第二类曲面积分方向的判别方法.doc

一类第二类曲面积分侧的确定萧萧落木623摘要：本文针对第二类曲面积分侧的确定这一难点展开讨论，处理的一类题型是当给定曲面的上或下侧时，如何简单地确定积分的前后或者左右侧. 文中通过对一般第二类曲面积分的分析，应用法向量以及第一类与第二类曲面积分间联系的理论知识，得出了确定积分侧普遍适用的结论. 再对具有特殊结构的曲面和被积函数进行分析，得到了更为简便的结论.关键词：第二类曲面积分；侧；法向量.一、问题的提出与分析1. 问题提出.计算第二类曲面积分时，侧的确定是关键因素. 题目中一般不会直接给出相对于坐标轴确定的一侧，大多数情况下，仅仅会说明相对于整个曲面而言的侧.例如，积分沿着球面外侧.再如，所求积分的形式为=，沿着曲面的上侧. 显然求该积分I，要确定的是相对于轴曲面的前后侧. 因此，就需要将给定的上侧转化为曲面的前或后侧.本文所研究的问题是针对以上的第二类情形，简化第二类曲面积分侧的转化过程，从而简化积分I的计算.2. 分析问题.(1) 研究对象.为了确定曲面的侧，首要的研究对象是曲面；同时，简化侧的确定过程目的就是为了简化积分的计算，这里还要对被积函数进行分析与讨论.(2) 与该问题相关的知识及理论.曲面上点的切面的法向量；第一类曲面积分与第二类曲面积分之间的联系.2、 定义取正时，表示积分沿着曲面的上侧；取负时，表示积分沿着曲面的下侧. 同理，可定义、取正或者负时所代表的意义.三、问题的解决 这里仅对问题提出中所论及的情形进行讨论和研究，对于第二类曲面积分的分析与此相同.以下将对曲面的一般形式和参数方程形式进行分类讨论.1. 曲面的方程为.根据第一类曲面积分与第二类曲面积分之间的联系，有如下等式 ： = ，=cos为曲面取上侧时点的切面的单位法向量，容易得出，cos0.再对该等式变换后，可得 =.通过曲面方程知，单位法向量=. 当积分沿着曲面取上侧时，则cos=，cos=. 因此，=. 故=.由定义，.综上，可以得出结论：在、同号的区域内，积分沿曲面取前侧；在、异号的区域内，积分沿曲面取后侧.2. 曲面的方程为参数方程 设曲面的参数方程为 ，令=cos为曲面取上侧时点的切面的单位法向量，cos0. 则=.=.若，有 =，则=，即时取前侧，时取后侧；若，有=，则，即时取后侧，时取前侧. 综上，可以得出结论：在A、C同号的区域内，积分沿着曲面取前侧；在A、C异号的区域内，积分沿着曲面取后侧.4、 特殊条件下的相应结论 在问题的解决中所得出的结论比较宽泛，而针对一些有特殊结构特点第二类曲面积分，则可以得出更为有用的结论.1. (1) 显然，在曲面内，若、始终同号，则积分沿曲面取前侧；若、始终异号，则积分沿曲面取后侧； (2) 曲面满足：在区域内，、同号（异号），在区域内，、异号（同号），若是关于的奇函数，即，则积分始终沿着曲面取前侧.( ，. =.所以，.)例1 . I=，S为,的上半表面的上侧. 试确定I关于y轴的侧.解：，. 时，同号；时，异号. 且被积函数是关于的奇函数， 因此，积分I沿着曲面取右侧.2. (1) 显然，在曲面内，若始终同号，则积分沿曲面取前侧；若始终异号，则积分沿曲面取后侧； (2) 曲面满足：在区域内，同号（异号），在区内，异号（同号），若是关于的奇函数，即，则积分始终沿着曲面取前侧.( . =，所以，.)例2 . I=，S是球面： ，且积分沿着球面前侧.试确定积分上下侧.解：，时，；当.且被积函数z是关于z 的奇函数，因此，积分沿着球面取上侧.5、 结束语本文对第二类曲面积分侧的确定过程的思路清晰. 先分析了所要解决的问题，利用基础理论知识给出了较为一般的结论，再由一般情形过渡到曲面即被积函数具有特殊结构的积分，得到更为方便应用的结论.但是，也有不足. 在分析特殊结构的积分时，仅考虑了两种情形，其它情形的结论还有待于进一步