高等代数课件--第三章 线性方程组§3.1 消元法.ppt

第三章线性方程组 解决一般的线性方程组的解的相关问题 解的结构问题 3 1消元法 一 一般线性方程组 1 一般线性方程组是指形式为 的方程组 其中x1 x2 xn代表n个未知量 s是方程的个数 称aij i 1 2 s j 1 2 n 为方程组的系数 称bi i 1 2 s 为常数项 2 方程组的解 设k1 k2 kn是n个数 如果x1 x2 xn分别用k1 k2 kn代入后 1 中每一个式子都变成恒等式 则称有序数组 k1 k2 kn 是 1 的一个解 方程组 1 的解的全体所成集合称为它的解集合 解 解集合 解集合是空集时就称方程组 1 无解 3 同解方程组 如果两个线性方程组有相同的解集合 则称它们是同解的 4 方程组的系数矩阵与增广矩阵 系数矩阵 增广矩阵 二 消元法 1 引例 解线性方程组 此例的目的 key 9 1 6 2 线性方程组的初等变换 1 换位变换 交换两个方程的位置 2 倍法变换 用一个非零数乘上某一个方程 3 消法变换 将一个方程的倍数加到另外一个方程 所谓线性方程组的初等变换是指以下三种变换 性质 线性方程组经初等变换后 得到的线性方程组与原线性方程组同解 消元法的实质是对方程组反复进行初等变换 达到将方程中的未知数 变量 减少的目的 总结 3 利用初等变换解一般线性方程组 化阶梯方程组 首先检查 1 中x1的系数 若a11 a21 as1全为零 则x1没有任何限制 即x1可取任意值 从而方程组 1 可以看作是x2 x3 xn的方程组来解 如果x1的系数不全为零 不妨设a11 0 分别把第一个方程的 倍加到第i i 2 s 个 方程 于是 1 就变成 步骤1 其中 再考虑方程组 显然方程组 2 有解当且仅当方程组 3 有解 而 1 与 2 是同解的 因此方程组 1 有解当且仅当方程组 3 有解 对方程组 3 重复上面的讨论 并且一步步作下去 最后就得到一个阶梯形方程组 为了讨论的方便 不妨设所得的阶梯形方程组为 其中cii 0 i 1 2 r 方程组 4 中的 这样一些恒等式可能不出现也可能出现 这时去掉它们不影响 的解 而且 1 与 是同解的 考察方程组的解的情况 1 当dr 1 0时 方程组 4 无解 从而 1 无解 2 当dr 1 0时 方程组 4 有解 从而 1 有解 此时去掉 的方程 分两种情况 若r n 这时阶梯形方程组为 其中cii 0 i 1 2 r 此时方程组有唯一解 若r n 这时阶梯形方程组为 其中cii 0 i 1 2 r 此时方程组有无数解 事实上 任意给xr 1 xn一组值 由 6 就唯一地定出x1 x2 xr的一组值 通常 我们可以把x1 xr通过xr 1 xn表示出来 这样一组表达式称为方程组 1 的一般解 而称xr 1 xn为一组自由未知量 应用消元法求解线性方程组的矩阵表示 因为消元法的实质是反复运用初等变换 因此 就其实质而言 仅仅是对增广矩阵反复施行初等行变换 将其化为阶梯形矩阵 1 当dr 1 0时 方程组 4 无解 从而 1 无解 2 当dr 1 0时 方程组 4 有解 从而 1 有解 此时分两种情况 若r n 则