水产的养殖与捕捞的数学模型.pdf

第 2 0 卷 第 8 期 工 程 数 学 学 报 v 1 2 0 N 8 年 月 J OURNAL OF ENGI NE E RI NG MATHEMATI C S D e c 0 0 3 文章编号 1 0 0 5 3 0 8 5 2 0 0 3 0 8 0 0 5 7 0 4 水产的养殖与捕捞的数学模型 简国明 许景飞 1 一 韶关学院数学系 广东 韶关 5 1 2 0 0 5 2 一 赣南师院 数学与计算机系 江西赣州 3 4 1 0 0 0 摘要 对于养殖场中虾的养殖和捕捞问题 建立了各量的基本模型 对三种不同情况 应用微分法和规 划论 分别建立了相应的微分规划模型 积分规划模型和变分法模型 再应用微分法 变分方 法及 Ma p l e 数学软件进行求解 对不同情况得出了相应的数值结果 关键词 虾量 养殖费 养殖策略 捕捞策略 最大利润 分类号 A MS 2 0 0 0 3 4 A 3 0 中图分类号 O 1 7 5 1 文献标识码 A 1 问题的提出 本问题来源于广东省韶关市某水产养殖场的实际问题 人工养殖的水产业 如养殖场中虾的养殖 其产量的增加一般与养殖费 包括饲料 工资 技术费等 成正比 而当养殖场虾量达到养殖场最大允许虾量时 养殖费投入再大 也不会使虾量增加 但若不投入养殖费 养殖场中的虾将会慢慢死去 现考虑养殖场中某种虾的养殖与固定努力量捕捞l 1 J 根据以往经验和市场调查 我们 有如下数据 这种虾的自然死亡率为 0 0 5 1 月 环境容许的最大虾量为 N N 1 0 斤 虾的捕捞采用拉网式固定努力量捕捞 即每月的捕捞量与此时养殖场虾量 成正比 比例系数为E 这种拉网式捕捞每次捕到的虾中出现小虾 中虾 大虾的频率分别为 0 2 0 5 0 3 而捕捞成本为J9 J9 0 1 元 斤 小虾 中虾 大虾平均每斤的批发价格分 别为 5 元 7元和 1 0 元 试解决以下问题 1 若某人长期承包这养殖场 要求养殖场中每月的虾量都相等 且月养殖费与该月虾量 成正比 比例系数为 a 0 2 元 斤 月 试制定捕捞策略 确定 E 使虾的月利润最大 2 若某人承包此养殖场 5年 且月养殖费与该月虾量成正 比 比例系数为 a 又取 E 0 0 8 1 月 试制定养殖策略 确定 a 使5 年的总利润最大 当初始虾量为1 0 斤 确定获 利最大的开始捕捞的月份 3 若某人承包此养殖场5年 每月按强度 E 0 1 1 月 捕捞 试制定养殖策略 确定 收稿日期 2 0 0 3 1 1 1 5 作者简介 简国明 1 9 5 8年生 男 硕士 副教授 研究方向 代数 图论 数学模型 基金项 目 广东省 自然科学基金资助项 目 2 0 0 1 1 7 0 7 维普资讯 5 8 工 程 数 学 学 报 第2 0 卷 养殖费 使 5年的总利润最大 2 模型的假设 1 虾群是一个独立的生态群体 且不与其它生物发生竞争 或者虽有竞争 但其影响 限于虾的自然死亡率之内l 2 2 虾的捕捞采用固定努力量捕捞 每月的捕捞强度系数 E是常量 3 虾的销售不成问题 即打捞的虾都能卖出 且价格不变 销售成本费用忽略不计 4 用 t 表示养殖场中第 t 月的虾量 单位 斤 用Y t 表示第 t 月的月养殖费 单 位 在无捕捞和自然死亡的情况下 养殖场虾量 t 的增加速度与月养殖费成正比 其比 例系数是的线性减函数 当达到时 此函数为0 当为 0时 此函数为常数 3 问题的分析及基本模型 该问题是一个动态变化有约束条件的最优化问题 在养殖费与月虾量有关的情况下 对第一问 要求养殖场中每月的虾量都相等 且月养 殖费与该月虾量成正比 在满足此条件下用动态平衡原理得 出一个关于微分方程的约束条 件 制定出捕捞策略 使虾的月利润最大 对第二问 由于采用了固定努力量的捕捞方式 承 包此养殖场5年 且月养殖费与该月虾量成正比 这样就可建立微分约束的积分规划模型 给定了一个初始条件后 可用Ma p l e 数学软件求解 对第三问 同样采用固定努力量捕捞 要 制定养殖策略 确定养殖费 使5年的总利润最大 我们用变分法 把目标函数与约束条件 结合起来 转化为求泛函极值的问题 进而归结为求微分方程组问题 用 Ma p l e 数学软件可 计算出结果 基于假设条件及以上分析 我们可以建立以下基本模型 一 1 自然死亡规律 一 t 2 捕捞规律 一E t 3 由假设 4 可设养殖场虾量 t 的增加速度与月养殖费 Y t 成正比的比例系数函 数为 P t A B x t 又由题设条件得 P t a 1一 Y 4 在捕捞和自然死亡的情况下 养殖场虾量随时间变化的数学模型为 a 卜 f 一 it E 5 设虾的价格是一随机变量 由题设知 的取值为5 7 1 0 其出现的概率分别为 P 5 0 2 P 7 0 5 P 1 0 0 3 则 的数学期望 平均值 为 E 5 0 2 7 0 5十1 0 0 3 7 5 即虾平均每斤的批发价格为 7 5 元 记为 P 4 模型的建立及求解 4 1 关于每月虾量相等的最大利润捕捞策略每月的虾量相等 0 一 一 it E 0 维普资讯 第 8期 简国明 许景飞 水产的养殖与捕捞的数学模型 5 9 又由题设条件 a z 得 0 a a 1 一 z一 E z 0 l N 二 鱼 z 2 0 舍去 l N 二 二 为每月虾量相等的养殖场虾量 每月虾量相等的最大利润捕捞模型为 f r r l a x R E E 一 1 s t z E d 一 将z N l 代人R E 中 得R E p E一 一日 N 二 易 z 得最大值点为 E 1 a a 由已知数据 7 5 卢 0 1 a 0 2 N 二 二皇 3 0 7 5 斤 最大月利润 R E 0 1 3 9 8 8 2 元 4 2承包五年捕捞强度 E 0 0 8 1 月 的养殖策略及开始捕捞时间 承包五年捕捞强度 0 0 8 1 月 的养殖策略的数学模型为 m a x R I p E一卢 E一日 z t d t s 1一 一 E 上述约束条件中微分方程的解为 4 z o N 口 一 E z 川 将上述 z t 代人 目标函数 R c z 中 并利用积分公式 I n c C 2 j 一 L J 对 R 的解析式关 J 求导 并令 0 再确定 R 的最值 由P 7 5 0 1 0 0 5 d 1 N 1 0 E 0 0 8 应用 Ma p l e 数学软件求 解得到如下结果 比例系数 a 0 3 0 0 6 2 3 9 8 8 7 元 月 殖场虾 融 J r 5 3 1 3 9 1 斤 5年的最大利润 尺 8 2 3 9 8 9 3 8 2 9 元 当 0 1 0 时 将 N 1 0 a 1 0 2 7 7 4 u 0 5 5 3 1 3 1 9 代人 关系式 z r 1 0 N d f 1 0 d d N A N 一1 0 j j 解得 r 1 1 3 6 7 7 月 3 4 1 天 即 当初始虾量为 1 0 斤时 获利最大的开始佩0 的月份为第 1 1 4月 4 3承包 5年捕捞强度 E 0 1 1 月 的一般养殖策略 若某人承包此养殖场 5 年 每月按强度E 0 1 捕捞 使 5 年的总利润最大的养殖策略 的数学模型为 p 6 0 IT I X R Y I 0 7 4 x 一Y d t 维普资讯 工 程 数 学 学 报 第2 O 卷 川 1一 0 1 5 此数学模型是一个泛函极值问题 可用变分法求解 对 于 条 件 极 值 的 泛 函 极 值 问 题 Q y j F z y 我 们 应 用 拉 格 朗 日乘数法化条件极值为无条件极值问题 引入乘子函数 t 构造泛函 k y j 2 I F t x y 厂 t x y 一 作哈密尔顿函数 H t z y F t z y M 厂 t z y 将此问题的数据代入上 式得 H z y 0 7 4 z 一 y 1 y 一0 1 5 z 则由欧拉方程 得 些 一 一O H d t a z 0 口 d x t 1 一 0 I 1 5 用 Ma p le 数学软件 解得 z t 5 4 9 7 7 5 y t 1 8 3 1 6 7 故当某人承包养殖场5 年 每月按强度E 0 I 1 B 捕捞时 每月投入1 8 3 1 6 7 元的养殖 费 5年的总利润将最大 参考文献 1 姜启源编 数学模型 第二版 M 北京 高等教育出版社 1 9 9 3 2 刘来福 曾文艺编著 数学模型与数学建模 M 北京 北京师范大学出版社 1 9 9 7 3 魏宗舒 概率论与数理统计教程 M 北京 高等教育出版社 1 9 8 3 4 王高雄等 常微分方程 M 北京 高等教育出版社 1 9 8 3 Th e M a t h e ma t i c a l Mo d e l s o f Mu l t i p l i c a t i o n a n d Ca t c h o f Aqu a t i c Pr o d u c t s J I AN Gu o mi n g X U J i n g f e i 1 D e p a r t m e n t o f Ma t h e m a t i c s S h a o g u a n U n i v e r s i t y S h a o g u a n 5 1 2 0 0 5 2 D e p a r t me n t o f Ma t h e m a t i c s G a n n a n T e a c h e r s C o l l e g e G a n z h o u 3 4 1 0 0 0 Ab s t r a c t I n t h i s p a p e r i t d e a l s wi t h t h e p r o b l e m o f mu l t i p l i c a t i o n a n d c a t c h o f a q u a t i c p r o d u c t s F i r s t o f a l l i t e s t a b l i s h e s b a s i c mo d e l s o f n u mb e r s I n a c c o r d a n c e w i t h t h r e e d i f f e r e n t c a s es c o r r esp o n d i n g d i f f e r e n t i a l p l a n mo d e l s i n t e g r a l p l a n mo d e l s a n d c a l c u l u s o f v a r i a t i o n s mo d e l s a r e s e t u p wi t h t h e me t h o d o f d i f f e r e n t i a t i o n a n d p l a n t h e o r y An d t h e n wo r k t h e m O U t t O e v e r y c a s e w i t h t h e a p p l i c a t i o n o f d i f f e r e n t i a ti o n a n d c a l c u l u s o f v a r i a t i o n s a n d