D1_6两个重要极限(nei).ppt

二 两个重要极限 一 极限存在的准则 第六节 机动目录上页下页返回结束 极限存在准则及 两个重要极限 第二章 本节课学习目标 通过本课程的学习 我们要学会两个重要极限公式 要会用重要极限公式计算一些函数的极限 一 函数极限存在的准则 1 定理2 11 准则 P71 夹逼准则 机动目录上页下页返回结束 且 则 如果在某个变化过程中 三个变量 总有关系 证 因为 所以对于 从某个时刻以后 恒有 恒成立 又因为所以 在那个时刻以后有 即 所以有 故 即 例1证明 证 当 时 由 得 及 根据准则IP71 证明略 定理2 12如果数列 是单调有界的 则一定存在 例证明 存在 证 且 存在 单调递增 有界 二 两个重要极限 1 证明 首先易见 所以只须证即可 如图作单位圆 并 作角见右图 由图中易见有 重要极限 二 两个重要极限 1 证明 首先易见 所以只须证即可 如图作单位圆 并 作角见右图 由图中易见有 记 于是有 同除以得 即 因为 所以 即 即 注 可推广为一般形式 其中 的极限过程使 一般公式的特点是 1 分子为正弦函数 2 正弦函数符号下的与分母完全一致 3 极限为型 在变性时一般会有三角函数或反三角函数的型的极限经恒等变形或变量代换 往往可用公式求出极限 常用的恒等变形有分子 分母同除 或同乘 以的因式 或直接应用三角公式 代数公式 记 例1求极限 例2求极限 解原式 类似可求得 例3求极限 解原式 例4求极限 解原式 解原式 例5求极限 解原式 例6求极限 解原式 例7 求 解 例8 求 解 令 则 因此 原式 机动目录上页下页返回结束 例9 已知圆内接正n边形面积为 证明 证 说明 计算中注意利用 1求 解 课堂练习 或 重要极限2 p74 78 n为正整数 2 9 2 10 1 2 2 8 记 证明 1 设 证明数列 极限存在 P74 P76 证 利用二项式公式 有 大 大 正 又 比较可知 说明数列是单调的 根据定理2 1可知数列 记此极限为e e为无理数 其值为 即 有极限 又 明数列是有界的 证 当 时 设 则 或 2 当 则 从而有 故 说明 此极限也可写为 时 令 第二个重要极限 由于它既不是幂函数 也不是指数函数 这种函数称为幂指函数 推广成一般形式可写为 公式的特点是 第一 所求极限的函数为幂指函数 第二 其指数为无穷大 底数由两项组成 一项是1 另一项是无穷小 注 或 公式 其中 的极限过程对前者使 后者使 记 第三 无穷小所在的项与无穷大所在的项 指数 互为倒数 因而公式的极限是型极限 不是型极限或不能化为型的极限不能应用公式求 为将极限函数化符合上述诸条件的形式 常需对所求极限的函数进行恒等变形或变量代换 例1 求 解 令 则 说明 若利用 机动目录上页下页返回结束 则 原式 例2 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 解作变量替换 设 则 当 于是 则 例8求极限 解原式 例9求极限 解利用上题结果 令得 原式 解原式 例10求极限 解原式 例12求极限 解原式 例11求极限 例复利模型 P74 内容小结 1 极限存在的准则 1 th2 11 2 th2 12 2 两个重要极限 1 2 注1 使得 注2 使得 思考与练习 填空题 1 4 第七节目