高考数学 第二章 第五节 对数与对数函数课件 文 北师大版.ppt

第五节对数与对数函数 1 对数的定义 1 对数的定义 请根据下图的提示填写与对数有关的概念 指数 对数 幂 真数 底数 其中a的取值范围是 2 两种常见对数 a 0 且a 1 10 lgn e lnn 2 对数的性质 换底公式与运算性质 1 性质 loga1 logaa 其中a 0 且a 1 2 换底公式 基本公式 logab a c均大于0且不等于1 b 0 推广公式 logab logbc logcd logad a b c均大于0且不等于1 d 0 n 0 1 3 运算性质如果a 0 且a 1 m 0 n 0 那么 loga m n logamn logam logan logam logan nlogam n r 3 对数函数的定义 图像与性质 y logax 0 r 1 0 y 0 y 0 增函数 减函数 4 反函数指数函数y ax a 0 且a 1 与对数函数 a 0 且a 1 互为反函数 它们的图像关于直线 对称 y logax y x 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 函数y lg x 3 x 3 与y lg x 3 lg x 3 的定义域相同 2 log2x2 2log2x 3 当x 1时 logax 0 4 当x 1时 若logax logbx 则a b 解析 1 错误 函数y lg x 3 x 3 的定义域为 3 3 而函数y lg x 3 lg x 3 的定义域为 3 2 错误 当x 0时 log2x2 2log2 x 3 错误 当a 1时 logax 0 当0 a 1时 logax 0 4 错误 当a 1 0 b 1时 logax logbx 但a b 答案 1 2 3 4 1 计算 2log510 log50 25 a 0 b 1 c 2 d 4 解析 选c 2log510 log50 25 log5100 log50 25 log525 2 2 若函数y f x 是函数y ax a 0 且a 1 的反函数 且f 2 1 则f x a b 2x 2 c d log2x 解析 选d 由题意知f x logax 又f 2 1 loga2 1 a 2 f x log2x 3 如果那么 a y x 1 b x y 1 c 1 x y d 1 y x 解析 选d 是 0 上的减函数 x y 1 4 计算 解析 原式答案 4 考向1对数的运算 典例1 1 2 已知loga2 m loga3 n 求a2m n 思路点拨 1 利用对数的运算法则及性质求解 2 将对数式化为指数式或直接代入求解 规范解答 1 原式答案 2 方法一 loga2 m loga3 n am 2 an 3 a2m n am 2 an 22 3 12 方法二 loga2 m loga3 n 拓展提升 对数运算的一般思路 1 首先利用幂的运算把底数或真数进行变形 化成分数指数幂的形式 使幂的底数最简 然后正用对数运算性质化简合并 2 将对数式化为同底数对数的和 差 倍数运算 然后逆用对数的运算性质 转化为同底对数真数的积 商 幂的运算 提醒 在运算中要注意对数化同底和指数与对数的互化 变式训练 1 2013 宝鸡模拟 计算 lg2 2 lg2 lg5 lg5 解析 原式 lg2 lg2 lg5 lg5 lg2 lg5 1 答案 1 2 2013 大连模拟 设2a 5b m 且则m 解析 2a 5b m a log2m b log5m 答案 考向2对数函数的图像及其应用 典例2 1 2013 长沙模拟 函数y ax2 bx与 ab 0 a b 在同一直角坐标系中的图像可能是 2 已知函数若a b c互不相等 且f a f b f c 则abc的取值范围是 a 1 10 b 5 6 c 10 12 d 20 24 思路点拨 1 根据函数y ax2 bx与x轴的交点确定的范围 2 画出f x 的图像 确定abc的范围 规范解答 1 选d 令ax2 bx 0得x 0或对于a b项 由抛物线知此时对数函数的图像不符合要求 故a b项不正确 对于c项 由抛物线知此时对数函数的图像不符合要求 故c不正确 对于d项 由抛物线知此时对数函数的图像符合要求 故选d 2 选c 作出f x 的大致图像 不妨设a b c 因为a b c互不相等 且f a f b f c 由函数的图像可知10 c 12 且 lga lgb 因为a b 所以lga lgb 可得ab 1 所以abc c 10 12 故选c 拓展提升 应用对数型函数的图像可求解的问题 1 对一些可通过平移 对称变换作出其图像的对数型函数 在求解其单调性 单调区间 值域 最值 零点时 常利用数形结合思想 2 一些对数型方程 不等式问题常转化为相应的函数图像问题 利用数形结合法求解 变式训练 已知函数f x lnx g x lgx h x log5x 直线y a a 0 与这三个函数图像的交点的横坐标分别是x1 x2 x3 则x1 x2 x3的大小关系是 a x2 x3 x1 b x1 x3 x2 c x1 x2 x3 d x2 x1 x3 解析 选a 在同一坐标系中画出三个函数的图像及直线y a a 0 易知x1 x3 x2 故选a 考向3对数函数的性质及应用 典例3 1 2013 西安模拟 设0 a 1 函数f x loga a2x 2ax 2 则使f x 0的x的取值范围是 2 已知函数 求函数f x 的定义域 若函数f x 的定义域关于坐标原点对称 试讨论它的奇偶性和单调性 思路点拨 1 根据f x 0 0 a 1知 a2x 2ax 2 1 解关于ax的不等式 再解指数不等式求x的范围 2 利用真数大于0构建不等式 但要注意分类讨论 先由条件求出a的值 再讨论函数的奇偶性和单调性 规范解答 1 由f x 0且0 a 1知 a2x 2ax 2 1 ax 3或ax 1 舍去 x loga3 答案 loga3 2 所以 当3a 1 2a 1 即a 0时 定义域为 2a 1 3a 1 当3a 1 2a 1 即a 0时 定义域为 3a 1 2a 1 函数f x 的定义域关于坐标原点对称 当且仅当 2a 1 3a 1 a 2 此时 对于定义域d 5 5 内任意x x d 所以f x 为奇函数 当x 5 时 对任意5 x1 x2 有而 x1 5 x2 5 x1 5 x2 5 10 x2 x1 0 f x1 f x2 0 f x 在 5 上是减少的 由于f x 为奇函数 所以f x 在 5 上是减少的 互动探究 将本例 2 中函数改为 求f x 的定义域和值域 解析 x 1或x 1 f x 的定义域为 1 1 函数f x 是奇函数 当x 1时 又y log2x在 0 上为增函数 即当x 1时 f x 0 由函数f x 是奇函数知 当x 1时 f x 0 因此函数f x 的值域是 0 0 拓展提升 求解对数型函数问题的关注点解决对数型函数问题要注意的三方面 一是定义域 二是底数与1的大小关系 三是复合函数的构成 即它是由哪些基本初等函数复合而成的 变式备选 已知f x loga ax 1 a 0 且a 1 1 求f x 的定义域 2 求函数f x 的单调性 解析 1 由ax 1 0 得ax 1 当a 1时 x 0 当0 a 1时 x 0 所以当a 1时 f x 的定义域为 0 当0 a 1时 f x 的定义域为 0 2 当a 1时 设0 x1 x2 则故 f x1 f x2 故当a 1时 f x 是 0 上的增函数 同理 当0 a 1时 f x 也是 0 上的增函数 创新体验 数形结合解决恒成立问题 典例 2012 新课标全国卷 当时 4x logax 则a的取值范围是 a b c d 思路点拨 规范解答 选b 由且logax 4x 0知0 a 1 在同一坐标系中画出函数和的图像 如图所示 由图像知 要使当时 4x logax 只需即 思考点评 1 方法感悟 本题充分体现了数形结合思想和函数思想在解题中的应用 即通过函数图像的关系得到两函数值之间的关系 2 技巧提升 此类不等式恒成立问题无法分离参数 此时常用数形结合的方法求解 解题的关键是正确画出函数在给定区间上的图像 使之符合要求 然后根据图像找出不等关系 1 2012 安徽高考 log29 log34 a b c 2 d 4 解析 选d 2 2012 天津高考 已知则a b c的大小关系为 a c b a b c a b c b a c d b c a 解析 选a 1 b 2 0 c 1 a b c 所以选a 3 2012 北京高考 已知函数f x lgx 若f ab 1 则f a2 f b2 解析 f ab lg ab 1 ab 10 f a2 f b2 lga2 lgb2 lg a2b2 lg100 2 答案 2 4 2012 江苏高考 函数的定义域为 解析 因为故定义域为答案 1 为了得到函数的图像 可将函数y log2x的图像上所有的点的 a 纵坐标缩短到原来的倍 横坐标不变 再向右平移1个单位长度 b 纵坐标缩