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Chapter 3 Basic Equations of Fluid Flow 3.1 Description of Fluid Motion/流体运动的描述3.1.1 Lagrange Method ( Particle Method ) /拉格朗日方法（质点法）l Method：Describe the variation of the physical parameters of each particle (fluid parcel) with time , such as displacement、velocity、acceleration、pressure、density、temperature. hydrokinetic l Distinguishing of different particle：by the coordinates of particle（a，b，c）at the beginning.l Similarly, for arbitrary physical parameter l The method is rarely used because of the difficulty in deriving the function .3.1.2 Euler Method ( Field Method ) /欧拉方法（场方法）l Method：Describe the variation of the physical parameters of fluid in a fixed flow field with time, such as displacement、velocity、acceleration、pressure、density、temperature.l For arbitrary physical parameter l For velocity or l For a fixed field, section or point, Euler method is usually used. For example, a weather map at any instant can be drawn with Euler method for weather forecast.3.1.3 Particle Differentiation/ 质点导数The physical parameters of particle are differentiated with respect to time.Only Euler method is discussed here.or in which -Local differentiation that is caused by unsteady flow -Transfer differentiation that is caused by position change of particle because of nonuniform flow field or the motion of particle.l Meaning：A connection is made between Lagrange method and Euler methodIf is ,Discuss ax at x axis in the following figure.1） If the free surface goes down in the water tank, why?2） If H is a constant , 3） If H is a constant and the water pipe is a cylinder. 3.2 Basic Concepts for Description of Fluid Motion/描述流体运动的一些基本概念3.2.1 Classifications of Flow/流动的分类1） According to the number of independent coordinates Discuss the flow in a cylinder2D flow is regarded as 1D flow when the changes of physical parameters at any point on the same section are neglected. 2） According to whether the physical parameters change with time Steady Flow Unsteady Flowl SimplificationUnsteady Flow Steady Flowa) A flow through a small hole on a container with great horizontal section.b) A system of coordinates is fixed on a container moving at uniform linear acceleration or rotating about a vertical axis at constant angular velocity.3） According to whether a fluid shows its viscosity 4） According to whether a fluid is compressible 5） According to whether a flow is laminar6） According to whether a flow is rotational3.2.2 Path Line and Stream Line/迹线与流线1） Path Line：A path of fluid particle, which can be described with Lagrange method. Notice: t-independent variable; x、y、z-dependent variables2） Stream Line：A continuous line drawn through the fluid so that it has the direction of the velocity vector at every point. A particle always moves tangent to the stream line. It can be described with Euler method.l In steady flow, since there is no change in direction of the particles velocity vector at any point, a streamline doesnt change with time. Particles follow the streamline. So at the same time the path line of particle is streamline in steady flow. But any given instantaneous streamline may have no resemblance to the path line.l Because every particle has only fixed velocity vector, streamlines cant intersect one another.l Differential Equations：two kinds of methods Notice：When vx、vy、vz is the functions of x、y、z and t, t is just a parameter variable.Example 1 In a velocity field,. Determine（1）the acceleration at the point (2,4) for t=2s？（2）steady flow or unsteady flow？Solution（1） For t=2s，x=2,，y=4, ax= 4 m/s，ay=6m/s2 （2）Because the velocity changes with time, the flow is unsteady.Example 2 In a velocity field, vx=a， vy=bt，vz=0. Determine（1）streamline equation and streamline chart for t=0，t=1，t=2.（2）pathline equation and path line of the particle passed through point (0,0) for t=0.Solution（1）Streamline Equation and Streamline Chart (a) Streamlines for t=0 and pathline (b) Streamlines for t=1 (c) Streamlines for t=2The streamlines are some straight lines. For t=0，t=1，t=2, the charts of streamline are a group of straight lines with different slope. （2）Pathline Equation and Path Line of the Particle And for t=0，x=0，y=0，yields C1=0，C2=0. The pathline is a parabola as shown in Fig. (a).Example 3 In a velocity field, , , and a is a constant. Determine（1）streamline equation；（2）pathline equationSolution and A flow above x axis of oxy coordinate plane.（1） Streamline Equation The streamlines are a group of hyperbolas.（2） Pathline Equation They indicates that the pathline and streamline are the same in the steady flow. 3.2.3 Streamtube/流管l Streamtube：A tube made by all the streamlines passing through a small closed curve. l Characterics：1) There is no flow through the streamtubes walls because the velocity vector has no component normal to the tube surface. 2) In unsteady flow, the shape of streantube changes with time. 3) In steady flow, the shape of streantube doesnt change with time. l Micro-streamtube：Its section is infinitesimal. The particles on the same section of the tube have the same velocity. The section gets small.StreamlineMicro-streamtubeStreamtube系统3.3 系统与控制体1） 系统：一团流体质点的集合。在运动过程中，系统的形状可以变化，但所包含的质点数不变。控制体2） 控制体：流场中某一确定的空间区域。控制体的周围表面，称为控制面。控制体一经确定，其形状和位置不再变化，而其所包含的质点一般是变化的。控制体是用于欧拉方法的。l 区别：系统控制体质点与质量不变可变动量与能量在边界处交换在边界处交换；因流入、流出引起变化3） 输运方程：式中，N系统内流体所具有的某物理量；单位体积的流体所具有的物理量；V系统的体积；CV控制体的体积；流体速度；A面积；CS控制体的整个表面积。l 说明：系统内流体所具有的某物理量N对时间的变化率，等于与系统重合的控制体内的流体所具有的物理量N对时间的变化率，加上单位时间经控制面净流出的流体带出的这种物理量。可见系统内流体所具有的某物理量对时间的变化率(也称之为系统导数)也是由两部分组成:当地导数和迁移导教。l 输运公式意义：用输运公式可以把与拉格朗日方法相联系的求系统内的物理量对时间的变化率问题，转变成为用欧拉方法来计算。3.4 连续方程连续方程：质量连续方程。积分形式的方程一般求解都比较简单，可以得出流体流动的总体动力性能，如流量、合力、总的能量传递等。微分形式的方程的求解一般都比较复杂，但可以给出流动过程各参数更详细的变化规律。3.4.1 积分形式的连续方程在流场中任取一个控制体，控制体内流体质量的变化满足质量守恒原理。 或 或 式中，为在内法线方向的分量；为在外法线方向的分量。l 当流体为可压缩的定常流动时，则有 （质量流量相等：-适用于可压缩的定常流动）l 当流体为不可压缩时，则有 （体积流量相等：-适用于不可压缩的定常流动或非定常流动）l 当流体为一维定常流动时，则有 （质量流量相等-适用于可压缩的定常流动） （体积流量相等-适用于不可压缩的定常流动）例3 输水管道经三通管分流，已知管径d1=d2=200mm，d3=100mm，断面平均流速v1=3m/s，v2=2m/s，试求断面平均流速v3。解：属于一维流体的不可压缩的定常流动，由体积流相等公式可知： 所以 3.4.2 微分形式的连续方程积分形式的连续方程： 即： 其中vn为在外法线方向的投影。根据高斯公式有 式中 ，div称为散度所以有： 或 由于上式对于任意控制体适用，则有直角坐标系的一般形式的连续性微分方程： 或 圆柱坐标系的一般形式的连续性微分方程：l 对于定常流动， 则有 l 对于不可压缩流体，则有 l 根据上式可以判断流动是否满足连续性条件。例4 已知速度场为 试问流动是否满足连续性条件？解：此流动为可压缩、非定常流动，由连续性微分方程的一般式进行验证。 所以此流动满足连续性条件，流动可能出现。l 分析：若已知流动满足连续性条件，且已知两分速度，则可以求第三分速度。以上为流体流动的运动学一般方程，下面要介绍流体流动的动力学方程。3.5 动量方程在流场中任取一控制体，如图所示，控制体承受的力有表面力和质量力，同时有流入、流出控制体的动量，这些将引起控制体内动量的变化。根据动量守恒定律有：或写成以下一般形式的动量方程：l 定常流动的动量方程（时间量为0）l 定常流动动量方程的分量形式（有多个进出口，每个口的截面统一的密度和速度）l 一维定常流动动量方程的分量形式说明：由于此方程是根据牛顿第二定律推导出来的，所以该方程的适用条件与牛顿第二定律一样：只适用于惯性坐标系或相对于惯性坐标系作匀速直线运动的坐标系。例5 如图所示，叶片以ve作x方向的匀速直线运动，截面面积为A0，一股速度为v0的水流沿叶片切线方向射入叶片，并沿叶片流动，最后从出口流出。设水流经过时截面积不变，因而流速大小恒定，等于vr，但方向变化。已知A0=0.001m2，v0=120m/s，ve=60m/s，出口速度方向与水平线夹角=100，不计重力，求水流对叶片的作用力以及对叶片所作的功率。解：取坐标系xoy位于叶片上，水流则为定常流动。控制体如图虚线所示。叶片对控制体的作用力F为作用在控制体上的表面力；由于不计重力，所以无质量力。水流对叶片的相对速度。应用动量方程式有：水流对叶片的作用力F与叶片对水流的作用力R大小相等，方向相反，所以 水流对叶片的作用力大小为7173N，方向如图所示。（2）流体对叶片所作的功率P为FFxFy3.6 伯努利方程3.6.1 理想流体一维定常流动的运动微分方程R图示在一定常流场中取一微元流管，然后在流管上取长为ds的微元段为控制体。忽略曲率，微元段可以看成图示的圆台。设流体为理想流体，不考虑摩擦力。对控制体在流动方向上利用动量方程有：由于微元段无限小，可以略去高阶无穷小，简化为一维流动的欧拉运动微分方程：3.6.2 伯努利方程将一维流动的欧拉运动微分方程沿流线积分得：对于不可压缩流体有=常数，则有 1）上式除以g得-伯努利方程： 2）l 适用条件：定常流动；质量力仅仅为重力；不可压缩；理想流体。l 物理意义：式1）单位质量的动能+单位质量的位势能+单位质量的压强势能=常数。压强势能：单位质量的流体在压强的作用下，从压强为p的地方运动到压强为0的地方所作的功。 式2）单位重力的动能+单位重力的位势能+单位重力的压强势能=常数 在同一根流线上，三者能量可以相互转化，而维持总和不变。l 几何意义：速度水头+位置水头+压强水头=总水头（常数）3.6.3 伯努利方程的应用例6. 分析皮托管原理。1773年皮托用一根两端开口的弯成直角的玻璃管放入塞纳河水中测量水流的速度，如图所示。解：在A点水平线的前方取一点B，B点速度未受皮托管的影响，其速度为水流速度。对A、B两点应用伯努利方程有由于，则有 即 又因为，所以 是流体在A点的滞止压强（或称总压强），对于任意一点的滞止压强都有：。静止压强：指测压计随同流体一起运动，保持相对静止所测得流动流体的真实压强。对于封闭的管道而言，若忽略静压沿管道截面的变化，可以在管壁上开小孔，由于小孔垂直于迎流方向，则根据小孔的液柱高度可直接测量出静压p。工程中常用皮托静压管结构来测量测点的流速v：。由于结构设计的差别，以及考虑到粘性流体的计算，实际流速要乘以一个修正系数，由厂家提供。例7. 分析文丘里管的原理。文丘里管的结构如图所示，使用时将其接入流道，使其成为整个管道的一段。根据测得的两截面的压差和截面积就可以计算流量。解：对于1、2截面处运用伯努利方程有由连续方程有，从而得截面2处的流速为U型管