2011年高考复习数学阶段性测试题13(推理与证明)含答案.doc

阶段性测试题十三(推理与证明(文十二)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)1(文)(08宁夏、海南)平面向量a，b共线的充要条件是()Aa，b方向相同Ba，b两向量中至少有一个为零向量CR，baD存在不全为零的实数1，2，1a2b0答案D解析选项A、B是共线的充分条件，C为共线的必要条件，D为充要条件，故选D.(理)已知空间任一点O和不共线的三点A，B，C，满足xyz(x，y，zR)，则“xyz1”是“点P在平面ABC内”的()A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析点P在平面ABC内存在实数，使平面ABC内的任意点O，有()()(1)，xyz，xyz1是点P在平面ABC内的充要条件2已知2，3，4，6(a，b均为实数)，则可推测a，b的值分别为()A6,35B6,17C5,24 D5,35答案A3设a，bR，现给出下列五个条件：ab2；ab2；ab2；ab1；logab2时，假设a1，b1，则ab2矛盾；ab2可能a0，b1，可能a0，b0；logab0，0a1或a1,0b1，故能推出4(文)如果不等式|xa|1成立的充分非必要条件是x，则实数a的取值范围是()A.a或a Da或a答案B解析|xa|1a1xa1，由题意知(a1，a1)，则有(等号不同时成立)，解得a，故选B.(理)已知命题p：x24x30与q：x26x80；若p且q是不等式2x29xa0成立的充分条件，则实数a的取值范围是()A(9，) B0C(，9 D(0,9答案C解析由x24x30可得p：1x3；由x26x80可得q：2x4，p且q为：2x3，由条件可知，x|2x3是不等式2x29xa0，公差d0，则有a4a6a3a7，类比上述性质，在等比数列bn中，若bn0，公比q1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是()Ab4b8b5b7 Bb4b8b5b8 Db4b7a3a7，所以在等比数列bn中，由于4857，所以应有b4b8b5b7或b4b81，bn0，b4b8b5b7.故选A.6(文)规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步，现程序设计师让机器狗以“前进3步，然后再退2步”的规律移动如果将此机器狗放在数轴原点，面向正方向，以1步的距离为1个单位长度移动，令P(n)表示第n秒时机器狗所在的位置坐标，且P(0)0，则下列结论中错误的是()AP(2007)403 BP(2008)404CP(2009)403 DP(2010)404答案D解析显然每5秒前进一个单位，且P(1)1，P(2)2，P(3)3，P(4)2，P(5)1，P(2007)P(54012)4012403，P(2008)404，P(2009)403，P(2010)402，故选D.(理)证明1(nN*)时，假设nk时成立，当nk1时，左端增加的项数是()A1项 B2k项Ck项 Dk1项答案B解析显然当nk时，左边为1，而当nk1时，左边为1.增加的项数为(2k11)(2k1)2k项故选B.7(文)在ABC中，角A，B所对的边长为a，b，则“ab”是“acosAbcosB”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件答案A解析abABacosAbcosB，条件是充分的；acosAbcosBsinAcosAsinBcosBsin2Asin2B2A2B或2A2B，即AB或AB，故条件是不必要的(理)“、成等差数列”是“等式sin()sin2成立”的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分又不必要条件答案B解析sin()sin2，可得22k(kZ)，或22k(kZ)，选B.8平面几何中有“一个角的两边分别垂直于另一个角的两边则两角相等或互补”；在立体几何中，“当一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面时，两二面角”()A互补 B相等C互补或相等 D关系不定答案D解析如图，二面角l，平面，直线l，l与相交于P，则过l的任意平面与垂直且与相交成二面角，此二面角的大小不定，当一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面时，这两个二面角没有任何大小关系，故选D.9下列命题中的真命题是()Ax0，sinxcosx2Bx(3，)，x22x1CxR，x2x1Dx，tanxsinx答案B解析对于A，sinxcosxsin，由x0，x，则1sinxcosx，故A错；对于B，由x22x10解得，x1或x2x1恒成立；对于C，x2x12，方程x2x1无解，故C错；对于D，当x(，)时，tanx0，故D错10(文)“2a2”是“实系数一元二次方程x2ax10有虚根”的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析由方程x2ax10无实根可得a2402a2，故可知2a2是方程x2ax10有虚根的必要不充分条件(理)命题p：方程x2xa26a0有一正根和一负根；命题q：函数yx2(a3)x1的图象与x轴有公共点若命题“p或q”为真命题，而命题“p且q”为假命题，则实数a的取值范围是()A(1,5)6，)B(，0(1,5)C(，06，)D(，0(1,5)6，)答案D解析令f(x)x2xa26a，则命题Pf(0)0a26a00a6；由命题q得(a3)240a5或a1.根据题意知命题p与命题q一真一假，当命题p真且命题q假时，a(1,5)；当命题q真且命题p假时，a(，06，)综上所述，a(，0(1,5)6，)故选D.11(文)(2010广东中山)两个数1和9的等差中项是a，等比中项是b，则曲线1的离心率为()A. B.C. D.或答案D解析由条件知，a5，b3，当b3时，曲线1的离心率e；当b3时，曲线1的离心率e.(理)ABC的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a、b、c成等比数列，cosA、cosB、cosC成等差数列，则ABC为()A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形答案A解析cosA，cosB，cosC成等差数列，2cosBcosAcosC2coscos2sincos，cos(AC)2cos211，a，b，c成等比数列，b2ac，sin2BsinAsinC，2sin2Bcos(AC)cosB，cos(AC)2sin2BcosB，将代入整理得：(2cosB1)(cosB3)(cosB1)0.0B，cosBB，cos(AC)1，AC，AC，ABC，从而ABC为等边三角形，故选A.12观察等式：sin230cos260sin30cos60，sin220cos250sin20cos50和sin215cos245sin15cos45，由此得出以下推广命题，则推广不正确的是()Asin2cos2sincosBsin2(30)cos2sin(30)cosCsin2(15)cos2(15)sin(15)cos(15)Dsin2cos2(30)sincos(30)答案A解析观察已知等式不难发现，60305020451530，从而推断错误的命题为A.选A.第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13方程1表示曲线C，给出以下命题：曲线C不可能为圆；若1t4，则曲线C为椭圆；若曲线C为双曲线，则t4；若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1t.其中真命题的序号是_(写出所有正确命题的序号)答案解析显然当t时，曲线为x2y2，方程表示一个圆；而当1t4，且t时，方程表示椭圆；当t4时，方程表示双曲线，而当1tt10，方程表示焦点在x轴上的椭圆，故选项为.14已知命题甲：ab4，命题乙：a1且b3，则命题甲是命题乙的_条件答案既不充分也不必要解析当ab4时，可选取a1，b5，故此时a1且b3不成立(a1)同样，a1且b3时，可选取a2，b2，此时ab4，因此，甲是乙的既不充分也不必要条件点评可通过逆否法判断非乙是非甲的什么条件15(文)若数列an是等差数列d不为0，m，n，p是互不相等的正整数，则有(mn)ap(np)am(pm)an0，类比上述结论，相应地，在等比数列bn中，有_答案bbb1解析在等差数列中，通过观察可以发现m，n，p的出现规律，再将等式展开可以得到：(mn)ap(np)am(pm)an(mn)(p1)(np)(m1)(pm)(n1)d0，故在等比数列中有bbbbq(mn)(p1)(np)(m1)(pm)(n1)1.故填bbb1.(理)在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是，则有cos2cos2_.类比到空间，在长方体中，一条对角线与从其一顶点出发的三条棱所成的角分别为，则有正确的式子是_答案1cos2cos2cos21解析设长方形的长和宽分别为x，y，则有cos2cos2221；设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则有cos2cos2cos22221.16如果一个自然数n，我们可以把它写成若干个连续自然数之和，则称为自然数n的一个“分拆”如945234，我们就说“45”与“234”是9的两个“分拆”请写出70的三个“分拆”：70_.答案16171819,1213141516,78910111213解析若分拆成两个数的和，则应为奇数；若分拆成三个数的和，则70应能被3整除，显然不行；若分拆成4个数的和，则分两组，每组和为35，即3517181619；若分拆成5个数的和则中间一个数为14，即1213141516，70不能被3整除，故也不能分拆成6个数的和；若分拆成7个数的和，则中间一个数应为10，即68910111213，若分拆成 10个数的和，则中点两个数的和为214，显然不行三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)给出下列命题：(1)p：x20，q：(x2)(x3)0.(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等(3)p：m2；q：方程x2xm0无实根(4)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等试分别指出p是q的什么条件解析(1)x20(x2)(x3)0；而(x2)(x3)0/ x20.p是q的充分不必要条件(2)两个三角形相似/ 两个三角形全等；但两个三角形全等两个三角形相似p是q的必要不充分条件(3)m2方程x2xm0无实根；方程x2xm0无实根/ m0，且a1，则对任意实数x，ax0；(2)对任意实数x1、x2，若x1x2，则tanx1tanx2；(3)TR，使|sin(xT)|sinx|；(4)xR，使x210(a0，a1)恒成立，命题(1)是真命题(2)存在x10，x2，x10，命题(4)是假命题20(本小题满分12分)先阅读下面结论的证明，再解决后面的问题：已知a1，a2R，a1a21，求证：aa.证明：构造函数f(x)(xa1)2(xa2)2，f(x)2x22(a1a2)xaa2x22xaa.因为对一切xR，恒有f(x)0，所以48(aa)0，从而aa.(1)若a1，a2，a3，anR，a1a2an1，试写出上述结论的推广式；(2)参考上述证法，对你推广的结论加以证明解析设(1)若a1，a2，a3，anR，a1a2an1，求证：aaa.(2)证明：构造函数f(x)(xa1)2(xa2)2(xan)2nx22(a1a2an)xaaanx22xaaa，对一切xR恒有f(x)0.44n(aaa)0，aaa.21(本小题满分12分)设函数f(x)(x1)ln(x1)，若对所有的x0，都有f(x)ax成立，求实数a的取值范围解析令g(x)(x1)ln(x1)ax，则g(x)ln(x1)1a，令g(x)0，解得xea11.(1)当a1时，对所有x0，g(x)0.所以g(x)在0，)上是增函数又g(0)0，所以对x0，有g(x)g(0)，即当a1时，对于所有x0，都有f(x)ax.(2)当a1时，对于0xea11，g(x)0，所以g(x)在(0，ea11)上是减函数又g(0)0，所以对0xea11，有g(x)g(0)，即f(x)1时，不是对所有的x0，都有f(x)ax成立综上所述a的取值范围是(，122(本小题满分14分)(文)在数列an中，a11，an11，bn，其中nN*.(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求证：在数列an中，对于任意的nN*都有an1an；(3)设cn()bn，试问数列cn中是否存在三项，它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，请说明理由解析(1)因为bn1bn2(nN*)所以数列bn是等差数列(2)要证明an1an，只要证an1an0.a11，b12，bn2(n1)22n.bn，an，an1an0，在数列an中对于任意的nN*，都有an1an.(3)cn()bn2n，设cn中存在三项cm，cn，cp(mnp，m，n，pN*)成等差数列，则22n2m2p，2n12m2p,2nm112pm，mnp，m，n，pN*，nm1，pmN*，2nm1为偶数，12pm为奇数，2nm1与12pm不可能相等，数列cn中不存在可以构成等差数列的三项(理)已知(x1)na0a1(x1)a2(x1)2a3(x1)3