2013年朝阳区高三二模数学(理科)试题及参考答案.doc

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类） 2013.5第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知集合，集合，则=A. B. C. D.（2）若，则实数的值为A. B. C. D. 否开始S = 0n = 1S=S+n输出S结束是n=n+2（3）执行如图所示的程序框图若输出的结果是，则判断框内的条件是A.? B.? C.? D.?（4）若双曲线的渐近线与抛物线有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是A. B. C. D.（5）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为俯视图1侧视图1正视图1A. B. C. D.（第5题图） （第3题图）（6）某岗位安排3名职工从周一到周五值班，每天只安排一名职工值班，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天必须相邻，那么不同的安排方法有A.种 B.种 C.种 D.种（7）已知函数，定义函数 给出下列命题：；函数是奇函数；当时，若，总有成立其中所有正确命题的序号是A. B. C. D. （8）点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是A. B. C. D.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. （9）为虚数单位，计算 （10）若直线与圆（为参数）相交于，两点，且弦的中点坐标是，则直线的倾斜角为 （11）如图，切圆于点，割线经过圆心，则 ，的面积是 （12）某公司一年购买某种货物吨，每次都购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨（13）将一个质点随机投放在关于的不等式组所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于的概率是 （14）数列的前项组成集合，从集合中任取个数，其所有可能的个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记例如当时，；当时，.则当时， ；试写出 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（15）（本小题满分13分）在中，所对的边分别为，且.（）求函数的最大值；（）若，求b的值（16）（本小题满分14分）ADBCPEFGH如图，四边形是正方形，平面，分别为，的中点（）求证：平面；（）求平面与平面所成锐二面角的大小；（）在线段上是否存在一点,使直线与直线 所成的角为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.（17）（本小题满分13分）为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数独比赛”.比赛成绩共有90分，70分，60分，40分，30分五种，按本次比赛成绩共分五个等级从参加比赛的学生中随机抽取了30名学生，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：成绩等级ABCDE 成绩（分）9070604030 人数（名）461073（）根据上面的统计数据，试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“ 或”的概率；（）根据（）的结论，若从该地区参加“数独比赛”的小学生（参赛人数很多）中任选3人，记表示抽到成绩等级为“或”的学生人数，求的分布列及其数学期望；（）从这30名学生中，随机选取2人，求“这两个人的成绩之差大于分”的概率（18）（本小题满分13分）已知函数（），.（）求函数的单调区间；（）当时，若对任意，恒成立，求的取值范围.（19）（本小题满分14分）已知椭圆的右焦点为，短轴的端点分别为，且.（）求椭圆的方程；（）过点且斜率为的直线交椭圆于两点，弦的垂直平分线与轴相交于点.设弦的中点为，试求的取值范围（20）（本小题满分13分）已知实数（）满足，记（）求及的值；（）当时，求的最小值；（）求的最小值（注：表示中任意两个数,（）的乘积之和.）北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试答案（理工类） 2013.一、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案DBCAA CDD二、填空题： 题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（）因为.因为为三角形的内角，所以，所以.所以当，即时，取得最大值，且最大值为. 6分（）由题意知，所以又因为，所以，所以又因为，所以由正弦定理得， 13分 （16）（本小题满分14分）（）证明：因为,分别为，的中点，所以.又平面，平面，所以平面. 4分（）因为平面，ADBCPEFGHzyx所以平面，所以，.又因为四边形是正方形，所以.如图，建立空间直角坐标系，因为,所以， 5分因为， 分别为，的中点，所以，. 所以，.设为平面的一个法向量，则,即，再令，得.,.设为平面的一个法向量,则,即，令，得.所以=.所以平面与平面所成锐二面角的大小为. 9分（）假设在线段上存在一点,使直线与直线所成角为.依题意可设,其中.由,则. 又因为,，所以.因为直线与直线所成角为，所以=，即，解得.所以，.所以在线段上存在一点,使直线与直线所成角为，此时. 14分（17）（本小题满分13分）解：（）根据统计数据可知，从这30名学生中任选一人，分数等级为“或”的频率为 从本地区小学生中任意抽取一人，其“数独比赛”分数等级为“ 或”的概率约为3分（）由已知得，随机变量的可能取值为0，1，2，3 所以；随机变量的分布列为0123 所以 9分（）设事件M：从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于分设从这30名学生中，随机选取2人，记其比赛成绩分别为显然基本事件的总数为不妨设，当时，或或，其基本事件数为；当时，或，其基本事件数为；当时，其基本事件数为；所以所以从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于分的概率为 13分（18）（本小题满分1 3分）解：（）函数的定义域为，.1分当时，当变化时，的变化情况如下表： 所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是，. 3分当时，当变化时，的变化情况如下表： 所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是. 5分（）依题意，“当时，对于任意，恒成立”等价于 “当 时，对于任意， 成立”. 当时，由（）知，函数在上单调递增，在上单调递减，因为，所以函数的最小值为.所以应满足. 6分因为，所以. 7分当时，函数，显然不满足，故不成立. 8分当时，令得，.（）当，即时，在上，所以函数在上单调递增， 所以函数. 由得，所以. 10分（）当，即时, 在上，在上，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以.由得，所以. 11分（）当，即时,显然在上，函数在上单调递增，且. 显然不成立，故不成立. 12分综上所述，的取值范围是. 13分（19）（本小题满分14分）解：（）依题意不妨设，则，.由，得.又因为，解得.所以椭圆的方程为. 4分（）依题直线的方程为. 由得. 设，则，. 6分所以弦的中点为. 7分所以. 9分直线的方程为，由，得，则，所以. 11分所以. 12分又因为，所以.所以.所以的取值范围是. 14分（20）（本小题满分13分）解：（）由已知得 3分（）设当时，若固定，仅让变动