高中数学第一章立体几何初步7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积学案北师大版.docx

7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积学习目标1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式及公式之间的联系2.会运用柱体、锥体、台体的体积公式进行有关体积的计算.【主干自填】柱、锥、台的体积公式几何体公式说明柱体V柱体ShS为柱体的底面积h为柱体的高锥体V锥体ShS为锥体的底面积h为锥体的高台体V台体(S上S下)hS上，S下分别为台体的上、下底面面积，h为台体的高【即时小测】1思考下列问题(1)仿照侧面积公式，你能用底面半径和高来表示圆柱、圆锥和圆台的体积公式吗？提示：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是：V圆柱r2h.如果圆锥的底面半径是r，高是h，那么它的体积是：V圆锥r2h.如果圆台上、下底面半径分别是r、r，高是h，那么它的体积是：V圆台h(r2rrr2)(2)柱、锥、台体的体积公式之间有什么关系吗？提示：其中S上，S下分别为台体的上、下底面面积，h为高，S为柱体或锥体的底面面积2正方体的表面积为96，则正方体的体积是()A48 B64 C16 D96提示：B设正方体棱长为a则6a296，a4，V正方体a364.3圆锥的高扩大为原来的n倍，底面半径缩小为原来的，那么它的体积变为原来的_倍()A1 Bn Cn2 D.提示：D由锥体的体积公式Vr2h，可知锥体的体积与高成正比，与底面半径的平方成正比4长方体三个面的面积分别为2,6和9，则长方体的体积是()A6 B3 C11 D12提示：A设长方体长、宽、高分别为a，b，c，不妨令ab2，ac6，bc9，相乘得(abc)2108，Vabc6.例1如图(1)是一个水平放置的正三棱柱ABCA1B1C1，D是棱BC的中点正三棱柱的主视图如图(2)求正三棱柱ABCA1B1C1的体积解由三视图可知：在正三棱柱中，AD，AA13，从而在底面即等边ABC中，AB2，所以正三棱柱的体积VShBCADAA1233.类题通法求柱体体积的方法规律求柱体的体积关键是求其底面积和高，底面积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形及四边形，高考常与侧棱、斜高及其在底面的投影组成直角三角形，进而求解(1)圆柱的底面积是S，侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的体积是_(2)如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，则A到平面A1BD的距离d_.答案(1)2S(2)a解析(1)设圆柱的底面半径为r，则Sr2，r，则圆柱的母线长l2r2，即圆柱的高h2，V圆柱Sh2S.(2)在三棱锥A1ABD中，AA1平面ABD，ABADAA1a，A1BBDA1Da，VV，a2aaad.da.例2一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为，求这个三棱锥体积解如图所示，正三棱锥SABC.设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AHBC.ABC是边长为6的正三角形，AE63.AHAE2.在ABC中，SABCBCAE639.在RtSHA中，SA，AH2，SH.V正三棱锥SABCSH99.类题通法求锥体体积常用的方法求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式VSh进行计算即可，常用方法为割补法和等积变换法(1)割补法：求一个组合体的体积可以将这个组合体分割成几个柱体、锥体(或补成一个柱体或锥体)，求出柱体和锥体的体积，从而得出几何体的体积(2)等积变换法：三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面求体积时，可选择容易计算的方法来计算如图，棱锥的底面ABCD是一个矩形，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高若VM4 cm，AB4 cm，VC5 cm，求锥体的体积解VM是棱锥的高，VMMC.在RtVMC中，MC3(cm)，AC2MC6(cm)在RtABC中，BC2(cm)S底ABBC428(cm2)，V锥S底h84(cm3)棱锥的体积为cm3.例3圆台上底的面积为16 cm2，下底半径为6 cm，母线长为10 cm，那么，圆台的侧面积和体积各是多少？解首先，圆台的上底的半径为4 cm，于是S圆台侧(rr)l100(cm2)其次，如图，圆台的高hBC4(cm)，所以V圆台h(SS)4(1636)(cm3)类题通法台体体积常见解题方法台体的体积计算公式是V(S 上S下)h，其中S上，S下分别表示台体的上、下底面面积，这一公式较为复杂，要求记准计算体积的关键是求出上、下底面面积及高，求解相关量时，应充分利用台体中的直角梯形、直角三角形另外，台体的体积还可以通过两个锥体的体积差来计算某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是()A4 B. C. D6答案B解析由四棱台的三视图可知，此棱台的上底面积S1111，下底面积S2224，高h2，代入台体的体积公式V(S1S2)h(14)2.易错点割补法运用不熟练导致无法解答典例如图所示，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别是棱AA1和CC1的中点，求四棱锥A1EBFD1的体积错解EBBFFD1D1Ea，且EBFD1，ED1BF，四边形EBFD1为菱形，连接BD1, 则S菱形EBFD1EFBD1aaa2，但锥体的高无法求解，所以体积不可求错因分析不能利用等体积转化法求解不便直接求解几何体的体积正解EBBFFD1D1Ea，且EBFD1，ED1BF，四边形EBFD1为菱形又EFBEFD1，且三棱锥A1EFB和A1EFD1等高，VV，V2V2V.而Sa，F到面EA1B的距离为a，Va，V.课堂小结1.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V柱体ShV台体h(SS)V锥体Sh.2.对于多面体的体积问题往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，因此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用.3.有关旋转体的体积计算要充分利用其轴截面，将已知条件尽量归结到轴截面中求解，分析题中给出的数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体积公式进行运算、解答.1如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4，那么圆柱的体积等于()A B2 C4 D8答案B解析设圆柱的底面半径为r，则圆柱的母线长为2r，由题意得S圆柱侧2r2r4r24，所以r1，所以V圆柱r22r2r32.2已知一个正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为()A6 B. C2 D2答案B解析因为正六棱锥的高h 2，所以VSh62.3圆台的体积为7，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为()A3 B4 C5 D6答案A解析设圆台的体积为V，高为h.由题意，V(24)h7，h3.4如下图所示，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是()答案C解析解法一：由题意可知当俯视图是A时，该几何体是正方体，显然体积