黑龙江省哈尔滨六中高一数学上学期学业水平测试试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年黑龙江省哈尔滨六中高二（上）学业水平测试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1设集合a=1，2，则满足ab=1，2，3的集合b的个数是（）a1个b2个c4个d8个2若a、b、cr，ab，则下列不等式成立的是（）aba2b2ca（c2+1）b（c2+1）da|c|b|c|3设m，n是两条不同直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）am，n且，则mnbm，n且，则mncm，n，mn，则dm，n，m，n，则4函数f（x）=（x22x3）的单调减区间是（）a（3，+）b（1，+）c（，1）d（，1）5化简=（）a1b2cd16已知非零向量，满足|=|，（ ），则向量与的夹角大小为（）a30b60c120d1507在等比数列中an中，若a3a5a7a9a11=243，则的值为（）a9b1c2d38高一年级某班63人，要选一名学生做代表，每名学生当选是等可能的，若“选出代表是女生”的概率是“选出代表是男生”的概率的，这个班的女生人数为（）a20b25c30d359若实数x、y满足=1，则x2+2y2有（）a最大值3+2b最小值3+2c最大值6d最小值610某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）a4b5c6d711已知直线3x+2y3=0与6x+my+7=0互相平行，则它们之间的距离是（）a4bcd12已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）abc2000cm3d4000cm3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案写在答题卡上相应的位置13展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于14已知sn是等差数列an的前n项和，s3=6，an2+an=16，若sn=50，则n的值为15已知变量x、y满足，则z=2x+y的最大值16过圆x2+y22x+4y4=0内一点m（3，0）作圆的割线l，使它被该圆截得的线段最短，则直线l的方程是三、解答题：本大题共6小题，共52分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17等差数列an的前n项和为sn，已知a2=1，s10=45（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足bn=，求数列bn的前n项和tn18已知在abc中，a，b，c分别是角a，b，c所对的边，且求角a的大小若19某校高一学生共有500人，为了了解学生的历史学习情况，随机抽取了50名学生，对他们一年来4次考试的历史平均成绩进行统计，得到频率分布直方图如图所示，后三组频数成等比数列（1）求第五、六组的频数，补全频率分布直方图；（2）若每组数据用该组区间中点值（例如区间70，80）的中点值是75作为代表，试估计该校高一学生历史成绩的平均分；（3）估计该校高一学生历史成绩在70100分范围内的人数20如图所示，直三棱柱abca1b1c1的各条棱长均为a，d是侧棱cc1的中点（1）求证：平面ab1d平面abb1a1；（2）求异面直线ab1与bc所成角的余弦值；（3）求平面ab1d与平面abc所成二面角（锐角）的大小21已知定义域为r的函数是奇函数（1）求实数a，b的值； （2）判断f（x）在（，+）上的单调性；（3）若f（k3x）+f（3x9x+2）0对任意x1恒成立，求k的取值范围22已知圆c：x2+y2+2x4y+3=0（1）若圆c的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆c外一点p（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为m，o为坐标原点，且有|pm|=|po|，求使得|pm|取得最小值的点p的坐标2015-2016学年黑龙江省哈尔滨六中高二（上）学业水平测试数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1设集合a=1，2，则满足ab=1，2，3的集合b的个数是（）a1个b2个c4个d8个【考点】子集与真子集【专题】集合【分析】通过已知条件便知，3是b的元素，1，2可以是集合的元素，所以b的可能情况为：b=3，1，3，2，3，1，2，3，所以集合b的个数便是4【解答】解：a=1，2，ab=1，2，3；3b，1，2可能是集合b的元素；b=3，1，3，2，3，或1，2，3；集合b的个数是4故选c【点评】考查并集的概念及运算，以及元素与集合的关系2若a、b、cr，ab，则下列不等式成立的是（）aba2b2ca（c2+1）b（c2+1）da|c|b|c|【考点】不等关系与不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】题中给了一个条件ab，四个选项就是在考四条不等式的基本性质逐个选项应用性质进行简单证明，即可得出正确答案【解答】解：当ab0时，ab，但a选项中没有ab0的条件，如果a0，b0，则ab时，a选项不正确；当a0，b0时，ab，a2b2，但b选项中没有a0，b0的条件，如果a=3，b=5，则ab，a2=32=9，b2=（5）2=25，即a2b2，所以b选项也不正确；在c选项中，c2+10，ab，a（c2+1）b（c2+1），即c选项为正确选项；在d选项中，|c|0，ab，a|c|b|c|，d选项也不正确故选c【点评】本题考查不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，正确运用不等式的性质是关键3设m，n是两条不同直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）am，n且，则mnbm，n且，则mncm，n，mn，则dm，n，m，n，则【考点】平面与平面垂直的性质【专题】证明题；空间位置关系与距离【分析】对于a、由面面平行的判定定理，得a是假命题对于b、由m，n且，可知m与n不平行，借助于直线平移先得到一个与m或n都平行的平面，则所得平面与、都相交，根据m与n所成角与二面角平面角互补的结论对于c、通过直线与平面平行的判定定理以及平面与平面平行的性质定理，判断正误即可；对于d、利用平面与平面平行的判定定理推出结果即可【解答】解：对于a，若m，n且，说明m、n是分别在平行平面内的直线，它们的位置关系应该是平行或异面，故a错；对于b，由m，n且，则m与n一定不平行，否则有，与已知矛盾，通过平移使得m与n相交，且设m与n确定的平面为，则与和的交线所成的角即为与所成的角，因为，所以m与n所成的角为90，故命题b正确对于c，根据面面垂直的性质，可知m，n，mn，n，也可能=l，也可能，故c不正确；对于d，若“m，n，m，n”，则“”也可能=l，所以d不成立故选b【点评】本题考查直线与平面平行与垂直，面面垂直的性质和判断的应用，考查逻辑推理能力，基本知识的应用题目4函数f（x）=（x22x3）的单调减区间是（）a（3，+）b（1，+）c（，1）d（，1）【考点】复合函数的单调性【专题】计算题【分析】根据函数f（x）=（x22x3）的解析式，根据对数的真数部分必须为正，我们可以求出函数的定义域，在各个区间上分类讨论复合函数f（x）=（x22x3）的单调性，即可得到函数f（x）=（x22x3）的单调减区间【解答】解：要使函数f（x）=（x22x3）的解析式有意义x22x30解得x1，或x3当x（，1）时，内函数为减函数，外函数也为减函数，则复合函数f（x）=（x22x3）为增函数；当x（3，+）时，内函数为增函数，外函数为减函数，则复合函数f（x）=（x22x3）为减函数；故函数f（x）=（x22x3）的单调减区间是（3，+）故选a【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，其中复合函数单调性的确定原则“同增异减”是解答问题的关键，但解题中易忽略函数的定义域而错选b5化简=（）a1b2cd1【考点】二倍角的余弦；三角函数中的恒等变换应用【专题】三角函数的求值【分析】用倍角公式化简后，再用诱导公式即可化简求值【解答】解： =2故选：b【点评】本题主要考察了二倍角的余弦公式的应用，三角函数中的恒等变换应用，属于基本知识的考查6已知非零向量，满足|=|，（ ），则向量与的夹角大小为（）a30b60c120d150【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】根据向量数量积的定义公式进行求解即可【解答】解：（ ），（）=0，即2=0，即=2，|=|，2|=|，则向量与的夹角满足cos=，则=30，故选：a【点评】本题主要考查向量夹角的计算，根据向量数量积的应用是解决本题的关键7在等比数列中an中，若a3a5a7a9a11=243，则的值为（）a9b1c2d3【考点】等比数列的性质【专题】计算题【分析】利用等比中项的性质可知，a3a11=a72，a5a9=a72，代入题设等式求得a7，进而利用等比中项的性质求得的值【解答】解：a3a5a7a9a11=a75=243a7=3=a7=3故选d【点评】本题主要考查了等比数列的性质解题过程充分利用等比中项的性质中g2=ab的性质等比中项的性质根据数列的项数有关8高一年级某班63人，要选一名学生做代表，每名学生当选是等可能的，若“选出代表是女生”的概率是“选出代表是男生”的概率的，这个班的女生人数为（）a20b25c30d35【考点】等可能事件的概率【专题】计算题【分析】根据题意，设班中的女生数为x，由班级的总人数可得“选出代表是女生”的概率与“选出代表是男生”的概率，依题意可得=，解可得x的值，即可得答案【解答】解：根据题意，设班中的女生数为x，则“选出代表是女生”的概率为，“选出代表是男生”的概率为1，则有=，解可得x=30，故选c【点评】本题考查概率的运用，关键是根据题意用x表示出“选出代表是女生”与“选出代表是男生”的概率9若实数x、y满足=1，则x2+2y2有（）a最大值3+2b最小值3+2c最大值6d最小值6【考点】基本不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】由题意可得 x2+2y2=（ x2+2y2）（）=1+2+，再利用基本不等式求得它的最小值，从而得出结论【解答】解：由题意可得 x2+2y2=（ x2+2y2）（）=1+2+3+2，当且仅当=时，即 x=y 时，等号成立，故x2+2y2有最小值为 3+2，故选 b【点评】本题主要考查基本不等式的应用，式子的变形是解题的关键，属于基础题10某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）a4b5c6d7【考点】程序框图【专题】算法和程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当s=0时，满足继续循环的条件，故s=1，k=1；当s=1时，满足继续循环的条件，故s=3，k=2；当s=3时，满足继续循环的条件，故s=11，k=3；当s=11时，满足继续循环的条件，故s=2059，k=4；当s=2049时，不满足继续循环的条件，故输出的k值为4，故选：a【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答11已知直线3x+2y3=0与6x+my+7=0互相平行，则它们之间的距离是（）a4bcd【考点】两条平行直线间的距离【专题】计算题；规律型；转化思想；直线与圆【分析】利用直线平行关系求出m，然后求解平行线之间的距离【解答】解：直线3x+2y3=0与6x+my+7=0互相平行，可得m=4，直线3x+2y3=0与3x+2y+=0，它们之间的距离是： =故选：b【点评】本题考查两条直线平行，平行线之间距离的求法，考查计算能力12已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）abc2000cm3d4000cm3【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；作图题【分析】由三视图可知，几何体是四棱锥，一个侧面垂直底面，底面是正方形，根据数据计算其体积【解答】解：如图，几何体是四棱锥，一个侧面pbc底面abcd，底面abcd是正方形，故选b【点评】本题考查三视图、椎体的体积，考查简单几何体的三视图的运用培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案写在答题卡上相应的位置13展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于180【考点】二项式定理【专题】计算题【分析】如果n是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n是偶数，那么是最中间那项的二次项系数最大，由此可确定n的值，进而利用展开式，即可求得常数项【解答】解：如果n是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n是偶数，那么是最中间项的二次项系数最大展开式中只有第六项的二项式系数最大，n=10展开式的通项为=令=0，可得r=2展开式中的常数项等于=180故答案为：180【点评】本题考查二项展开式，考查二项式系数，正确利用二项展开式是关键14已知sn是等差数列an的前n项和，s3=6，an2+an=16，若sn=50，则n的值为10【考点】等差数列的前n项和【专题】等差数列与等比数列【分析】通过s3=3a2=6可得a2=2，利用an2+an=16可得公差d=，利用sn=50计算即得结论【解答】解：s3=3a2=6，a2=2，又an2+an=16，化为：a2+d（n4）+a2+d（n2）=16，4+d（2n6）=16，即d（n3）=6，d=，而sn=na1+d=n（2）+=50，化简得：（n3）（n10）=0，解得n=10或n=3（增根，舍去），故答案为：10【点评】本题考查等差数列的相关知识，注意解题方法的积累，属于中档题15已知变量x、y满足，则z=2x+y的最大值12【考点】简单线性规划【专题】计算题；作图题；不等式的解法及应用【分析】由题意作出其平面区域，将z=2x+y化为y=2x+z，z相当于直线y=2x+z的纵截距，由几何意义可得【解答】解：由题意作出其平面区域，将z=2x+y化为y=2x+z，z相当于直线y=2x+z的纵截距，由可解得，x=5，y=2；故z=2x+y的最大值为25+2=12；故答案为：12【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题16过圆x2+y22x+4y4=0内一点m（3，0）作圆的割线l，使它被该圆截得的线段最短，则直线l的方程是x+y3=0【考点】直线与圆的位置关系【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆【分析】将圆的方程化为标准方程，找出圆心a的坐标，由垂径定理得到与直径am垂直的弦最短，根据a和m的坐标求出直线am的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为1，求出直线l的斜率，由求出的斜率及m的坐标，即可得到直线l的方程【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：（x1）2+（y+2）2=9，圆心a坐标为（1，2），又m（3，0），直线am的斜率为=1，直线l的斜率为1，则直线l的方程为y=（x3），即x+y3=0故答案为：x+y3=0【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，两直线垂直时斜率满足的关系，以及直线的点斜式方程，根据垂径定理得到与直径am垂直的弦最短是解本题的关键三、解答题：本大题共6小题，共52分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17等差数列an的前n项和为sn，已知a2=1，s10=45（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足bn=，求数列bn的前n项和tn【考点】数列的求和；等差数列的性质【专题】等差数列与等比数列【分析】（）由已知条件利用等差数列的通项公式和前n项和公式，求出首项和公差，由此能求出an=n1（）由（）知bn=2（n1）=，由此能求出数列bn的前n项和tn【解答】解：（）等差数列an的前n项和为sn，a2=1，s10=45，解得a1=0，d=1，an=n1（）由（）知：bn=2（n1）=，tn=2【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的灵活运用18已知在abc中，a，b，c分别是角a，b，c所对的边，且求角a的大小若【考点】解三角形；三角函数中的恒等变换应用【专题】计算题【分析】把已知等式的左边去括号后，分别利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式变形，得出sin（2a）的值为1，根据a为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出a的度数；利用三角形的面积公式表示出三角形abc的面积，将sina及已知的面积代入求出bc的值，利用余弦定理得到a2=b2+c22bccosa，根据完全平方公式变形后，将cosa，a及bc的值代入，求出b+c的值，将bc=8与b+c=2联立组成方程组，求出方程组的解集即可得到b与c的值【解答】解：cosa（sinacosa）=，sinacosacos2a=sin2a（1+cos2a）=sin2acos2a=，即sin（2a）=1，又a为三角形的内角，2a=，解得：a=；a=2，sabc=2，sina=，bcsina=2，即bc=8，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosa=（b+c）23bc，即8=（b+c）224，解得：b+c=4，联立，解得：b=c=2【点评】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键19某校高一学生共有500人，为了了解学生的历史学习情况，随机抽取了50名学生，对他们一年来4次考试的历史平均成绩进行统计，得到频率分布直方图如图所示，后三组频数成等比数列（1）求第五、六组的频数，补全频率分布直方图；（2）若每组数据用该组区间中点值（例如区间70，80）的中点值是75作为代表，试估计该校高一学生历史成绩的平均分；（3）估计该校高一学生历史成绩在70100分范围内的人数【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征；频率分布直方图【专题】图表型【分析】（1）利用频率分布直方图中利用纵坐标乘以组距求出第四组的频率，利用频率乘以样本容量求出频数，利用等比数列的中项列出方程求出第五、六组的频数（2）利用各个小矩形的中点乘以各个矩形的面积求出高一学生历史成绩在70100分范围内的人数【解答】解：（1）设第五、六组的频数分别为x，y由题设得，第四组的频数是0.0241050=12则x2=12y又x+y=50（0.012+0.016+0.03+0.024）1050即x+y=9x=6，y=3 补全频率分布直方图 （2）该校高一学生历史成绩的平均分+750.024+850.012+950.006）=67.6（3）该校高一学生历史成绩在70100分范围内的人数：500（0.024+0.012+0.006）10=210【点评】解决频率分布直方图时一定要注意直方图的纵坐标为：；频数=样本容量频率20如图所示，直三棱柱abca1b1c1的各条棱长均为a，d是侧棱cc1的中点（1）求证：平面ab1d平面abb1a1；（2）求异面直线ab1与bc所成角的余弦值；（3）求平面ab1d与平面abc所成二面角（锐角）的大小【考点】平面与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角；与二面角有关的立体几何综合题【专题】证明题；综合题；转化思想【分析】（1）取ab1的中点e，ab的中点f连接de、ef、cf证明de的平行线cf垂直平面abb1a1，内的相交直线ab，bb1，即可证明平面ab1d平面abb1a1；（2）建立空间直角坐标系，求出中的相关向量，直接求异面直线ab1与bc所成角的余弦值；（3）求平面ab1d的一个法向量，以及平面abc的一个法向量，利用向量的数量积求平面ab1d与平面abc所成二面角（锐角）的大小【解答】解：（1）证明：取ab1的中点e，ab的中点f连接de、ef、cf故又四边形cdef为平行四边形，decf又三棱柱abca1b1c1是直三棱柱abc为正三角形cf平面abc，cfbb1，cfab，而abbb1=b，cf平面abb1a1，又decf，de平面abb1a1又de平面ab1d所以平面ab1d平面abb1a1（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则设异面直线ab1与bc所成的角为，则，故异面直线ab1与bc所成角的余弦值为，（3）由（2）得，设=（1，x，y）为平面ab1d的一个法向量由得，即显然平面abc的一个法向量为m（0，0，1）则，故即所求二面角的大小为【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，二面角及其度量，考查空间想象能力，计算能力，是中档题21已知定义域为r的函数是奇函数（1）求实数a，b的值； （2）判断f（x）在（，+）上的单调性；（3）若f（k3x）+f（3x9x+2）0对任意x1恒成立，求k的取值范围【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】（1）根据f（x）为r上的奇函数便可得到，这样便可求出a=2，b=1；（2）分离常数可以得到，根据指数函数y=2x的单调性可以判断出x增大时，f（x）减小，从而可判断出f（x）在（，+）上单调递减；（3）根据f（x）的奇偶性和单调性便可由f（k3x）+f（3x9x+2）0得到（3x）2（k+1）3x20对于任意的x1恒成立，可设3x=t，从而有t2（k+1）t20对于任意的t3恒成立，可设g（t）=t2（k+1）t2，从而可以得到，这样解该不等式组便可得出k的取值范围【解答】解：（1）