高考数学 第八章 第十节 圆锥曲线的综合问题课件 理 新人教A版.ppt

第十节圆锥曲线的综合问题 考向1圆锥曲线中的定点问题 典例1 2012 福建高考 如图 等边三角形oab的边长为且其三个顶点均在抛物线e x2 2py p 0 上 1 求抛物线e的方程 2 设动直线l与抛物线e相切于点p 与直线y 1相交于点q 证明以pq为直径的圆恒过y轴上某定点 思路点拨 1 利用等边三角形边长为及抛物线的性质确定出点b的坐标 从而用待定系数法求出p 2 设出p点坐标 建立直线l的方程 与y 1联立求得q点坐标 再设以pq为直径的圆恒过y轴上的点m 0 y1 根据 0恒成立 求出y1为常数得证 或对p点坐标取特殊值 先研究出以pq为直径的圆与y轴交于的定点 再证明与变量无关 规范解答 1 依题意 ob boy 30 设b x y 则x ob sin30 y ob cos30 12 所以b 12 因为点b在x2 2py上 所以 2 2p 12 解得p 2 故抛物线e的方程为x2 4y 2 由 1 知y x2 y x 设p x0 y0 x0 0 且l的方程为y y0 x0 x x0 即y x0 x 由得所以q 1 方法一 设以pq为直径的圆与y轴的一个交点为m 0 y1 令 0对满足y0 x0 0 的x0 y0恒成立 由 x0 y0 y1 1 y1 得 y0 y0y1 y1 0 即 y1 2 1 y1 y0 0 由于 式对满足y0 x0 0 的y0恒成立 所以解得y1 1 故以pq为直径的圆恒过y轴上的定点m 0 1 方法二 取x0 2 此时p 2 1 q 0 1 以pq为直径的圆为 x 1 2 y2 2 交y轴于点m1 0 1 或m2 0 1 取x0 1 此时p 1 q 1 以pq为直径的圆为 x 2 y 2 交y轴于m3 0 1 或m4 0 故若满足条件的m存在 是m 0 1 以下证明点m 0 1 就是所要求的点 因为 x0 y0 1 2 2y0 2 2y0 2 2y0 2 0 故以pq为直径的圆恒过y轴上的定点m 0 1 拓展提升 圆锥曲线中定点问题的两种解法 1 引进参数法 引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量 再研究变化的量与参数何时没有关系 找到定点 2 特殊到一般法 根据动点或动线的特殊情况探索出定点 再证明该定点与变量无关 变式训练 2013 天津模拟 在平面直角坐标系中 已知向量a x y b x ky 4 k r a b 动点p x y 的轨迹为t 1 求轨迹t的方程 并说明该方程表示的曲线的形状 2 当k 0时 过点f 0 1 作轨迹t的两条互相垂直的弦ab cd 设ab cd的中点分别为m n 试判断直线mn是否过定点 并说明理由 解析 1 a b a b x y x ky 4 0 得x2 ky2 4y 0 当k 0时 方程为x2 4y表示抛物线 当k 1时 方程表示以 0 2 为圆心 2为半径的圆 当k 0且k 1时 方程表示椭圆 当k 0时 方程表示焦点在x轴上的双曲线 2 当k 0时 轨迹t的方程为x2 4y 设a xa ya b xb yb m xm ym n xn yn 由题意设直线ab的方程为y k1x 1 联立x2 4y有 x2 4k1x 4 0 xm 2k1 ym k1xm 1 2 1 点m的坐标为 2k1 2 1 同理可得 点n的坐标为 1 直线mn的斜率为kmn 其方程为y 2 1 x 2k1 整理得k1 y 3 1 x 显然 不论k1为何值 点 0 3 均满足方程 直线mn恒过定点 0 3 考向2圆锥曲线中的定值问题 典例2 2013 北京模拟 已知椭圆 1 a b 0 的左焦点f1 1 0 长轴长与短轴长的比是2 1 求椭圆的方程 2 过f1作两直线m n交椭圆于a b c d四点 若m n 求证 为定值 思路点拨 1 根据左焦点坐标 长轴长与短轴长的比以及椭圆的性质 列方程组求出a b可得结果 2 设出直线m的方程 联立直线与椭圆的方程 利用弦长公式 求出 ab 根据m与n的关系 得到 cd 代入化简求解 注意直线m的斜率要分类讨论 规范解答 1 由已知得解得a 2 b 故所求椭圆方程为 2 当直线m斜率存在时 设直线m的方程为 y k x 1 k 0 由得 3 4k2 x2 8k2x 4k2 12 0 由于 0 设a x1 y1 b x2 y2 则有x1 x2 x1x2 ab 同理 cd 所以 当直线m斜率不存在时 此时 ab 3 cd 4 综上 为定值 拓展提升 圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法 1 特点 待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值 2 两大解法 从特殊入手 求出定值 再证明这个值与变量无关 引进变量法 其解题流程为 变式训练 2013 成都模拟 已知椭圆c 1 a b 0 的右焦点为f 1 0 且点 1 在椭圆c上 1 求椭圆c的标准方程 2 已知点q 0 动直线l过点f 且直线l与椭圆c交于a b两点 证明 为定值 解析 1 由题意知 c 1 根据椭圆的定义得 2a 即a 所以b2 2 1 1 所以椭圆c的标准方程为 1 2 当直线l的斜率为0时 a 0 b 0 则 0 0 当直线l的斜率不为0时 设直线l的方程为 x ty 1 a x1 y1 b x2 y2 由可得 t2 2 y2 2ty 1 0 显然 0 所以因为x1 ty1 1 x2 ty2 1 所以 x1 y1 x2 y2 ty1 ty2 y1y2 t2 1 y1y2 t y1 y2 t2 1 t 即 综上所述 考向3圆锥曲线中的最值与取值范围问题 典例3 1 2013 潮州模拟 存在两条直线x m与双曲线 1 a 0 b 0 相交于四点a b c d 且四边形abcd为正方形 则双曲线的离心率的取值范围为 2 2012 山东高考 在平面直角坐标系xoy中 f是抛物线c x2 2py p 0 的焦点 m是抛物线c上位于第一象限内的任意一点 过m f o三点的圆的圆心为q 点q到抛物线c的准线的距离为 求抛物线c的方程 是否存在点m 使得直线mq与抛物线c相切于点m 若存在 求出点m的坐标 若不存在 说明理由 若点m的横坐标为直线l y kx 与抛物线c有两个不同的交点a b l与圆q有两个不同的交点d e 求当 k 2时 ab 2 de 2的最小值 思路点拨 1 由四边形abcd为正方形可得渐近线斜率的绝对值大于1 进而可得a b的关系后求解 2 利用抛物线定义及三角形的外接圆圆心在三边的垂直平分线上构建p的方程求解 利用斜率与导数相等求解 分别利用弦长公式求出 ab 2与 de 2 再利用导数求 ab 2 de 2的最小值 规范解答 1 由题意得 若四边形abcd为正方形 则双曲线的渐近线的斜率必满足 k 1 即 1 b a 所以双曲线的离心率为e 故双曲线的离心率的取值范围为e 答案 2 由f是抛物线c x2 2py p 0 的焦点 点f的坐标为 0 抛物线的准线为y 过m f o三点的圆的圆心为q 则圆心q在线段of的垂直平分线y 上 所以 所以p 1 所以抛物线c的方程为x2 2y 假设存在这样的点m 设点m的坐标为 x0 y0 x0 0 y0 0 焦点f的坐标为 0 所以线段mo的中点坐标为 圆心q在mo的垂直平分线上 因为kmo 所以mo的垂直平分线方程为y x 圆心q在线段of的垂直平分线y 上 解得点q坐标为 所以kmq 直线mq与抛物线c相切于点m 抛物线y 的导数为y x 过点m的切线斜率为kmq 整理得2 y0 1 0 解得 y0 1或y0 舍去 所以x0 所以点m的坐标为 1 点m的横坐标为由 知圆心q 半径r2 2 2 圆心q 到直线l y kx 的距离为 d de 2 联立消去y可得 x2 2kx 0 设a x1 y1 b x2 y2 ab 2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 k2 4k2 2 于是 ab 2 de 2 1 k2 4k2 2 令1 k2 t 5 ab 2 de 2 1 k2 4k2 2 t 4t 2 4t2 2t 设g t 4t2 2t g t 8t 2 当t 5 时 g t 8t 2 0恒成立 所以当t 即k 时 g t min 4 2 故当k 时 ab 2 de 2 min 互动探究 本例 2 中条件不变 求 ab 2 de 2的取值范围 解析 在例 2 中已解出 ab 2 de 2的最小值为由例 2 解题过程可知 设1 k2 t 5 g t ab 2 de 2 4t2 2t g t 8t 2 当t 5 时 g t 8t 2 0恒成立 当t 5 即k 2时 g t max 4 52 2 5 综上可得 ab 2 de 2的取值范围为 拓展提升 1 解决圆锥曲线中的取值范围问题的五种常用解法 1 利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系 从而确定参数的取值范围 2 利用已知参数的范围 求新参数的范围 解这类问题的核心是建立两个参数之间等量关系 3 利用隐含的不等关系建立不等式 从而求出参数的取值范围 4 利用已知的不等关系构造不等式 从而求出参数的取值范围 5 利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数 求其值域 从而确定参数的取值范围 2 圆锥曲线中常见最值问题及解题方法 1 两类最值问题 涉及距离 面积的最值以及与之相关的一些问题 求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题 2 两种常见解法 几何法 若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义 则考虑利用图形性质来解决 代数法 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系 则可先建立起目标函数 再求这个函数的最值 最值常用基本不等式法 配方法及导数法求解 提醒 求最值问题时 一定要注意对特殊情况的讨论 如直线斜率不存在的情况 二次三项式最高次项的系数的讨论等 变式备选 1 已知双曲线 1 a 0 b 0 的左 右焦点分别为f1 f2 点p在双曲线的右支上 且 pf1 4 pf2 则此双曲线的离心率e的取值范围是 解析 由题意结合双曲线的定义得 pf1 pf2 2a 设 pf2 r 则 pf1 4r 故3r 2a 即r pf2 根据双曲线的几何性质 pf2 c a 即 c a 即即e 又e 1 故双曲线的离心率e的取值范围是 1 答案 1 2 2013 重庆模拟 如图 已知半椭圆c1 1 a 1 x 0 的离心率为曲线c2是以半椭圆c1的短轴为直径的圆在y轴右侧的部分 点p x0 y0 是曲线c2上的任意一点 过点p且与曲线c2相切的直线l与半椭圆c1交于两个不同点a b 求a的值及直线l的方程 用x0 y0表示 oab的面积是否存在最大值 若存在 求出最大值 若不存在 说明理由 解析 由题意知b 1 e 所以a2 4 a 2 故半椭圆c1的方程为 1 x 0 曲线c2的方程为x2 y2 1 x 0 如果x0 0且y0 0 则直线op的斜率为从而过点p的圆的切线l的斜率为因此 所求直线l的方程为y y0 x x0 化简 得x0 x y0y 而 1 所以 直线l的方程为x0 x y0y 1 如果x0 0或y0 0 当x0 0时 直线l与半椭圆只有一个交点 不满足题意 当y0 0时 可以验证切线的方程也可以表示为x0 x y0y 1 所以 所求直线l的方程为x0 x y0y 1 x0 0 当y0 0时 由得 因为点p x0 y0 在c2 x2 y2 1 x 0 上 所以 1 所以 式即为 3 1 x2 8x0 x 4 0 设a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2 x1x2 因为原点o到直线l的距离等于1 x0 0 所以 oab的面积s 1 x1 x2 1 当且仅当3x0 即x0 x0 舍去 时 oab的面积存在最大值 且最大面积等于1 ii 当y0 0时 直线l x轴 ab 此时 oab的面积s 1 1 综上 oab的面积存在最大值 且最大面积等于1 满分指导 解答圆锥曲线的综合问题 典例 12分 2012 江苏高考 在平面直角坐标系xoy中 椭圆 1 a b 0 的左 右焦点分别为f1 c 0 f2 c 0 已知 1 e 和 e 都在椭圆上 其中e为椭圆的离心率 1 求椭圆的方程 2 设a b是椭圆上位于x轴上方的两点 且直线af1与直线bf2平行 af2与bf1交于点p 若 af1 bf2 求直线af1的斜率 求证 pf1 pf2 是定值 思路点拨 规范解答 1 由题设知 a2 b2 c2 e 由点 1 e 在椭圆上 得 1 1 b2 c2 a2b2 a2 a2b2 b2 1 c2 a2 1 2分由点 e 在椭圆上 得 1 1 1 a4 4a2 4 0 a2 2 椭圆的方程为 1 4分 2 由 1 得f1 1 0 f2 1 0 又 af1 bf2 设af1 bf2的方程分别为my x 1 my x 1 a x1 y1 b x2 y2 y1 0 y2 0 m2 2 2my1 1 0 y1 y1 0 舍去 af1 同理 bf2 6分 af1 bf2 解 得m2 2 注意到m 0 m 直线af1的斜率为 7分 af1 bf2 即 1 1 pf1 bf1 由点b在椭圆上知 bf1 bf2 pf1 bf2 9分同理 pf2 af1 pf1 pf2 bf2 af1 10分 af1 bf2 af1 bf2 pf1 pf2 pf1 pf2 是定值 12分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2013 昆明模拟 过点p 3 0 的直线l与双曲线 1交于点a b 设直线l的斜率为k1 k1 0 弦ab的中点为m om的斜率为k2 o为坐标原点 则k1 k2 a b c d 16 解析 选a 从特殊值入手 取k1 1 则直线l的方程为y x 3 与 1联立消去y得 7x2 96x 288 0 设a x1 y1 b x2 y2 x1 x2 又y1 x1 3 y2 x2 3 y1 y2 x1 x2 6 6 k2 k1 k2 2 2013 深圳模拟 已知抛物线方程为y2 16x 动直线l与抛物线交于p q两点 若 poq 则动直线l经过x轴上定点m的坐标为 解析 设x轴上的定点m的坐标为 a 0 a 0 设过点m 斜率为k k 0 的直线方程为 y k x a 由 k2x2 2 ak2 8 x a2k2 0 设p x1 y1 q x2 y2 由 poq 得x1x2 y1y2 0 即x1x2 k x1 a k x2 a 0 1 k2 x1x2 ak2 x1 x2 a2k2 0 又由 得x1 x2 x1x2 a2 故有 1 k2 a2 ak2 a2k2 0 a2 16a 0 a 0 a 16 显然 过点m而斜率不存在的直线也满足题意 故存在定点m 16 0 答案 16 0 3 2013 江门模拟 设f是椭圆 1的右焦点 且椭圆上至少有21个不同的点pi i 1 2 3 使 fp1 fp2 fp3 组成公差为d的等差数列 则d的取值范围为 解析 若公差d 0 则 fp1 最小 fp1 数列中的最大项为并设为第n项 则 n 1 d n 1 21 d 注意到d 0 得0 d 若d 0 易得 d 0 那么 d的取值范围为 0 0 答案 0 0 4 2012 浙江高考 如图 椭圆c 1 a b 0 的离心率为其左焦点到点p 2 1 的距离为不过原点o的直线l与c相交于a b两点 且线段ab被直线op平分 1 求椭圆c的方程 2 求 apb面积取最大值时直线l的方程 解析 1 左焦点 c 0 到点p 2 1 的距离为解得c 1 又离心率为可得a2 4 所以b2 3 所以椭圆c的方程为 1 2 由题意可知 直线l不垂直于x轴 故可设直线l y kx m m 0 交点a x1 y1 b x2 y2 由消去y并整理得 4k2 3 x2 8kmx 4m2 12 0 x1 x2 x1x2 ab的中点为 而直线op y x 可得 解得k 即直线l y x m ab 而点p 2 1 到直线l y x m的距离为d apb面积为 ab d 8 2m 其中m 0 0 令f m 12 m2 4 m 2 m 0 0 则f m 4 m2 2m 6 4 m 4 m 1 m 1 4 m 所以当且仅当m 1 时 f m 取得最大值 即s取得最大值 此时直线l 1 如图 在平面直角坐标系xoy中 设点f 0 p p 0 直线l y p 点p在直线l上移动 r是线段pf与x轴的交点 过r p分别作直线l1 l2 使l1 pf l2 l l1 l2 q 1 求动点q的轨迹c的方程 2 在直线l上任取一点m作曲线c的两条切线 设切点为a b 求证 直线ab恒过一定点 解析 1 依题意知 点r是线段pf的中点 且rq pf rq是线段pf的垂直平分线 pq qf 故动点q的轨迹c是以f为焦点 l为准线的抛物线 其方程为 x2 4py p 0 2 设m m p 两切