2019_2020学年高中数学第3章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.2奇偶性教学案新人教A版.docx

3.2.2奇偶性(教师独具内容)课程标准：1.了解函数奇偶性的概念和几何意义，并会用符号语言描述.2.了解奇偶函数的图象特征，会判断简单函数的奇偶性教学重点：1.函数奇偶性的概念.2.奇函数，偶函数的几何特征.3.判断函数的奇偶性教学难点：1.函数的奇偶性与单调性结合问题.2.函数奇偶性的判定.【知识导学】知识点一偶函数、奇函数的定义(1)偶函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数(even function)(2)奇函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数(odd function)知识点二偶函数、奇函数的图象特征(1)偶函数的图象特征如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数(2)奇函数的图象特征如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数【新知拓展】(1)奇偶性是函数的整体性质(对照单调性是函数的局部性质，以加深理解)(2)定义域不关于原点对称的函数，既不是奇函数，也不是偶函数(3)对于奇函数f(x)，若f(0)有意义，则f(0)0；对于偶函数f(x)，必有f(x)f(x)f(|x|)(4)有的函数既不是奇函数，也不是偶函数，如：y2x1；有的函数是奇函数，但不是偶函数，如：yx；有的函数是偶函数，但不是奇函数，如：y|x|；有的函数既是奇函数，又是偶函数，如：y0(x1,1)(5)常见函数(一次函数、反比例函数、二次函数)的奇偶性1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)奇(偶)函数的定义域都关于原点对称()(2)函数f(x)x2的图象关于原点对称()(3)对于定义在R上的函数f(x)，若f(1)f(1)，则函数 f(x)一定是奇函数()(4)对于奇函数f(x)，一定有f(0)0.()(5)对于函数yf(x)，xR，若x0R，使f(x0)f(x0)，则该函数不是偶函数()答案(1)(2)(3)(4)(5)2做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)函数f(x)x在定义域R上是_函数(填“奇”或“偶”)(2)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(2)4，则f(2)_.(3)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x21，则f(2)f(0)_.答案(1)奇(2)4(3)5题型一 函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x1；(2)f(x)；(3)f(x)|x2|x2|；(4)f(x)解(1)函数f(x)x1的定义域为实数集R，关于原点对称因为f(x)x1(x1)，f(x)(x1)，即f(x)f(x)，f(x)f(x)，所以函数f(x)x1既不是奇函数也不是偶函数(2)使函数有意义需满足所以该函数的定义域为1，因为定义域不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数(3)函数f(x)|x2|x2|的定义域为实数集R，关于原点对称因为f(x)|x2|x2|x2|x2|f(x)，所以函数f(x)|x2|x2|是偶函数(4)函数的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当x0时，x0，f(x)(x)21f(x)；当x0，f(x)(x)21x21f(x)综上可知，函数f(x)是奇函数金版点睛函数奇偶性判断的方法(1)定义法(2)图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数的图象关于y轴对称，则函数为偶函数此法多用在选择、填空题中(3)设f(x)，g(x)的定义域分别是I1，I2，在它们的公共定义域上，有如下结论：判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)(2)f(x)0(xR)；(3)f(x)2x1；(4)f(x).解(1)显然函数f(x)的定义域关于原点对称当x0时，x0，f(x)x2x(xx2)f(x)，当x0，f(x)xx2(x2x)f(x)，f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数(2)f(x)0f(x)，且f(x)0f(x)，f(x)0既是奇函数，又是偶函数(3)函数f(x)2x1的定义域为R，关于原点对称 f(x)2x1，f(x)2x1，f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)2x1既不是奇函数，也不是偶函数(4)函数f(x)的定义域为(，1)(1，)，不关于原点对称，故函数f(x)不具有奇偶性.题型二 奇偶函数的图象及应用例2已知奇函数yf(x)的定义域为5,5，且在区间0,5上的图象如图所示，则使函数值y0的x的取值集合为_解析因为函数yf(x)是奇函数，所以yf(x)在5，5上的图象关于原点对称由yf(x)在0,5上的图象，可知它在5,0上的图象，如图所示由图象知，使函数值y0时，f(x)x38，则x|f(x2)0()Ax|2x2Bx|0x4Cx|x0或2x4Dx|x2答案B解析当x2时，有f(2)0，又因为f(x)为奇函数，所以f(2)0，作出f(x)的大致图象，由图象可知，当2x22，即0x4时，有f(x2)0，故选B.题型三 利用函数奇偶性求解析式例3若f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，x0时，f(x)x3x1，求f(x)的解析式解当x0时，f(x)x3x1，设x0.f(x)(x)3(x)1x3x1.又f(x)是奇函数，f(0)0，f(x)f(x)f(x)x3x1，即f(x)x3x1.故f(x)题型四 函数的奇偶性与单调性的综合应用例4(1)已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，在2,6上单调递减，比较f(5)与f(3)的大小；(2)设定义在2,2上的偶函数f(x)在区间0,2上单调递减，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围解(1)因为f(x)是偶函数，所以f(5)f(5)，因为f(x)在2,6上单调递减，所以f(5)f(3)，所以f(5)f(3)(2)因为f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)f(|x|)所以不等式f(1m)f(m)等价于f(|1m|)f(|m|)又f(x)在区间0,2上单调递减，所以解得1m.即m的取值范围是.金版点睛奇偶性与单调性综合问题的两种类型(1)比较大小：看自变量是否在同一单调区间上在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性转化为同一单调区间上的两函数值，然后利用单调性比较大小(2)解不等式利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式；根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”，转化为简单不等式求解(1)已知函数f(x)在5,5上是偶函数，f(x)在0,5上是单调函数，且f(4)f(2)，则下列不等式一定成立的是()Af(1)f(3) Bf(2)f(3)Cf(3)f(1)(2)设f(x)在R上是偶函数，在(，0)上单调递减，若f(a22a3)f(a2a1)，求实数a的取值范围答案(1)D(2)见解析解析(1)因为函数f(x)在5,5上是偶函数，所以f(4)f(2)f(4)f(1)(2)由题意知f(x)在(0，)上单调递增又a22a3(a1)220，a2a120，且f(a22a3)f(a2a1)，所以a22a3a2a1，解得a.综上，实数a的取值范围是.1下列函数为奇函数的是()Ay|x| By2xCy Dyx28答案C解析A，D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数2若函数f(x)满足1，则f(x)图象的对称轴是()Ax轴 By轴C直线yx D不能确定答案B解析由于f(x)f(x)，则f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称3已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，则g(1)等于()A4 B3 C2 D1答案B解析由题意知f(1)g(1)f(1)g(1)2，f(1)g(1)f(1)g(1)4.两式相加，解得g(1)3.4奇函数f(x)在区间3,6上单调递增，在区间3,6上最大值是4，最小值是1，则2f(6)f(3)_.答案7解析f(x)是奇函数，且在3,6上单调递增，f(3)1，f(6)4.2f(6)