高考数学 第七章 第七节 立体几何中的向量方法（一）证明空间中的位置关系课件 理 新人教A版.ppt

第七节立体几何中的向量方法 一 证明空间中的位置关系 1 直线的方向向量和平面的法向量 1 直线的方向向量 定义 向量a所在直线与l 则a叫做l的方向向量 确定 通常在直线l上任取两点构成的向量 2 平面的法向量 定义 与平面 的向量 称做平面的法向量 确定 设n是平面的法向量 在平面内找两个不共线向量a b 由方程组来确定 平行或重合 垂直 2 空间位置关系的向量表示 n1 n2 n1 n2 0 n m 0 n m n m n m 0 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 直线的方向向量是唯一确定的 2 平面的单位法向量是唯一确定的 3 若两平面的法向量平行 则两平面平行 4 若两直线的方向向量不平行 则两直线不平行 解析 1 错误 与直线平行的任意非零向量都是该直线的方向向量 2 错误 由于法向量的方向不同 所以平面的单位法向量不唯一 3 正确 由平面平行的转化定理可知 4 正确 由直线平行的转化定理可知其逆否命题正确 根据等价命题可知 答案 1 2 3 4 1 若直线l的方向向量为a 1 0 2 平面 的法向量为u 2 0 4 则 a l b l c l d l与 斜交 解析 选b a 1 0 2 u 2 0 4 u 2a 即u a l 2 若直线l的方向向量为a 平面 的法向量为n 能使l 的是 a a 1 0 0 n 2 0 0 b a 1 3 5 n 1 0 1 c a 0 2 1 n 1 0 1 d a 1 1 3 n 0 3 1 解析 选d 若l 则a n 0 经验证知 d满足条件 3 若直线l1 l2的方向向量分别为a 2 4 4 b 6 9 6 则直线l1 l2的位置关系是 解析 由a b 2 6 4 9 4 6 0得a b 从而l1 l2 答案 l1 l2 4 若平面 的法向量分别为a 2 y 8 b 10 1 2 且 则y 解析 a b 0 即20 y 16 0 y 4 答案 4 5 若a 0 2 b 1 1 c 2 1 是平面 内的三点 设平面 的法向量n x y z 则x y z 解析 由题知 1 3 2 1 由得所以x y z y y y 2 3 4 答案 2 3 4 考向1空间中的点共线 点共面问题 典例1 已知e f g h分别是空间四边形abcd边ab bc cd da的中点 用向量法证明 1 e f g h四点共面 2 bd 平面efgh 思路点拨 1 证明 根据共面向量定理即可得到结论 或证明fg eh 即可得到fg eh确定一平面 故得四点共面 2 证明与共线 然后根据线面平行的判定定理解题即可 规范解答 1 方法一 e f g h分别是空间四边形abcd各边的中点 e f g h四点共面 方法二 e f g h分别是空间四边形abcd各边的中点 fg eh且fg eh 四边形efgh为平行四边形 故e f g h四点共面 2 由 1 知 bd eh 又bd 平面efgh eh 平面efgh bd 平面efgh 拓展提升 1 证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题 如证明a b c三点共线 即证明 共线 亦即证明 0 2 证明点共面的方法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题 如要证明p a b c四点共面 只要能证明 或对空间任一点o 有 或 x y z 1 即可 共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件 变式训练 如图所示 已知abcd是平行四边形 p点是平面abcd外一点 连接pa pb pc pd 设点e f g h分别为 pab pbc pcd pda的重心 1 试用向量法证明e f g h四点共面 2 试判断平面efgh与平面abcd的位置关系 并用向量法证明你的判断 解析 1 分别连接pe pf pg ph并延长交对边于m n q r点 因为e f g h分别是所在三角形的重心 所以m n q r分别为所在边的中点 连接mn nq qr rm得到的四边形为平行四边形 且有 连接mq eg 因为四边形mnqr是平行四边形 所以又 所以 即 由共面向量定理知e f g h四点共面 2 平行 理由如下 由 1 得 所以 又因为eg 平面abcd mq 平面abcd 所以eg 平面abcd 因为所以mn ef 又因为ef 平面abcd mn 平面abcd 所以ef 平面abcd 由于eg与ef交于e点 所以平面efgh 平面abcd 考向2利用空间向量证明平行关系 典例2 在长方体abcd a1b1c1d1中 aa1 2ab 2bc e f e1分别是棱aa1 bb1 a1b1的中点 求证 ce 平面c1e1f 思路点拨 要证明ce 平面c1e1f 可证明向量与平面c1e1f的法向量垂直 规范解答 以d为原点 da dc dd1所在的直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 设bc 1 则c 0 1 0 e 1 0 1 c1 0 1 2 f 1 1 1 e1 1 2 设平面c1e1f的一个法向量n x y z 1 0 1 0 1 即取n 1 2 1 1 1 1 n 1 2 1 0 n 又 ce 平面c1e1f ce 平面c1e1f 互动探究 在本例条件下 判断平面c1e1f与平面cef是否垂直 并给出证明 解析 平面c1e1f 平面cef 设平面efc的一个法向量为m a b c 由例题解析可知 0 1 0 1 0 1 即 取m 1 0 1 由例题解析可知 平面c1e1f的一个法向量n 1 2 1 m n 1 0 1 1 2 1 1 1 0 2 1 1 0 m n 平面c1e1f 平面cef 拓展提升 利用向量处理平行问题的常用方法 1 证明两条直线平行 只需证明两条直线的方向向量是共线向量 2 证明线面平行的方法 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直 证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量 利用共面向量定理 即证明直线的方向向量可用平面内不共线的两个向量线性表示 3 证明面面平行 证明两个平面的法向量平行 即是共线向量 转化为线面平行 线线平行问题 变式备选 如图 在四棱锥o abcd中 底面abcd是边长为1的菱形 abc oa 底面abcd oa 2 m为oa的中点 n为bc的中点 利用向量方法证明 直线mn 平面ocd 证明 作ap cd于点p 如图 分别以ab ap ao所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 则p 0 0 d 0 o 0 0 2 m 0 0 1 n 1 0 1 1 0 2 2 设平面ocd的一个法向量为n x y z 则n 0 n 0 即取z 解得n 0 4 n 1 1 0 4 0 且mn 平面ocd mn 平面ocd 考向3利用空间向量证明垂直关系 典例3 1 2013 东莞模拟 已知平面 内有一个点m 1 1 2 平面 的一个法向量是n 6 3 6 则下列点p中在平面 内的是 a p 2 3 3 b p 2 0 1 c p 4 4 0 d p 3 3 4 2 如图 在三棱锥p abc中 ab ac d为bc的中点 po 平面abc 垂足o落在线段ad上 已知bc 8 po 4 ao 3 od 2 证明 ap bc 在线段ap上是否存在点m 使得平面amc 平面bmc 若存在 求出am的长 若不存在 请说明理由 思路点拨 1 判断n与是否垂直即可 2 对 问线线垂直的证明易入手 利用两非零向量的数量积为0即可进行证明 对 问 平面amc 平面bmc 即平面amc的法向量与平面bmc的法向量垂直 因此可建立适当的空间直角坐标系求解 因为m在线段ap上 故可利用a m p三点共线设出m点的坐标 规范解答 1 选a n 6 3 6 是平面 的一个法向量 n 在选项a中 1 4 1 n 0 2 如图 以o为坐标原点 以射线op为z轴的正半轴 建立空间直角坐标系 则o 0 0 0 a 0 3 0 b 4 2 0 c 4 2 0 p 0 0 4 则 0 3 4 8 0 0 由此可得 0 所以 即ap bc 假设线段ap上存在点m 易知 4 2 4 设 0 1 则 0 3 4 4 2 4 0 3 4 4 2 3 4 4 4 5 0 又 8 0 0 设平面bmc的一个法向量n1 x1 y1 z1 平面amc的一个法向量n2 x2 y2 z2 则由得即可取n1 0 1 由即得可取n2 5 4 3 由n1 n2 0 得4 3 0 解得 故am 3 综上所述 存在点m符合题意 am 3 拓展提升 向量方法证明空间垂直关系的基本途径 1 线线垂直 只要证明两直线的方向向量垂直 2 线面垂直 用线面垂直的定义 证明直线的方向向量与平面内的任意一条直线的方向向量垂直 用线面垂直的判定定理 证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量平行 3 面面垂直 平面与平面的垂直 除了用面面垂直的判定定理转化为线面垂直外 还可证明两平面的法向量垂直 变式训练 在四棱锥p abcd中 pd 底面abcd 底面abcd为正方形 pd dc e f分别是ab pb的中点 1 求证 ef cd 2 在平面pad内求一点g 使gf 平面pcb 并证明你的结论 解析 如图 以da dc dp所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 设ad a 则d 0 0 0 b a a 0 c 0 a 0 e a 0 p 0 0 a f 1 0 0 a 0 0 即ef cd 2 设g x 0 z a 0 0 0 a a 则 x z 若使gf 平面pcb 则由 x z a 0 0 a x 0 得x 且 x z 0 a a a z 0 得z 0 g点坐标为 0 0 即g点为ad的中点 满分指导 利用向量证明空间位置关系 典例 12分 2012 福建高考改编 如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 aa1 ad 1 e为cd中点 1 求证 b1e ad1 2 在棱aa1上是否存在一点p 使得dp 平面b1ae 若存在 求ap的长 若不存在 说明理由 思路点拨 规范解答 以a为原点 的方向分别为x轴 y轴 z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 1分设ab a 则a 0 0 0 d 0 1 0 d1 0 1 1 e 1 0 b1 a 0 1 2分故 0 1 1 1 1 a 0 1 1 0 3分 1 0 1 1 1 1 0 4分 b1e ad1 5分 2 假设在棱aa1上存在一点p 0 0 z0 使得dp 平面b1ae 此时 0 1 z0 6分再设平面b1ae的一个法向量n x y z n 平面b1ae n n 得 取x 1 则y z a 得平面b1ae的一个法向量n 1 a 8分要使dp 平面b1ae 只要n 有 az0 0 解得z0 10分又dp 平面b1ae 存在点p 满足dp 平面b1ae 此时ap 12分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2013 茂名模拟 两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1 1 0 1 v2 2 0 2 则l1与l2的位置关系是 a 平行 b 相交 c 垂直 d 不确定 解析 选a v2 2v1 v1 v2 l1与l2的位置关系是平行 2 2013 揭阳模拟 如图 正方形abcd与矩形acef所在平面互相垂直 ab af 1 m在ef上且am 平面bde 则m点的坐标为 a 1 1 1 b 1 c 1 d 1 解析 选c m在ef上 设me x x 0 m x x 1 a 0 d 0 0 e 0 0 1 b 0 0 0 1 0 1 x x 1 设平面bde的一个法向量n a b c 由得a b c 故可取一个法向量n 1 1 n 0 x 1 m 1 3 2013 宁波模拟 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 棱长为a m n分别为a1b和ac上的点 a1m an 则mn与平面bb1c1c的位置关系是 a 斜交 b 平行 c 垂直 d 不能确定 解析 选b 分别以c1b1 c1d1 c1c所在直线为x y z轴 建立空间直角坐标系 a1m an a m a a n a a a 0 a 又c1 0 0 0 d1 0 a 0 0 a 0 0 是平面bb1c1c的一个法向量 且mn 平面bb1c1c mn 平面bb1c1c 4 2013 广州模拟 如图 已知四棱锥p abcd的底面为正方形 pa 底面abcd e f分别为ab pd的中点 pa a 二面角p cd b为45 求证 1 af 平面pce 2 平面pce 平面pcd 证明 1 底面是正方形 ad cd 又pa 底面abcd pa ad pda 45 ad pa a 建立如图所示的空间直角坐标系 则a 0 0 0 b a 0 0 c a a 0 d 0 a 0 p 0 0 a 又e f分别是ab pd的中点 e点坐标为 0 0 f点坐标为 0 a a a 0 a 0 设平面pce的一个法向量为n x y z 则由n n 计算可得取n 2 1 1 n 0 0 又af 平面pce 故af 平面pce 2 设平面pcd的一个法向量为m x y z 0 a a a a a m m 解得取m 0 1 1 又由 1 知n 2 1 1 n m 0 平面pce 平面pcd 1 如图 在四棱锥p abcd中 pa 平面abcd e为ad的中点 四边形abce为菱形 bad 120 pa ab g f分别是线段ce pb上的动点 且满足 0 1 证明 fg 平面pdc 证明 取bc的中点k 连接ak 以点a为原点 ak ad ap所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立如图所示的空间直角坐标系 不妨设pa