高考数学 第十六章 第二节 不等式的证明方法、数学归纳法与不等式课件 理 苏教版.ppt

第二节不等式的证明方法 数学归纳法与不等式 1 不等式的证明方法 1 比较法 作差比较法知道a b a b 0 ab 即证 作商比较法由a b 0 因此当a 0 b 0时 欲证a b 即证 a b 0 2 综合法与分析法综合法就是从 出发 利用不等式的性质或定理 经过推理论证 最终推导出所要证明的不等式成立 即 分析法就是从 出发 逐步寻找使它成立的充分条件 直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式 已知条件 定理等 即 已知条件 由因导 果 待证不等式 执果索因 3 反证法反证法就是假设原命题不成立 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明假设 从而证明了原命题 其步骤为 第一步作出与所证不等式相反的假设 第二步从条件和假设出发 应用正确的推理方法 推出矛盾的结论 否定假设 从而证明原不等式成立 错误 正确 4 放缩法在证明不等式时 有时要把所证不等式的一边适当地 以利于化简 并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显 从而得出原不等式成立 这种方法称为放缩法 放大或缩 小 2 数学归纳法数学归纳法两大步骤 1 归纳奠基 证明当n取 时命题成立 2 归纳递推 假设n k k n0 k n 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 第一个值n0 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 用作商比较法 由一定能推出a b 2 分析法证明是从结论出发 寻找使它成立的充要条件 3 用反证法证明时 推出的矛盾可以与已知条件相矛盾 4 用放缩法证明时 可以任意放大或缩小 5 在数学归纳法中 n0 1 解析 1 错误 若不一定能推出a b 这和a b两数的符号有关 如a 2 b 1 2 错误 寻找使结论成立的充分条件 3 正确 可以和已知条件相矛盾 4 错误 放缩时 必须适当 过大或过小都不利于证明 都有可能导致不能证明结论 5 错误 第一个值n0不一定是1 答案 1 2 3 4 5 考向1应用比较法证明不等式 典例1 1 设x 1 y 1 证明 2 1 a b c 证明 思路点拨 欲证第 1 题不等式成立 只需判断左右两式之差的正负性 观察第 2 题的特征 通过换底公式化归为 1 的形式 根据第 1 题的结论证之 规范解答 1 由x 1 y 1得从而成立 2 当1 a b c时 记则于是由 1 得证 拓展提升 比较法证明的注意点 1 比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法 作差后需要判断差的符号 作差变形的方向常常是因式分解后把差写成积的形式或配成完全平方式 2 作商比较法要注意使用条件 若不能推出a b 这里要注意a b两数的符号 变式训练 设a b是非负实数 求证 证明 方法一 因为实数a b 0 则所以上式 0 即有 方法二 由a b是非负实数 作差得当a b时得当a b时 得所以 考向2分析法 综合法与放缩法 典例2 已知a 1 n 2 n n 求证 思路点拨 观察本题特征 通过乘方运算 将其化归为不含有根式的不等式 证之 规范解答 欲证即证令a 1 t 0 则a t 1 也就是证 即成立 拓展提升 1 分析法的应用条件及证明思路当欲证的不等式中含有分式或根式时 通常利用分析法 通过去分母或乘方运算 进行恒等变形 化归为整式不等式 再利用综合法证之 2 综合法和分析法的应用在证明不等式的过程中 分析法和综合法常常结合使用 如果使用综合法难以入手时 常用分析法探索证题途径 之后用综合法写出证明过程 3 放缩法的应用从本题证明过程可知 中间步骤利用了放缩法 对于展开式 可通过舍去其中的若干项达到缩小的目的 或增加若干项达到放大的目的 对于值为正数的分式 通过对分母的放大或缩小达到缩小或放大的目的 变式训练 当n 3 n n时 求证 证明 2n 2 n 1 考向3反证法 典例3 2012 江苏高考 已知各项均为正数的两个数列 an 和 bn 满足 1 设n n 求证 数列是等差数列 2 设n n 且 an 是等比数列 求a1和b1的值 思路点拨 1 根据等差数列的定义证之即可 2 从基本不等式猜想两数列的首项为 再证其为常数列 利用反证法证公比q只能为1 即证q不可能大于1 也不可能小于1 规范解答 1 由条件得代入n n 得从而故所以数列是等差数列 2 因n n 故由基本不等式得因 an 是等比数列 设其公比为q 0 下面证q 1 若q 1 则从而当时 an 1 a1qn 与上面结论矛盾 若q 1 则从而当时 an 1 a1qn 1 与上面结论矛盾 故q 1 故an a1 从而再由n n 得知bn也是一个确定的常数 即数列 bn 是常数列 从而代入得 拓展提升 1 反证法的证明思路反证法的基本思想是 否定结论就会导致矛盾 它可以用下面的程序来表示 否定 推理 矛盾 肯定 否定 假设所要证明的结论不成立 而结论的反面成立 推理 从已知条件和假设出发 应用一系列的论据进行推理 矛盾 通过正确推导 推出与实际 需要 不符 与 公理 矛盾 与 已知定理 矛盾 与 定义 矛盾 与 题设 矛盾 自相矛盾等 肯定 由于推理过程正确 故矛盾是由假设所引起的 因此 假设是错误的 从而肯定结论是正确的 2 宜用反证法证明的题型 1 易导出与已知矛盾的命题 2 一些基本定理 3 否定性 命题 4 惟一性 命题 5 必然性 命题 6 至少 至多 命题等 3 反证法的注意事项应用反证法证明命题时 反设必须恰当 如 都是 的否定是 不都是 至少一个 的否定是 不存在 等 变式训练 证明 不是周期函数 证明 假设是周期函数 则有常数t t 0 使得对任意x有 上式中 令x 0 则有 2m m为整数 m 0 在 中令x t 有 n为整数 n 0 可得而是无理数 是有理数 两者不可能相等 故假设不成立 因此不是周期函数 考向4数学归纳法 典例4 2012 湖北高考 1 已知函数f x rx xr 1 r x 0 其中r为有理数 且0 r 1 求f x 的最小值 2 试用 1 的结果证明如下命题 设a1 0 a2 0 b1 b2为正有理数 若b1 b2 1 则 3 请将 2 中的命题推广到一般形式 并用数学归纳法证明你所推广的命题 注 当 为正有理数时 有求导公式 x x 1 思路点拨 利用导数意义求函数f x 的最小值 从而得到一个不等式xr rx 1 r 并由此证明第 2 3 问 其中第 3 问利用数学归纳法证之 关键是如何构造一个与 1 中结论相同的表达式 规范解答 1 f x r rxr 1 r 1 xr 1 令f x 0 解得x 1 当0 x 1时 f x 0 所以f x 在 0 1 上是减函数 当x 1时 f x 0 所以f x 在 1 上是增函数 故函数f x 在x 1处取得最小值f 1 0 2 由 1 知 当x 0 时 有f x f 1 0 即xr rx 1 r 若a1 a2中有一个为0 则成立 若a1 a2均不为0 又b1 b2 1 可得b2 1 b1 于是在 中令可得化简得即综上 对a1 0 a2 0 b1 b2为正有理数且b1 b2 1 总有 3 2 中命题的推广形式为 若a1 a2 an为非负实数 b1 b2 bn为正有理数 若b1 b2 bn 1 则 用数学归纳法证明如下 当n 1时 b1 1 有a1 a1 成立 假设当n k时 成立 即若a1 a2 ak为非负实数 b1 b2 bk为正有理数 且b1 b2 bk 1 则当n k 1时 已知a1 a2 ak ak 1为非负实数 b1 b2 bk bk 1为正有理数 且b1 b2 bk bk 1 1 此时0 bk 1 1 即1 bk 1 0 于是因故由上式可得 从而而 1 bk 1 bk 1 1 故由 得故当n k 1时 成立 由 可知 对一切正整数n 所推广的命题成立 拓展提升 数学归纳法的关注点 1 数学归纳法是一种证明与正整数n有关的命题的重要方法 它的独到之处便是运用有限个步骤就能证明无限多个对象 而实现这一目的的工具就是递推思想 2 用数学归纳法证明不等式的关键是第二步 因为第二步在归纳假设的基础上又构成了一个新的命题 这时要用到不等式证明的基本方法 变式训练 已知函数 1 求函数h x f x g x 的零点个数 并说明理由 2 设数列 an n n 满足a1 a a 0 f an 1 g an 证明 存在常数m 使得对于任意的n n 都有an m 解析 1 由知 x 0 而h 0 0 且h 1 10 则0为h x 的一个零点 且h x 在 1 2 内有零点 因此h x 至少有两个零点 则当x 0 时 x 0 因此 x 在 0 上单调递增 则 x 在 0 内至多只有一个零点 因此h x 在 0 内也至多只有一个零点 综上所述 h x 有且只有两个零点 2 记h x 的正零点为x0 即 当a x0时 由a1 a 即a1 x0 而因此a2 x0 由此猜测 an x0 下面用数学归纳法证明 当n 1时 a1 x0显然成立 假设当n k k 1 k n 时 有ak x0成立 则当n k 1时 由知 ak 1 x0 因此 当n k 1时 ak 1 x0成立 故对任意的n n an x0成立 当a x0时 易证h x 在 x0 上单调递增 则h a h x0 0 即从而即a2 a 由此猜测 an a 下面用数学归纳法证明 当n 1时 a1 a显然成立 假设当n k k 1 时 有ak a成立 则当n k 1时 由知 ak 1 a 因此 当n k 1时 ak 1 a成立 故对任意的n n an a成立 综上所述 存在常数m max x0 a 使得对于任意的n n 都有an m 1 已知a b x y均为正数且求证 证明 又且a b均为正数 b a 0 又x y 0 2 2013 盐城模拟 已知x y z均为正数 求证 证明 因为x y z均为正数 所以同理可得当且仅当x y z时 以上三式等号都成立 将上述三个不等式两边分别相加 并除以2 得 3 设a b c均为正数 且a b c 求证 证明 a b c均为正数 4 设n n 求证 证明 由可知从而得 5 已知a b c均为正数 且a b c 1 求证 1 a 1 b 1 c 8 1 a 1 b 1 c 证明 因为a b c均为正数 且a b c 1 所以要证原不等式成立 即证 a b c a a b c b a b c c 8 a b c a a b c b a b c c 也就是证 a b c a a b b c c a b c 8 b c c a a b 因为 a b b c b c c a c a a b 三式相乘得 式成立 故原不等式得证 6 1 设a1 a2 a3均为正数 且a1 a2 a3 m 求证 2 已知a b都是正数 x y r 且a b 1 求证 ax2 by2 ax by 2 证明 1 当且仅当时 等号成立 2 ax2 by2 ax2 by2 a b a2x2 b2y2 ab x2 y2 a2x2 b2y2 2abxy ax by 2 7 设0 a b c 1 求证 1 a b 1 b c 1 c a 不可能同时大于 证明 假设 1 a b 1 b c 1 c a 则三式相乘 1 a b 1 b c 1 c a 又 0 a b c 1 同理 1 b b 1 c c 以上三式相乘 1 a a 1 b b 1 c c 与 矛盾 1 a b 1 b c 1 c a不可能同时大于 8 已知n n 试比较的大小 并