直线与圆的位置关系典例+讲解+习题+答案.doc

4.2.1 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系（典例）已知圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)，直线L：Ax+By+C=01位置关系的判定：判定方法1：联立方程组 得到关于x(或y)的方程(1)0相交；(2)=0相切；(3)0相离。判定方法2：若圆心(a，b)到直线L的距离为d(1)dr相离。例1、判断直线L：(1+m)x+(1-m)y+2m-1=0与圆O：x2+y2=9的位置关系。法一：直线L：m(x-y+2)+x+y-1=0恒过点 ，点P在圆O内，直线L与圆O相交。法二：圆心O到直线L的距离为 当d3时，(2m-1)20 mR所以直线L与直线O相交。2切线问题：例3：(1)已知点P(x0，y0)是圆C：x2+y2=r2上一点，求过点P的圆C的切线方程；(x0x+y0y=r2)法一：点P(x0，y0)是圆C：x2+y2=r2上一点， 当x00且y00时， 切线方程为 当P为(0，r)时，切线方程为y=r，满足方程(1)；当P为(0，-r)时，切线方程为t=-r，满足方程(1)；当P为(r，0)时，切线方程为x=r，满足方程(1)；当P为(-r，0)时，切线方程为x=-r，满足方程(1)；综上，所求切线方程为x0x+y0y=r2法二：设M(x，y)为所求切线上除P点外的任一点，则由图知|OM|2=|OP|2+|PM|2，即x2+y2=r2+(x-x0)2+(y-y0)2x0x+y0y=r2且P(x0，y0)满足上面的方程。综上，所求切线方程为x0x+y0y=r2。(2)已知圆O：x2+y2=16，求过点P(4,6)的圆的切线PT的方程。解：当PT方程为x=4时，为圆O的切线，满足题意：设PT的方程为y-6=k(x-4)，即kx-y-4k+6=0则圆心O到PT的距离为 所以PT的方程为 综上，切线PT的方程为x=4，5x-12y+52=0例4、求过下列各点的圆C：x2+y2-2x+4y-4=0的切线方程：(1) ； （2） B(4，5)解：(1)圆C：(x-1)2+(y+2)2=9，圆心C(1，-2)，r=3，且点A在圆C上，法一：设切线方程为 ，则圆心到切线的距离为 ，所求切线方程为 法二：ACl， 所求切线方程为 (2)点B在圆外，所以过B点的切线有两条设切线方程为y=k(x-4)+5，则圆心C到切线的距离为 又直线x=4也是圆的切线方程，所求切线方程为 例5、设点P(x，y)是圆x2+y2=1上任一点，求 的取值范围。法一：u表示过点(-1，2)且与圆有交点的直线l的斜率，如图，当直线l与圆相切时，PA的斜率不存在，直线PB的方程为ux-y+u+2=0，圆心到直线PB的距离为 例6、从直线L：2x-y+10=0上一点做圆O：x2+y2=4的切线，切点为A、B，求四边形PAOB面积的最小值。 解： 当|OP|最小时，SPAOB最小，又当OPL时|OP|最小，此时 例7、(切点弦)过圆外一点P(a，b)做圆O：x2+y2=r2的切线，切点为A、B，求直线AB的方程。设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则过A点的切线为x1x+y1y=r2，又过点P(a，b)ax1+by1=r2，同理有ax2+by2=r2由以上两式可以看出A、B的坐标都满足方程ax+by=r2，它是一条直线的方程，又过两点的直线有且仅有一条，直线AB的方程为ax+by=r2。3、弦长问题例8、(1)若点P(2，-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点，求直线AB的方程。解：圆心C(1，0)，kPC=-1，ABPC，kAB=1，且AB过点P，直线AB的方程为y+1=x-2即y=x-3(2)若直线y=2x+b与圆x2+y2=4相交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹。解：设M(x，y)为所求轨迹上任一点，且A（x1，y1），B（x2，y2）由 ，消去y得5x2+4bx+b2-4=0由韦达定理得， 由消去b得 ，又因M在圆内，所求轨迹为直线 在圆内的部分。(3)经过原点作圆x2+y2+2x-4y+4=0的割线l，交圆于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹。法一：设M(x，y)为所求轨迹上任一点，直线l的方程为y=kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)由 消去y得(1+k2)x2+(2-4k)x+4=0练习一一、 选择题1、直线3x+4y-5=0与圆2x2+2y2-4x-2y+1=0的位置关系是( )A、相离 B、相切C、相交且直线不过圆心D、相交且过圆心2、圆x2+y2+2x+4-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有( )个A1、 B、2 C、3 D、43、圆x2+y2=16上的点到直线x-y=3的距离的最大值为( )A、 B、4-C、4+ D、04、若直线3x4yk=0与圆xy6x5=0相切,则k的值等于( )A、1或-19 B、10或-1 C、-1或-19 D、-1或195、若直线axby1=0与圆xy=1相交,则点P(a,b)的位置是( )A、在圆上 B、在圆外C、在圆内 D、以上皆有可能6、过点P(3,0)能做多少条直线与圆xy8x2y10=0相切( )A、0条 B、1条C、2条 D、1条或2条7、若直线3x4y12=0与x轴交 于A点, 与y轴于交B点,那么OAB的内切圆方程是( ) A、xy2x2y1=0 B、xy2x2y1=0 C、xy2x2y1=0 D、xy2x2y1=08、1、表示的曲线为( )A、两个半圆 B、一个圆C、半个圆 D、两个圆二、填空题9、自圆x2+y2=r2外一点P()作圆的两条切线,切点分别为,则直线的方程为 10、 已知圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a0)及直线:x-y+3=0,当直线被C截得弦长为时,则a= 11、过点(1,-1)的圆xy=2的切线方程为_、过点(1,1)的圆(x1) (y2) =1的切线方程为_、12、由点P(1,-2)向圆x2+y2-6x-2y+6=0引切线方程是 13、直线L过点(-5,-10)，且在圆xy=25上截得的弦长为5,则直线L的方程为_14、将直线沿轴正方向平移2个单位，再沿轴负方向平移3个单位，所得直线与重合，则直线的斜率是_15、将一张坐标纸折叠一次，使得点（0，2）与点（4，0）重合，点（7，3）与点重合，则_16、若直线过点P（2，3），且方向向量，则的方程为_17、设M（2，-5），N（-3，2），直线过点P（1，1），若与线段MN有交点，则斜率的范围是_ ，倾斜角的范围是_ _ _。18、经过点P（-1，-2）的直线分别交轴和轴的负半轴于A、B两点。当|PA|.|PB|最小时，求的方程；设AOB面积为S，讨论这样的直线的条数。19过点P（-1，2）且与曲线在点M（1，1）处切线平行的直线方程是_三、解答题20、已知圆x2+y2=8,定点P(4,0),问过P点的直线斜率在什么范围内取值时,这条直线与已知圆(1)相切 ,(2)相交, (3)相离？答案：一、 选择题1、D；2、C；3、C；4、A；5、B；6、A；7、C；8、B二、 填空题9、10、11、xy2=0,y=112、5x-12y-29=0或x=113、xy5=0或7xy25=0三、 解答题14、设过