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空间两点间的距离公式 第一卦限 卦限 三个坐标面把空间分成八个部分 每一部分叫做卦限 第二卦限 卦限 第三卦限 卦限 第四卦限 卦限 第五卦限 卦限 第六卦限 卦限 第七卦限 卦限 第八卦限 卦限 3 3空间两点间的距离公式 问题1 长方体的对角线是长方体中的那一条线段 问题2 怎样测量长方体的对角线的长 问题3 已知长方体的长 宽 高分别是a b c 则对角线的长 问题4 给出空间两点a x1 y1 z1 p x2 y2 z2 可否类比得到一个距离公式 1 设o 0 0 0 p x0 y0 z0 则 设m1 x1 y1 z1 m2 x2 y2 z2 为空间两点 与x轴平行的边的边长为 x2 x1 作一个以m1和m2为对角线顶点的长方体 使其三个相邻的面分别平行于三个坐标面 p q x2 x1 与y轴平行的边的边长为 y2 y1 y2 y1 设m1 x1 y1 z1 m2 x2 y2 z2 为空间两点 与x轴平行的边的边长为 x2 x1 作一个以m1和m2为对角线顶点的长方体 使其三个相邻的面分别平行于三个坐标面 与z轴平行的边的边长为 z2 z1 z2 z1 与y轴平行的边的边长为 y2 y1 设m1 x1 y1 z1 m2 x2 y2 z2 为空间两点 与x轴平行的边的边长为 x2 x1 作一个以m1和m2为对角线顶点的长方体 使其三个相邻的面分别平行于三个坐标 因为 m1m2 2 m1q 2 m2q 2 m1p 2 pq 2 m2q 2 d m1m2 所以 与z轴平行的边的边长为 z2 z1 与y轴平行的边的边长为 y2 y1 设m1 x1 y1 z1 m2 x2 y2 z2 为空间两点 与x轴平行的边的边长为 x2 x1 作一个以m1和m2为对角线顶点的长方体 使其三个相邻的面分别平行于三个坐标面 例 求空间两点 的距离 分析 利用两点间距离公式可得 公式的记忆方法 同名坐标差的平方和的算术根 练1 p 1 2 2 和q 1 0 1 的距离是 练2 给定空间直角坐标系 在x轴上找一点p 使它与点p0 4 1 2 距离为 分析 设p x 0 0 由已知求得x 9或 1 9 0 0 或 1 0 0 3 已知a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 则ab的中点坐标是 x y z x 1 2 x1 x2 y 1 2 y1 y2 z 1 2 z1 z2 想一想 例 在xoy平面内的直线x y 1上确定一点m 使m到n 6 5 1 的距离最小 略解 设m x 1 x 0 利用距离公式构造出一个二次函数后求最值 例 平面上到坐标原点的距离为 的点的轨迹是单位圆 其方程为 在空间中 到坐标原点的距离为 的点的轨迹是什么 试写出它的方程 练4 如图 m oab是棱长为a的正四面体 顶
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