx x 则结果还是和一个 n 次多项式的乘积加一个常数 即 ax x e dx ax e 其中是 n 次多项式 ax x e dx ax x ec xx 求公式 的一阶导数 然后约掉等式两边的 以后比较等式两边对应元素的 ax e 系数 就能得出的系数 x 例例 10 求 3x x e dx 解解 由公式 得到 其中 A B C D 不为零的常数 3x x e dx 32 1 x eAxBxCxDC 等式两边求导在整理得 332 32 xx x eeAxAB xBC xDC 约掉 332 3 2 xAxAB xBC xDC 得 332 3 2 xAxAB xBC xDC 比较两边得 11 303 206 06 AA ABB BCC DCD 解得代原式得 332 366 axx x e dxexxxc 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 10 当 如果我们假设把被积表达式中的次数高的是 n 即0b p x 和Q X 则积分存在原函数 max np xQ X cossin ax ep xbxQ xbx dx 且形式与被积函数相同 原函数当中多项式的次数是 n 即 cossin ax ep xbxQ xbx dx cossin ax eR xbxS xbxc 将式子 求导以后约掉 比较两边的就可以确 ax esin cos 0 1 ss xbx xbx sn 认和 R x S x 例例 10 求cos ax ebxdx 解解 由公式 cos ax ebxdx cossin ax eAbxBbxC 两边求导得 coscossin ax ebxaABbbxaBAbbx 比较两边得 1 0 aABb aBAb 解得 2222 ab AB abab 所以得 cos ax ebxdx 22 cossin ax e abxbbxC ab 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 11 10 10 混合法混合法 有时计算不定积分需要多种方法混合使用 例例 11 求sinxdx 解解 令则 xt 2 2tx dxtdt sinxdx sin22coscostdtttt dt 2cos2sinttC 2cos2sin xxxC 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 12 总结总结 本文主要介绍 10 种计算不定积分最基本 最常用的方法 符合计算大多 数不定积分 可是某种方法不一定是计算此类问题唯一的 最有效的方法 在 实际计算中要注意的 最有效的方法 合理选择 正确使用每一种方法 就可 以达到考虑的问题转化为简单问题 即化繁为简 最终归结为公式中的情 形 所以对于具体问题采用适当的方法 这样就可以避免 选择不当 积分更 难进行 的问题 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 13 参考文献参考文献 1 数学分析 高等教育出版社 2001 2006 重印 华东师范大学数学系 上 册 176 195 页 2 数学分析简明教程 北京大学数学力学系与函数论教研室译 上册 185 195 页 3 高等数学 高等教育出版社 2001 年 四川大学数学系高等数学教研室编 210 218 页 4 数学分析新讲 第一册 北京大学出版社 1990 年 217 231 页 5 数学分析讲义 高等教育出版社 第 3 版 王昆扬译 131 137 页 6 数学分析 北京大学出版社 北极大学出版社 伍胜健编者 2009 年 241 270 页 7 数学分析讲义 高等教育出版社 2003 年 北京大学数学系高等数学教