高考数学二轮复习 专题辅导与训练 2.2 函数与方程及函数的应用教学课件.ppt

第二讲函数与方程及函数的应用 主干知识 1 必记公式几种常见的函数模型 1 一次函数模型 2 二次函数模型 3 指数函数模型 4 对数函数模型 y ax b a 0 y ax2 bx c a 0 y a bx c b 0且b 1 y blogax c a 0且a 1 5 分段函数模型 a1 a2 2 重要性质 1 函数的零点及函数的零点与方程根的关系对于函数f x 把使f x 0的实数x叫做函数f x 的 函数f x f x g x 的零点就是方程f x g x 的根 即函数y f x 的图象与函数y g x 的图象交点的 零点 横坐标 2 零点存在性定理如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 那么函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得f c 0 这个c也就是方程f x 0的根 f a f b 0 3 易错提醒 1 忽视判断函数零点存在的条件 利用零点存在性定理判断函数的零点时 忽视函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有f a f b 0这两个条件同时成立 2 函数的零点概念不清晰 混淆零点与平面几何中的点 函数y f x 的零点即方程f x 0的实数根 3 零点存在性定理的应用错误 满足零点存在性定理的条件时得出函数y f x 在区间 a b 内有零点 但零点个数不确定 反之函数在 a b 上有零点不一定能推出f a f b 0 考题回顾 1 2014 北京高考 已知函数f x log2x 在下列区间中 包含f x 零点的区间是 a 0 1 b 1 2 c 2 4 d 4 解析 选c 当x 0时 f x f 1 6 f 2 2 f 3 2 log23 0 f 4 log24 0 故包含零点的区间是 2 4 2 2014 湖北高考 已知f x 是定义在r上的奇函数 当x 0时 f x x2 3x 则函数g x f x x 3的零点的集合为 a 1 3 b 3 1 1 3 c 2 1 3 d 2 1 3 解析 选d 由f x 是定义在r上的奇函数 当x 0时 f x x2 3x 所以f x 所以g x 由解得x1 3 x2 1 由解得x 2 故选d 3 2014 温州模拟 已知a是函数f x 2x 的零点 若00d f x0 的符号不确定 解析 选b 函数f x 2x log2x在 0 上是单调递增的 若这个函数有零点 则零点是唯一的 根据函数f x 在 0 上是单调递增的及a为函数f x 的零点可知 当x0 0 a 时 这个函数的函数值小于零 即f x0 0 在定义域上单调的函数如果有零点 则只能有唯一的零点 并且以这个零点为分界点把定义域分成两个区间 在其中一个区间内函数值都大于零 在另一个区间内函数值都小于零 4 2013 湖北高考 小明骑车上学 开始时匀速行驶 途中因交通堵塞停留了一段时间 后为了赶时间加快速度行驶 与以上事件吻合得最好的图象是 解析 选c 距学校越来越近则图象下降 交通堵塞时距离不变 后加速行驶 直线斜率变小 直线变陡 5 2014 湖南高考 某市生产总值连续两年持续增加 第一年的增长率为p 第二年的增长率为q 则该市这两年生产总值的年平均增长率为 解析 选d 设该市这两年生产总值的年平均增长率为x 则由已知 可得 1 x2 1 p 1 q 解得 6 2014 宁波模拟 函数f x g x x2f x 1 x r 则函数g x 的零点个数有 个 解析 g x 则g 1 0 当x 1时 由 x2 0得x 0 即g 0 0 因此函数g x 的零点有2个 答案 2 热点考向一确定函数的零点或范围 考情快报 典题1 1 2013 重庆高考 若a b c 则函数f x x a x b x b x c x c x a 两个零点分别位于区间 a a b 和 b c 内b a 和 a b 内c b c 和 c 内d a 和 c 内 2 2014 大连模拟 x 表示不超过x的最大整数 例如 2 9 2 4 1 5 已知f x x x x r g x log4 x 1 则函数h x f x g x 的零点个数是 a 1b 2c 3d 4 信息联想 1 看到零点判断零点所在区间 想到 2 看到判断零点的个数 想到 零点存在 性定理 数形结合 规范解答 1 选a 因为a0 f b b c b a 0 所以f a f b 0 f b f c 0 即函数的两个零点分别位于区间 a b 和 b c 内 2 选b 函数h x f x g x 的零点个数可转化为函数f x 与g x 图象的交点个数 作出函数f x x x 与函数g x log4 x 1 的大致图象如图 由图可知两函数图象的交点个数为2 即函数h x f x g x 的零点个数是2 互动探究 本例题 2 中若关于x的方程f x kx k有三个不同的实根 求实数k的取值范围 解析 关于x的方程f x kx k有三个不同的实根 转化为y f x y kx k k x 1 两个函数图象有三个不同的交点 函数f x x x 的图象如图 函数y k x 1 恒过定点 1 0 观察图象易得k 答案 规律方法 1 判断函数零点个数的方法 1 直接求零点 令f x 0 则方程解的个数即为零点的个数 2 零点存在性定理 利用该定理不仅要求函数在 a b 上是连续的曲线 且f a f b 0 还必须结合函数的图象和性质 如单调性 才能确定函数有多少个零点 3 数形结合 对于给定的函数不能直接求解或画出图形 常会通过分解转化为两个函数图象 然后数形结合 看其交点的个数有几个 其中交点的横坐标有几个不同的值 就有几个不同的零点 2 判断函数零点所在区间的方法判断函数在某个区间上是否存在零点 要根据具体题目灵活处理 当能直接求出零点时 就直接求出进行判断 当不能直接求出时 可根据零点存在性定理判断 当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断 变式训练 1 2014 湛江模拟 函数f x 2x x3 2在区间 0 1 内的零点个数是 a 0b 1c 2d 3 解析 选b 函数f x 2x x3 2在 0 1 上递增 又f 0 1 0 2 10 所以有1个零点 2 2014 大同模拟 若方程x3 的根为x0 且x0所在的区间是 a b a b z且b a 1 则a b 解析 设f x x3 x0是函数f x 的零点 在同一坐标系下画出函数y x3与y 的图象 如图所示 因为f 1 1 1 0 f 2 8 7 0 所以f 1 f 2 0 又因为f x 为单调递增函数 所以x0 1 2 故a 1 b 2 因此a b 3 答案 3 加固训练 1 2014 潍坊模拟 函数f x log2x 的零点所在的区间为 a 0 1 b 1 2 c 2 3 d 3 4 解析 选b 由f 1 10可得f x 在 1 2 内必有零点 2 2013 天津高考 函数f x 2x log0 5x 1的零点个数为 a 1b 2c 3d 4 解析 选b 函数f x 2x log0 5x 1的零点即2x log0 5x 1 0的解 即 log0 5x 的解 作出函数g x log0 5x 和函数h x 的大致图象 由图象可知 两函数共有两个交点 故函数f x 2x log0 5x 1有2个零点 热点考向二函数与方程的综合应用 考情快报 高频考向多维探究 命题角度一由函数零点的情况求参数范围 典题2 1 2014 杭州五校模拟 设函数f x log3 a在区间 1 2 内有零点 则实数a的取值范围是 2 2014 天津高考 已知函数f x 若函数y f x a x 恰有4个零点 则实数a的取值范围为 信息联想 1 看到有零点 想到 2 看到函数恰有4个零点 想到 函数的值域 数形结合转化为交点个数问题 规范解答 1 因为x 1 2 所以 2 3 log3 log32 1 故要使函数f x 在 1 2 内存在零点 只要a log32 1 即可 答案 log32 1 2 如图 分别作出函数y f x 和函数y a x 的大致图象 由图象可知当y a x 的图象在y轴左侧部分和y f x 相切以及右侧部分和y f x x 2 平行之间时满足条件 相切时由得 0 则a 1 平行时a 2 故有1 a 2 答案 1 a 2 命题角度二利用函数零点与方程根的关系解决相关问题 典题3 1 2014 保定模拟 设点p x0 y0 是函数y tanx与y x x 0 的图象的一个交点 则 x02 1 cos2x0 1 2 2014 宁德模拟 设函数f x 若曲线y sinx上存在点 x0 y0 使得f f y0 y0 则a的取值范围是 信息联想 1 看到交点 想到 2 看到y sinx上存在点 x0 y0 使得f f y0 y0 想到 联立方程 正弦函 数的值域 规范解答 1 由题意可得 tanx0 x0 x02 1 cos2x0 1 1 tan2x0 2cos2x0 2cos2x0 2 答案 2 2 由已知点 x0 y0 在曲线y sinx上 得y0 sinx0 y0 0 1 即存在y0 0 1 使f f y0 y0成立 因为 f y0 y0 满足方程f f y0 y0 由于函数f x 在其定义域内是增函数 所以f y0 y0 即方程 x在 0 1 内有解 即a x2 x x 0 1 当x 0 1 时 x2 x 0 故a的取值范围是 0 答案 0 规律方法 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 1 利用零点存在的判定定理构建不等式求解 2 分离参数后转化为求函数的值域 最值 问题求解 3 转化为两熟悉的函数图象的上 下关系问题 从而构建不等式求解 变式训练 1 2014 天津模拟 定义运算m x y 设函数f x x2 3 x 1 若函数y f x c恰有两个零点 则实数c的取值范围是 a 3 2 b 3 2 3 c 2 2 d 3 2 2 解析 选d 由x2 3 x 1解得x 1或x 2 所以f x 函数y f x c恰有两个零点 即函数y f x y c的图象恰有两个交点 作出函数y f x y c的大致图象如图 由图可知 3 c 2或c 2时 两个图象有两个不同的交点 故实数c的取值范围是 3 2 2 2 2014 安庆模拟 设方程3x lg x 的两个根为x1 x2 x11d 0 x1x2 2 解析 选d 在同一平面直角坐标系中画出函数y 3x和y lg x 的图象 可知 2 x1 1 1 x2 0 所以0 x1x2 2 加固训练 1 2013 天津高考 设函数f x ex x 2 g x lnx x2 3 若实数a b满足f a 0 g b 0 则 a g a 0 f b b f b 0 g a c 0 g a f b d f b g a 0 解题提示 先由f a 0 g b 0确定a b的大小 再结合f x ex x 2 g x lnx x2 3的单调性进行判断 解析 选a 因为f x ex 1 0 所以f x ex x 2在其定义域内是单调递增的 由f a 0知00 g x 2x 0 故g x lnx x2 3在 0 上也是单调递增的 由g b 0知1 b 2 所以g a g b 0 0 f a f b 因此g a 0 f b 2 2014 沈阳模拟 已知函数f x 且关于x的方程f x x a 0有且只有一个实根 则实数a的取值范围是 解析 因为方程f x x a 0有且仅有一个实根 所以函数y f x 与直线y x a的图象有且仅有一个交点 画出函数y f x 的图象可知 当a 1时满足 故a 1 答案 1 热点考向三函数的实际应用 考情快报 典题4 2014 合肥模拟 2014年4月 某地自来水苯超标 当地自来水公司对水质检测后 决定在水中投放一种药剂来净化水质 已知每投放质量为m的药剂后 经过x天该药剂在水中释放的浓度y 毫克 升 满足y mf x 其中f x 当药剂在水中的浓度不低于4 毫克 升 时称为有效净化 当药剂在水中释放的浓度不低于4 毫克 升 且不高于10 毫克 升 时称为最佳净化 1 如果投放的药剂质量为m 4 试问自来水达到有效净化一共可持续几天 2 如果投放药剂质量为m 为了使在7天 从投放药剂算起包括7天 之内的自来水达到最佳净化 试确定应该投放的药剂质量m的最小值 信息联想 1 看到求自来水达到有效净化一共可持续几天 想到 2 看到7天 从投放药剂算起包括7天 之内的自来水达到最佳净化 想到 求y 4的解集 在区间 0 7 上4 y 10恒成立 规范解答 1 由题意 得当药剂质量m 4时 当04时 4 解得4 x 16 综上0 x 16 所以自来水达到有效净化一共可持续16天 2 由y m f x 得当04时 y 所以函数在区间 4 7 上单调递减 即 y 3m 综上知 y 3m 为使4 y 10恒成立 只要 4且3m 10即可 即所以应该投放的药剂质量m的最小值为 规律方法 1 应用函数模型解决实际问题的一般程序 2 函数有关应用题的常见类型及解题关键 1 常见类型 与函数有关的应用题 经常涉及物价 路程 产值 环保等实际问题 也可涉及角度 面积 体积 造价的最优化问题 2 解题关键 解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式 然后应用函数 方程 不等式和导数的有关知识加以综合解答 变式训练 1 2014 北京高考 加工爆米花时 爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为 可食用率 在特定条件下 可食用率p与加工时间t 单位 分钟 满足的函数关系为p at2 bt c a b c是常数 下图记录了三次实验的数据 根据上述函数模型和实验数据 可以得到最佳加工时间为 a 3 50分钟b 3 75分钟c 4 00分钟d 4 25分钟 解析 选b 把 3 0 7 4 0 8 5 0 5 代入p at2 bt c得解得a 0 2 b 1 5 c 2 所以p 0 2t2 1 5t 2 当t 3 75时 p取得最大值 所以最佳加工时间为3 75分钟 2 2014 汕头模拟 某企业为了节能减排 决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网 安装这种供电设备的成本费 单位 万元 与太阳能电池板的面积 单位 平方米 成正比 比例系数约为 为了保证正常用电 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式 假设在此模式下 安装后该企业每年消耗的电费c 单位 万元 与安装的这种太阳能电池板的面积x 单位 平方米 之间的函数关系是c x 记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共将消耗的电费之和是f x 万元 则f 40 等于 a 80b 60c 42d 40 解析 选b 依题意得f x f 40 加固训练 1 2014 长沙模拟 某人想开一家服装专卖店 经过预算 该门面需要门面装修费为20000元 每天需要房租 水电等费用100元 受经营信誉度 销售季节等因素的影响 专卖店销售总收益r与门面经营天数x的关系式是r r x 则总利润最大时 该门面经营的天数是 a 100b 150c 200d 300 解析 选d 由题意知 总成本c 20000 100 x 所以总利润p r c所以p在 0 300 上单调递增 在 300 上单调递减 由题意易知当x 300时 总利润最大 2 2014 安阳模拟 某企业生产一种产品时 固定成本为5000元 而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元 市场对此产品的年需求量为500台 销售的收入函数为r x 5x x2 万元 0 x 5 其中x是年产量 单位 百台 1 把利润表示为年产量的函数 2 年产量为多少时 企业所得的利润最大 3 年产量为多少时 企业才不亏本 解析 1 利润y是指生产数量为x时产品售出后的总收入r x 与其总成本c x 之差 由题意 当x 5时 产品能全部售出 当x 5时 只能销售500台 所以 2 当0 x 5时 y x2 4 75x 0 5 当x 4 75 百台 时 ymax 10 78125 万元 当x 5 百台 时 y 12 0 25 5 10 75 万元 所以当x 475 台 时 ymax 10 78125 万元 所以年产量为475台时 企业所得的利润最大 3 要使企业不亏本 即要求 或 解 得5 x 4 75 0 11 百台 解 得5 x 48 百台 即11 台 x 4800 台 所以企业年产量在11台到4800台之间时 企业不亏本 备选考向 复合函数的零点问题 典题 1 2014 宜春模拟 已知函数f x 则关于x的方程f f x k 0 给出下列四个命题 存在实数k 使得方程恰有1个实根 存在实数k 使得方程恰有2个不相等的实根 存在实数k 使得方程恰有3个不相等的实根 存在实数k 使得方程恰有4个不相等的实根 其中正确命题的序号是 把所有满足要求的命题序号都填上 2 2014 西安模拟 已知函数f x x 1 关于x的方程f2 x f x k 0 给出下列四个命题 存在实数k 使得方程恰有2个不同的实根 存在实数k 使得方程恰有3个不同的实根 存在实数k 使得方程恰有5个不同的实根 存在实数k 使得方程恰有8个不同的实根 其中真命题的序号为 规范解答 1 依题意知函数f x 0 又f f x 依据y f f x 的大致图象 如图 知 存在实数k 使得方程f f x k 0恰有1个实根 存在实数k 使得方程f f x k 0恰有2个不相等的实根 不存在实数k 使得方程恰有3个不相等的实根 不存在实数k 使得方程恰有4个不相等的实根 综上所述 其中正确命题的序号是 答案 2 设t x 1 则t 1 当t 1时 x 0 当t 1时 x有两解 则原方程等价为t2 t k 0 即k t2 t t 2 画出函数k t2 t 与t x 1的图象 由图象可知 当k 0时 t 1 此时方程恰有2个不同的实根 当k 0时 t 1或t 0或t 1 当t 1时 x有两个不同的解 当t 0时 x有两个不同的解 当t 1时 x只有一个解 所以此时共有5个不同的解 当0 k 时 1 t 或 t 0或0 t 或 t 1 此时对应着8个解 当k 时 t 或t 此时每个t对应着两个x 所以此时共有4个解 综上正确的是 答案 规律方法 复合函数的零点问题的处理思路 1 数形结合的思想 求出复合函数的表达式 再画出相应函数的图象 数形结合判断 2 转化与化归的思想 通过换元 转化为求解两个基本初等函数的零点问题 加固训练 1 2014 九江模拟 设函数f x g x f x 2 bf x c 如果函数g x 有5个不同的零点 则 a b 2且c 0b b 2且c 0c b 2且c 0d b 2且c 0 解析 选c 可得f x 为偶函数 其图象如图所示 含原点 令t f x 可知 当t 0时 x 0 当t 2时 有4个不同的x值与之对应 由于g t t2 bt c有5个不同零点 所以必有一个零点为t 0 即g 0 c 0 解之可得c 0 另一个零点为t 2 故由根与系数的关系可得 b 0 t 2 解得b 2 2 2014 余江模拟 已知函数y f x 和y g x 的定义域均为 x 2 x 2 其图象如图所示 给出下列四个命题 函数y f g x 有且仅有6个零点 函数y g f x 有且仅有3个零点 函数y f f x 有且仅有5个零点 函数y g g x 有且仅有4个零点 其中正确的命题是 解题提示 通过f x 0可知函数有三个解 g x 0有2个解 具体分析 推出正确结论 解析 由图象可得 2 g x 2 2 f x 2 由于满足方程f g x 0的g x 有3个不同值 由于每个值g x 对应了2个x值 故满足f g x 0的x值有6个 即方程f g x 0有且仅有6个根 故 正确 由于满足方程g f x 0的f x 有2个不同的值 从图中可知 一个值f x 对应有1个x值 另一个值f x 对应有3个x值 故满足方程g f x 0的x值有4个 故 不正确 由于满足方程f f x 0的