线性代数第三、四、五章课后答案_北京邮电大学出版社(戴斌祥_主编).doc

线性代数课后答案（3、4、5章）习题 三（A类）1. 设1(1，1，0)，2(0，1，1)，3(3，4，0).求1-2及31+22-3.解：1-2=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1),31+22-3=(3,3,0)+(0,2,2)-(3,4,0)=(0,1,2)2. 设3(1-)+2(2+)5(3+)，其中1(2，5，1，3)，2(10，1，5，10)，3(4，1，-1，1).求.解：由3（1-）+2(2+)=5(3+)整理得：=(31+22-53),即= (6,12,18,24)=(1,2,3,4)3.（1） （2） （3） （4） （5）4. 判别下列向量组的线性相关性.（1）1=(2,5), 2=(-1,3);(2) 1=(1,2), 2=(2,3), 3=(4,3);(3) 1=(1,1,3,1),2=(4,1,-3,2),3=(1,0,-1,2);(4) 1=(1,1,2,2,1),2=(0,2,1,5,-1),3=(2,0,3,-1,3),4=(1,1,0,4,-1).解：（1）线性无关；（2）线性相关；（3）线性无关；（4）线性相关.5. 设,3线性无关，证明：，+，+3也线性无关.证明：设即由线性无关，有所以即线性无关.6.问a为何值时，向量组线性相关，并将用线性表示.解：当a=5时，7. 作一个以(1，0，1，0)和(1，-1，0，0)为行向量的秩为4的方阵.解：因向量(1,0,0,0)与（1,0,1,0）和(1,-1,0,0)线性无关,所以(1,0,0,0)可作为方阵的一个行向量，因（1,0,0,1）与(1,0,1,0)，（1，-1，0，0），（1，0，0，0）线性无关，所以(1,0,0,1)可作为方阵的一个行向量.所以方阵可为.8. 设的秩为r且其中每个向量都可经线性表出.证明：为的一个极大线性无关组.【证明】若 (1)线性相关，且不妨设 (tr) (2)是(1)的一个极大无关组，则显然（2）是的一个极大无关组，这与的秩为r矛盾，故必线性无关且为的一个极大无关组.9. 求向量组=(1,1,1,k),=(1,1,k,1),=(1,2,1,1)的秩和一个极大无关组.【解】把按列排成矩阵A，并对其施行初等变换.当k=1时，的秩为为其一极大无关组.当k1时，线性无关，秩为3，极大无关组为其本身.10. 确定向量,使向量组与向量组=(0,1,1),=(1,2,1),=(1,0,-1)的秩相同，且可由线性表出.【解】由于而R(A)=2,要使R(A)=R(B)=2,需a-2=0,即a=2,又要使可由线性表出，需b-a+2=0,故a=2,b=0时满足题设要求，即=(2,2,0).11. 求下列向量组的秩与一个极大线性无关组.(1) 1=(1,2,1,3),2=(4,-1,-5,-6),3=(1,-3,-4,-7);(2) 1(6，4，1，-1，2)，2(1，0，2，3，-4)，3(1，4，-9，-6，22)，4(7，1，0，-1，3)；(3) 1(1，-1，2，4)，2(0，3，1，2)，3(3，0，7，14)，4(1，-1，2，0),5(2，1，5，6).解：（1）把向量组作为列向量组成矩阵，应用初等行变换将化为最简形矩阵B，则可知：R（）=R（B）=2，B的第1，2列线性无关，由于的列向量组与B的对应的列向量有相同的线性组合关系，故与B对应的的第1，2列线性无关，即1,2是该向量组的一个极大无关组.（2）同理，可知R()=R(B)=4,的4个列向量线性无关,即1,2,3,4是该向量组的极大无关组.(3)同理, ,可知R()=R(B)=3,取线性无关组1,3,5为该向量组的一个极大无关组.12.求下列向量组的一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线性表示.(1) 1=(1,1,3,1),2=(-1,1,-1,3),3=(5,-2,8,-9),4=(-1,3,1,7);(2) 1=(1,1,2,3),2=(1,-1,1,1),3=(1,3,3,5),4=(4,-2,5,6),5=(-3,-1,-5,-7).解：(1)以向量组为列向量组成,应用初等行变换化为最简形式.,可知,1,2为向量组的一个极大无关组.设3=x11+x22,即解得,设4=x31+x42,即解得,所以(2)同理, 可知, 1、2可作为的一个极大线性无关组，令3=x11+x22可得：即x1=2,x2=-1,令4=x31+x42,可得：即x1=1,x2=3,令5=x51+x62,可得：即x1=-2,x2=-1,所以3=21-24=1+32,5=-21-213. 设向量组与秩相同且能经线性表出.证明与等价.【解】设向量组 (1)与向量组 (2)的极大线性无关组分别为 (3)和 (4)由于（1）可由（2）线性表出，那么（1）也可由（4）线性表出，从而（3）可以由（4）线性表出，即因（4）线性无关，故（3）线性无关的充分必要条件是|aij|0，可由（*）解出,即（4）可由（3）线性表出，从而它们等价，再由它们分别同（1），（2）等价，所以（1）和（2）等价.14. 设向量组1,2,s的秩为r1,向量组1,2,t的秩为r2,向量组1,2,s,1,2,t的秩为r3,试证:maxr1,r2r3r1+r2.证明：设s1,，为1,2,，s的一个极大线性无关组, t1,t2,为1,2,t的一个极大线性无关组. 1，为1, 2，s，1，2，t的一个极大线性无关组，则s1, ，和t1，tr2可分别由1，线性表示，所以，r1r3，r2r3即maxr1,r2r3，又1，可由s1, ，sr1，t1，tr2线性表示及线性无关性可知：r3r1+r2.15. 已知向量组1=(1,a,a,a),2=(a,1,a,a),3=(a,a,1,a),4=(a,a,a,1)的秩为3,试确定a的值.解：以向量组为列向量，组成矩阵A，用行初等变换化为最简形式：由秩A=3.可知a1,从而1+3a=0，即a=-.16. 求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组.(1)； (2).【解】(1) 矩阵的行向量组的一个极大无关组为;(2) 矩阵的行向量组的一个极大无关组为.17. 集合V1()R且0是否构成向量空间?为什么?【解】由（0,0,0）V1知V1非空，设)则因为所以,故是向量空间.18. 试证：由,生成的向量空间恰为R3.【证明】把排成矩阵A=(),则,所以线性无关，故是R3的一个基，因而生成的向量空间恰为R3.19. 求由向量所生的向量空间的一组基及其维数.【解】因为矩阵是一组基，其维数是3维的.20. 设,证明:.【解】因为矩阵由此知向量组与向量组的秩都是2，并且向量组可由向量组线性表出.由习题15知这两向量组等价，从而也可由线性表出.所以.21. 在R3中求一个向量，使它在下面两个基下有相同的坐标.【解】设在两组基下的坐标均为()，即即求该齐次线性方程组得通解 (k为任意实数)故22. 验证为R3的一个基，并把用这个基线性表示.【解】设又设,即记作 B=AX.则因有,故为R3的一个基，且即.（B类）1.A2.B3.C4.D5.a=2，b=46.abc07.设向量组1,2,3线性相关,向量组2,3,4线性无关,问:(1) 1能否由2,3线性表示?证明你的结论.(2) 4能否由1,2,3线性表示?证明你的结论.解：(1)由向量组1，2，3线性相关，知向量组1, 2, 3的秩小于等于2,而2, 3, 4线性无关，所以2, 3线性无关，故2, 3是1, 2, 3的极大线性无关组，所以1能由2, 3线性表示.（2）不能.若4可由1，2，3线性表示,而2，3是1，2，3的极大线性无关组,所以4可由2，3线性表示.与2，3，4线性无关矛盾.8.若1,2,n,n+1线性相关,但其中任意n个向量都线性无关,证明:必存在n+1个全不为零的数k1,k2,kn,kn+1,使k11+k22+kn+1n+1=0.证明:因为1，2，n，n+1线性相关，所以存在不全为零的k1，k2，kn，kn+1使k11+k22+kn+1n+1=0若k1=0，则k22+kn+1n+1=0，由任意n个向量都性线无关，则k2=kn+1=0,矛盾.从k10,同理可知ki0,i=2, ,n+1,所以存在n+1个全不为零的数k1,k2,kn,kn+1,使k1a1+k2a2+kn+1an+1=0.9. 设A是nm矩阵,B是mn矩阵,其中nm,E为n阶单位矩阵.若AB=E,证明:B的列向量组线性无关.证明：由第2章知识知，秩An,秩Bn，可由第2章小结所给矩阵秩的性质，n=秩Emin秩A，秩Bn，所以秩B=n，所以B的列向量的秩为n，即线性无关.习题四（A类）1. 用消元法解下列方程组.(1) (2) 【解】(1) 得所以(2) 解-2得 x2-2x3=0- 得 2x3=4得同解方程组由得 x3=2,由得 x2=2x3=4,由得 x1=2-2x3 -2x2 = -10,得 (x1,x2,x3)T=(-10,4,2)T.2. 求下列齐次线性方程组的基础解系.(1) (2) (3) (4) 【解】(1) 得同解方程组得基础解系为.(2) 系数矩阵为 其基础解系含有个解向量.基础解系为(3) 得同解方程组取得基础解系为(-2，0，1，0，0)T,(-1，-1，0，1，0).(4) 方程的系数矩阵为 基础解系所含解向量为n-R(A)=5-2=3个取为自由未知量 得基础解系 3. 解下列非齐次线性方程组.(1) (2) (3) (4) 【解】（1） 方程组的增广矩阵为得同解方程组(2) 方程组的增广矩阵为得同解方程组即令得非齐次线性方程组的特解xT=(0，1，0，0)T.又分别取得其导出组的基础解系为 方程组的解为(3) 方程组无解.(4) 方程组的增广矩阵为分别令得其导出组的解为令,得非齐次线性方程组的特解为：xT=(-16,23,0,0,0)T, 方程组的解为其中为任意常数.4. 某工厂有三个车间，各车间相互提供产品（或劳务），今年各车间出厂产量及对其它车间的消耗如下表所示.车间消耗系数车间123出厂产量（万元）总产量（万元）10.10.20.4522x120.20.20.30x230.500.1255.6x3表中第一列消耗系数0.1,0.2,0.5表示第一车间生产1万元的产品需分别消耗第一，二，三车间0.1万元，0.2万元，0.5万元的产品；第二列，第三列类同，求今年各车间的总产量.解：根据表中数据列方程组有即 解之 5. 取何值时，方程组(1)有惟一解，(2)无解，(3)有无穷多解，并求解.【解】方程组的系数矩阵和增广矩阵为|A|=.(1) 当1且-2时，|A|0，R(A)=R(B)=3. 方程组有惟一解（2） 当=-2时，R(A)R(B), 方程组无解.(3) 当=1时R(A)=R(B)3,方程组有无穷解.得同解方程组 得通解为6. 齐次方程组当取何值时，才可能有非零解?并求解.【解】方程组的系数矩阵为|A|=当|A|=0即=4或=-1时，方程组有非零解.(i) 当=4时,得同解方程组(ii) 当=-1时,得 ()T=k(-2,-3,1)T.kR7. 当a,b取何值时，下列线性方程组无解，有惟一解或无穷多解？在有解时，求出其解.（1） (2) 【解】方程组的增广矩阵为(1) (i) 当b-52时,方程组有惟一解(ii) 当b=-52,a-1时，方程组无解.(iii) 当b=-52，a=-1时，方程组有无穷解.得同解方程组 (*)其导出组的解为非齐次线性方程组（*）的特解为取x4=1, 原方程组的解为 (2) (i) 当a-10时，R(A)=R()=4,方程组有惟一解.(ii) 当a-1=0时,b-1时，方程组R(A)=20 A+B为正定.28. 试证：如果A是n阶可逆矩阵，则AA是正定矩阵.【证】A可逆 (AA)= A(A)= AA AA = AE A可知AA与E合同AA正定.29. 试证：如果A正定，则A,A，A*都是正定矩阵.【证】A正交，可知A=A 可逆阵C，使得A=CEC.(i) A=CECA=(CEC)A=CE(C)=CEC A与E合同，可知A为正定矩阵.(ii) (A-1)=(A)-1=A-1可知A-1为对称矩阵.由A正交可知，A为点对称矩阵其特征值设为且有0(i=1,2,n)Axi=xixi=A-1xiA-1xi=xi可知A-1的特征值为 ， (i=1,2,n) A-1正定.(iii) 由A*=|A|A-1可知(A)1=|A|(A-1)=|A|A-1=A*由(ii)可知A-1为正定矩阵即存在一个正定二次型= xTA-1x有0 A正交|A|0= xTA*x=xT|A|A-1x=|A|(xTA-1x)即有时，xTA-1x0 |A|0,即有= xTA*x 0 A*为正定矩阵.（B类）1. D2. B3. B4. 已知矩阵与相似,则x= ,y= .解：因为A与B相似，所以A，B有相同的特征值，又B的特征值为2，y，-1，而A-E=（2-）（2-x-1），所以y,-1是2-x-1=0的两根，故-y=-1,y-1=x所以y=1,x=05. 二次型的符号差为 .解：化为标准形，所以符号差为2.6. 已知实二次型经正交变换x=Py可化为标准形,则a .解：f的矩阵为，又A与相似，所以6，0是A的特征值.故A-0E=0，A-6E=0，得:a=2.7. 设A,B为n阶正交矩阵,且AB,证明A+B为不可逆矩阵.证明：因为A，B为正交矩阵，所以AA+B=AA+B=E+AB=BB+AB=B+AB=A+BB即（A-B）（A+B）=0，因为AB，所以A+B=0，所以A+B为不可逆矩阵.8. 设有特征值1=-2,2=4,求a,b的值.解：因为1=-2，2=4为A的