中国剩余定理新解法.doc

中国剩余定理新解法一门完美的学科，应该让人们正反两面运用自如中国剩余定理也是如此，正面计算具体数，反面计算剩余数，都能体现算术的唯一性和必然性，这就是我们研究中国剩余定理的目的本文的计算方法属于本人独创，其方法比教科书中传统的倍分法简单，方便欢迎你用其它任何方法进行比较我们把中国剩余定理，分为两类题：简单型和复杂型，简单型指除数都是不同的素数，复杂型指除数中存在合数和素数，当你看了本文后，你就能够解中国剩余定理中的任意题型如果，你认为本文中的解法，确实简单方便，请你转告你的朋友谢谢！一，简单型简单型指除数都是不同的素数，简单型不存在错题，解题前不必审题。例：M/31余24，M/37余36，M/41余10，M/43余5，M/47余9，M/53余15，M/59余21，M/61余23，求M？因为，该题的除数都是不同的素数，其余数不会存在矛盾，为有解之题，而且，解法相当简单因除数31*37*41*43*47*53*59*6118128893780549，即满足条件的最小数，在除数的最小公倍数18128893780549之内有解，有唯一的解又因除数3137414347535961372，是在18128893780549之内一个一个数试除，来寻找这个数呢？还是在372个数中寻找这个数？这就是中国剩余定理的奥妙本人的解法是：滚雪球和数列化简配合使用，在372个数内解18128893780549之内的任意数，即在18128893780549内取任意一个整数，除以这8个素数，把余数记下来，按下面的方法都能够从372个数内准确地寻找到这个数1，满足除以61余23，为等差数列2361；2，将数列中的23和61同时除以59，得余数23和2，即将2361化简为232寻找相同余数的项(下同)，取59项(一个循环周期)之内：23，25，27，29，31，33，35，37，39，41，43，45，47，49，51，53，55，57，0(满或超过除数59时，减59再加，下同)，2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，26，28，30，32，34，36，38，40，42，44，46，48，50，52，54，56，58，1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21(59项内，没有一个重复余数，这就是中国剩余定理的唯一性和必然性，下面一样的道理)得第59项满足除以59余21的条件，代入原等差数列23(59-1)*613561，因61*593599，得新等差数列35613599；3，将数列中的3561和3599同时除以53，得余数10和48，即将35613599化简为1048取53项(一个循环周期)内寻找相同的余数项：10，5，0，48，43，38，33，28，23，18，13，8，3，51，46，41，36，31，26，21，16，11，6，1，49，44，39，34，29，24，19，14，9，4，52，47，42，37，32，27，22，17，12，7，2，50，45，40，35，30，25，20，15，得第53项满足除以53余15的条件，代入原等差数列35613599(53-1)190709，因3599*53190747，得新等差数列190709190747；4，将上面数列化简为3021，取47项之内：30，4，25，46，20，41，15，36，10，31，5，26，0，21，42，16，37，11，32，6，27，1，22，43，17，38，12，33，7，28，2，23，44，18，39，13，34，8，29，3，24，45，19，40，14，35，9，得第47项满足条件，代入原等差数列190709190747(47-1)8965071，因190747*478965109，得新等差数列89650718965109；5，将上面数列化简为139，取43项内：1，40，36，32，28，24，20，16，12，8，4，0，39，35，31，27，23，19，15，11，7，3，42，38，34，30，26，22，18，14，10，6，2，41，37，33，29，25，21，17，13，9，5，得第43项满足条件，代入原等差数列89650718965109(43-1)385499649，因8965109*43385499687，得新等差数列385499649385499687；6，将上面数列化简为1916，取41项内：19，35，10(出现相同的余数为止)，得第3项满足条件，代入原等差数列385499649385499687(3-1)1156499023，因385499687*4115805487167，得新等差数列11564990237，将上面数列化简为1331，取37项内：13，7，1，32，26，20，14，8，2，33，27，21，15，9，3，34，28，22，16，10，4，35，29，23，17，11，5，36，得第28项满足条件，代入原等差数列115649902315805487167(28-1)427904652532，37584803025179，得新等差数列427904652532584803025179；8，将上面数列化简为414，取31项内：4，18，1，15，29，12，26，9，23，6，20，3，17，0，14，28，11，25，8，22，5，19，2，16，30，13，27，10，24，得第29项满足条件，代入原等差数列427904652532584803025179(29-1)16802389357544，因584803025179*3118128893780549，得等差数列1680238935754418128893780549的数都满足这些条件反过来，用16802389357544除以素数31，37，41，43，47，53，59，61的余数必然与上面相同练习：因31，37，41，43，47，53，59，61的最小公倍数为18128893780549，当你在18128893780549之内任意取一个数除以素数31，37，41，43，47，53，59，61，把余数记录下来，用同样的计算方法，必然计算出你所取的数你任意选择个不同的素数，在这个素数乘积内任意取一个数，除以这几个素数把余数记录下来，用这里的计算方法，必然计算出你所取的数这就是逆运算二，复杂型复杂型指除数中存在合数和素数，该类题难免出现错题，所以，解题前必须先进行审题例：/26325余6641，/14553余12419，/19125余11141，/4165余3746，求？因为,正确的题在除数的最小公倍数内有解, 在除数的最小公倍数内有唯一的解.而除数的最小公倍数是所含素因子最高次方的乘积.即,除数的最小公倍数的结构为除数所含各素因子的最高次方.所以,审题与变题都要以各素因子的最高次方为基础.1， 审题：因除数：263253*3*3*3*5*5*13；145533*3*3*7*7*11；191253*3*5*5*5*17；41655*7*7*17这里有素因子3，5，7，11，13，17，用余数除以所含素因子的N次方，再进行关联检测：(1)，素因子3存在4次方，3次方，2次方，由6641/81余80，用最高次方的余数除以其它次方,即80/27余26与12419/27余26相符，80/9余8与11141/9余8余数相符.(2)，素因子5存在4次方，2次方，1次方。由11141/125余16，16/25余16与6641/25余16相符，16/5余1与3746/5余1相符.(3)，素因子7都是2次方，12419/49余22与3746/49余22余数相符，(4)，素因子17都是1次方，11141/17余6与3746/17余6余数相符；从除以素因子的关联余数看，没有矛盾，说明该题正确，有解(当除以同一个素因子的关联余数存在矛盾时，为错题，为无解之题)2，除数的最小公倍数：从上面看：素因子3最高为4次方81，素因子5最高为3次方125，素因子7最高为2次方49，还有素数11，13，17得除数的最小公倍数为81*125*49*11*13*171206079875(这是计算最小公倍数的方法，简单，易懂，易学)，该题在最小公倍数1206079875内有唯一解因为，除数26325，14553，19125，4165的最小公倍数是1206079875，所以，自然数除以26325，14553，19125，4165正确的，没有矛盾的不同余数组合只有1206079875个3，变题：变题是解这类题的关键变题可以使题目更加清楚明白，变题还能使解题变得简单(见后)用余数除以所含素因子的最高次方：因6641/81余80，11141/125余16，12419/49余22，12419/11余0，6641/13余11，3746/17余6；于是该题变为：/81余80，/125余16，/49余22，/11余0，/13余11，/17余6，求？说明：审题时，看素因子最高次方余数能否代表其它低次方余数；变题时，用素因子的最高次方4，解题：(1)，合数125，除以125余16，为等差数列16125；(2)，合数81，用16和125同时除以81，得余数16和44，得化简数列1644，取81项内寻找余数项：16，60，23，67，30，74，37，0，44，7，51，14，58，21，65，28，72，35，79，42，5，49，12，56，19，63，26，70，33，77，40，3，47，10，54，17，61，24，68，31，75，38，1，45，8，52，15，59，22，66，29，73，36，80，得54项符合余数条件，代入原等差数列16125(54-1)6641，因125*8110125，得新的等差数列664110125；(3)，合数49，将上面数列化简为2631，取49项内寻找余数项：26，8，39，21，3，34，16，47，29，11，42，24，6，37，19，1，32，14，45，27，9，40，22，得23项符合余数条件，代入原等差数列664110125(23-1)229391，因10125*49496125，得新等差数列229391496125；(4)，素数17，将上面数列化简为1014取17项内寻找余数项：10，7，4，1，15，12，9，6，得第8项符合条件，代入原等差数列229391496125(8-1)3702266，因496125*178434125，得新等差数列37022668434125；(5)，素数13，将上面数列化简为911，取13项内寻找余数项：9，7，5，3，1，12，10，8，6，4，2，0，11，得第13项符合条件，代入原等差数列37022668434125(13-1)104911766，因8434125得新等差数列104911766109643625；(6)，素数11，将上面数列化简为33，取13项内寻找余数项：3，6，9，1，4，7，10，2，5，8，0，得第11项符合条件，代入原等差数列104911766109643625(11-1)1201348016，因109643625*111206079875，得12013480161206079875数列的数都符合这些条件反过来，用1201348016除以26325，14553，19125，4165的余数必然与上面相同为什么变题能使解题变得简单呢，我们举例说明吧！在该题的基础上再增加一个/437余324，求？如果说我们不变题，得从等差数列12013480161206079875取437项之内寻找除以437余324的数；如果我们变题，因为，43719*23，由余数324/19余1得/19余1，324/23余2得/23余2，只需要从192342个数内寻找答案素数19，将上面数列化简为183，取19项内寻找余数项：18，2，5，8，11，14，17，1，得第8项符合条件，代入原等差数列12013480161206079875(8-1)9643907141，因1206079875*1922915517625，得新等差数列964390714122915517625；素数23，将上面数列化简为116，取23项内寻找余数项：11，17，0，6，12，18，1，7，13，19，2，得第11项符合条件，代入原等差数列9643907141 22915517625(11-1)238799083391，因22915517625*23527056905375，得等差数列238799083391527056905375中的数，都满足/26325余6641