高考数学 第一节 相似三角形的判定及有关性质课件 理 新人教A版选修41.ppt

选修4 1几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质 1 平行线等分线段定理 相等 平分 平分 2 平行线分线段成比例定理 1 定理 三条平行线截两条直线 所得的 成比例 2 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得的对应线段 3 相似三角形的判定及性质 1 相似三角形的判定 定义 对应角 对应边 的两个三角形叫做相似三角形 对应线段 成比例 相等 成比例 预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边 或两边的延长线 所构成的三角形与原三角形 判定 定理1 两角对应 两三角形相似 定理2 两边对应 且夹角 两三角形相似 定理3 三边对应 两三角形相似 相交 相似 相等 成比例 相等 成比例 直角三角形相似的判定 2 相似三角形的性质 相似三角形对应高的比 对应中线的比和对应角平分线的比都等于 相似三角形周长的比等于 相似三角形面积的比等于相似比的 相似三角形外接圆的直径比 周长比等于 外接圆的面积比等于相似比的 相似比 相似比 平方 相似比 平方 4 直角三角形的射影定理定理 直角三角形斜边上的高是 的比例中项 两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的 两直角边在斜边上射影 比例中项 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 三角形相似不具有传递性 2 相似多边形不具有面积比等于相似比的平方的性质 3 相似三角形的内切圆的半径之比等于相似比 4 两组对应边成比例 一组对应边所对的角相等的两三角形相似 解析 1 错误 三角形相似具有传递性 即 abc a1b1c1 a1b1c1 a2b2c2 则 abc a2b2c2 2 错误 可以通过作辅助线将多边形转化为三角形加以证明 3 正确 由相似三角形的定义知 bac b a c 1 2 由直角三角形相似的判定方法知 rt adi rt a d i 可知结论正确 4 错误 如图 b b 当时相似 当时不相似 答案 1 2 3 4 考向1平行线分线段成比例定理 典例1 1 2013 西安模拟 如图所示 已知de bc bf ef 3 2 则ac ae ad db 2 如图所示 f为 abcd边ab上一点 连接df交ac于g 并延长df交cb的延长线于e 若de 5 df 4 则 思路点拨 1 利用平行线分线段成比例定理的推论 列比例式求解 2 利用平行线分线段成比例定理及推论 经中间比值代换求值 规范解答 1 de bc bf ef 3 2 ac ae 3 2 同理de bc 得ab ad 3 2 即 即即ad bd 2 1 答案 3 22 1 2 四边形abcd是平行四边形 ad bc ab dc ad bc ad bc 又 ab dc 答案 互动探究 本例 2 中条件不变 结论改为 解析 ad bc 答案 拓展提升 平行线分线段成比例定理及其推论的应用 1 平行线等分线段定理及其推论是证明两条线段相等的重要依据 特别是在应用推论时 一定要明确哪一条线段平行于三角形的一边 是否过一边的中点 2 利用平行线分线段成比例定理解决问题时要特别注意被平行线所截的直线 找准成比例的线段 得到相应的比例式 有时需要进行适当的变形 从而得到最终的结果 变式备选 2013 广州模拟 在梯形abcd中 ad bc ad 2 bc 5 点e f分别在ab cd上 且ef ad 若则ef的长为 解析 如图所示 延长ba cd交于点p ad bc 又 ad ef 又ad 2 ef 答案 考向2相似三角形的判定与性质 典例2 1 如图所示 abc中 bac 90 ad bc交bc于点d 若e是ac的中点 ed的延长线交ab的延长线于f 若则 2 如图所示 平行四边形abcd的对角线交于点o oe交bc于e 交ab的延长线于f 若ab a bc b bf c 则be 思路点拨 1 通过 bdf edc bad 证明 dbf adf 再根据相似三角形的对应边成比例可得结果 2 过o作og bc 交ab于g 构造 bef gof求解 规范解答 1 e为rt adc斜边ac的中点 de ec 则 c edc 又ad bc 且 bac 90 bad c 从而 bdf edc bad 又 f f 因此 dbf adf 答案 2 过o作og bc 交ab于g 显然go是 abc的中位线 所以go bc b gb ab a 在 gof中 be og 所以 bef gof 所以即答案 拓展提升 相似三角形证明方法证明三角形相似时一般的思考程序是 1 先找两对内角对应相等 2 若只有一个角对应相等 再判定这个角的两邻边是否对应成比例 3 若无角对应相等 就要证明三边对应成比例 提醒 在解决相似三角形时 一定要注意对应角和对应边 否则容易出错 变式训练 1 2013 汕头模拟 如图所示的rt abc中有边长分别为a b c的三个正方形 若ac 4 则b 解析 由三角形相似知 ac bc b2 bc b2 ac b 2 答案 2 2 如图 在 abc中 m n分别是ab bc的中点 an cm交于点o 那么 mon与 aoc面积的比是 解析 m n分别是ab bc的中点 故mn ac mn ac mon coa 答案 1 4 考向3射影定理及其应用 典例3 1 如图所示 在 abc中 ad bc于d de ab于e df ac于f 若ae ab 5 则af ac 2 在直角三角形abc中 ab 4 ac 3 过点a作ad bc 垂足为d 过点d作de ac 垂足为e 则de 思路点拨 1 由垂直条件 联想射影定理 然后进行计算 2 首先利用勾股定理求bc 再结合射影定理和三角形面积公式即可求解 规范解答 1 ad bc adb为直角三角形 又 de ab 由射影定理知 ad2 ae ab 在rt adc中 同理可得ad2 af ac 又ae ab 5 af ac ae ab 5 答案 5 2 由勾股定理得 bc 5 由射影定理得 cd 由三角形面积得 ad 由三角形面积得 de 答案 拓展提升 直角三角形中成比例线段问题的解决方法 1 如图 rt abc中 若cd为高 则有cd2 bd ad bc2 bd ab ac2 ad ab 利用上面等积式和勾股定理 已知图中的任意两条线段 可求出其余四条线段 2 直角三角形中出现斜边上的高这一条件时 射影定理是经常使用的结论 注意灵活运用 变式训练 在 abc中 acb 90 cd ab ae平分 bac交bc于e ce eb 4 5 cd 24 则ad db 解析 acb 90 cd ab ac2 ad ab bc2 bd ab 而ac2 bc2 ab2 又ae平分 bac 答案 16 9 1 如图 1 b ad 5 ab 10 则ac的长度为 解析 因为 1 b a a 所以 acd abc 所以ac2 ad ab 50 即ac 答案 2 如图所示 d e分别是 abc的边ab ac上的点 de bc 且ad db 2 那么 ade与四边形dbce的面积比是 解析 2 故 答案 3 如图 已知在 abc中 acb 90 cd ab于d ac 6 db 5 则ad的长为 解析 在rt abc中 acb 90 cd ab ac2 ad ab 设ad x 则ab x 5 又ac 6 62 x x 5 即x2 5x 36 0 解得x 4或x 9 舍去 ad 4 答案 4 4 2013 茂名模拟 abc中 ac 6 bc 4 ba 9 abc a b c 且 a b c 的最短边的长度为12 则它的最长边的长度为 解析 由 abc a b c 及ac 6 bc 4 ba 9可知 a b c 的最短边为b c 最长边为b a 又即解得b a 27 答案 27 5 如图 cab bcd ad 2 bd 4 则bc 解析 cab bcd b b cab dcb bc2 bd ab 4 2 4 24 bc 答案 6 如图 已知在梯形abcd中 上底长为2 下底长为6 高为4 对角线ac和bd相交于点p 1 若ap的长为4 则pc 2 abp和 cdp高的比为 解析 1 ab cd abp cdp 即解得pc 12 2 由 abp cdp及 abp和 cdp的高的比等于它们的相似比 得这两个三角形的高的比为1 3 答案 1 12 2 1 3 7 如图 在 abc中 d是ac的中点 e是bd的中点 延长ae交bc于f 则 解析 如图 过d作dg bc交af于g e是bd的中点 dg bf 又 dg bc 答案 8 如图 在矩形abcd中 bd为对角线 ae bd ab ad 1 则be 解析 矩形各内角为直角 abd为直角三角形 在直角 abd中 ab ad 1 则再由射影定理 得ab2 be bd 答案 9 一个直角三角形两条直角边的比为1 则它们在斜边上的射影比为 解析 如图 在rt abc中 bc ac 1 cd ab于d bc2 bd ab ac2 ad ab 因此它们在斜边上的射影比为1 5 答案 1 5 10 如图所示 在梯形abcd中 ab cd ab 4 cd 2 e f分别为ad bc上的点 且ef 3 ef ab 则梯形efcd与梯形abfe的面积比为 解析 由题得ef是梯形的中位线 设梯形abcd的高为2h 答案 11 2013 惠州模拟 如图 在 abc中 de bc df ac ae ac 3 5 de 6 则bf 解析 因为de bc 所以 ade abc 所以即所以bc 10 又df ac 所以四边形decf是平行四边形 故bf bc fc bc de 10 6 4 答案 4 12 如图所示 b d ae bc acd 90 且ab 6 ac 4 ad 12 则ae 解析 rt abe rt adc 所以即ae 答案 2 13 如图所示 f为的边ad延长线上的一点 df ad bf分别交dc ac于点g e ef 16 gf 12 则be的长为 解析 dc ab ad df bg gf 12 又ef 16 gf 12 ge 16 12 4 be bg ge 12 4 8 答案 8 14 如图 已知d为 abc中ac边的中点 ae bc ed交ab于g 交bc延长线于f 若bg ga 3 1 bc 8 则ae 解析 ae bc d为ac的中点 ae cf 设ae x 又bc 8 x 4 ae 4 答案 4 15 如图所示 已知在 abc中 c 90 正方形defc内接于 abc de ac ef bc ac 1 bc 2 则af fc等于 解析 设正方形边长为x 则由 afe acb 可得即所以x 于是af fc 1 2 答案 1 2 16 如图所示 在 abc中 acb 90 cd ab于d ad bd 2 3 则 acd与 cbd的相似比为 解析 在rt acb中 cd ab 由射影定理得 cd2 ad bd 又 ad bd 2 3 令ad 2x bd 3x x 0 cd2 6x2 cd 又 adc bdc 90 acd cbd 易知 acd与 cbd的相似比为即相似比为答案 3 17 如图 在梯形abcd中 ab cd 且ab 2cd e f分别是ab bc的中点 ef与bd相交于点m 若db 9 则bm 解析 e是ab的中点 ab 2eb ab 2cd cd eb 又ab cd 四边形cbed是平行四边形 cb de edm fbm f是bc的中点 de 2bf dm 2bm bm db 3 答案 3 18 如图 已知ab ef cd 若ab 6 cd 9 则ef 解析 在 abc中 因为ef ab 所以在 dbc中 因为ef cd 所以两式相加 得所以故ef 答案 19 如图 梯形adhe中 ae bf cg dh ab bc cd ae 12 dh 16 ah交bf于m 则bm cg 解析 ae bf cg dh ab bc cd ae 12 dh 16 bm 4 取bc的中点p 作pq dh交eh于q 如图 则pq是梯形adhe的中位线 pq ae dh 12 16 14 同理 cg pq dh 14 16 15 答案 415 20 如图 已知ad eg bc ad 6 bc 9 则gf的长为 解析 ad eg bc 又 ad 6 bc 9 ef 2 eg 6 gf eg ef 4 答案 4 21 2013 三亚模拟 如图所示 身高为1 6米的某学生想测量学校旗杆的高度 当他站在c处时 他的影子的顶端正好与旗杆影子的顶端重合 并测得ac 2米 bc 8米 则旗杆的高度是 米 解析 由题意 知cd be acd abe ac 2米 bc 8米 ab 10米 又 cd 1 6米 be 8米 答案 8 22 如图 在 abc中 de bc ef cd 且ab 2 ad 则af 解析 de bc ef cd ad2 af ab ab 2 ad af 1 答案 1 23 在矩形abcd中 ae bd于e 矩形的面积为40cm2 s abe s dba 1 5 则ae的长为 cm 解析 s abe s dba 1 5 s abe s矩形abcd 1 10 s abe s矩形