高中数学课件 第二章 《 第3节函数的单调性》.ppt

理解函数的单调性 最大值 最小值及其几何意义 f x1 f x2 f x1 f x2 1 单调函数的定义 上升的 逐渐 逐渐下降的 思考探究 如图所示函数f x 的图象 则函数f x 的单调增区间是 0 0 吗 提示 不是 其单调增区间为 0 和 0 2 单调区间的定义若函数y f x 在区间D上是或 则称函数f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 叫做y f x 的单调区间 增函数 减函数 区间D 3 最值的定义 1 下列函数中 在区间 0 2 上为增函数的是 A y x 1B y C y x2 4x 5D y 解析 函数y 的单调增区间为 0 函数y 在 0 2 上为增函数 答案 B 2 函数y 2k 1 x b在 上是减函数 则 A k B k C k D k 解析 函数y 2k 1 x b在 上是减数 2k 1 0 k 答案 D 3 若函数y ax与y 0 上都是减函数 则y ax2 bx在 0 上是 A 增函数B 减函数C 先增后减D 先减后增 解析 函数y ax与y 在 0 上都是减函数 a 0 b 0 函数y ax2 bx的图象的对称轴为x 0 函数y ax2 bx在 0 是减函数 答案 B 4 如果函数f x 在 a b 上是增函数 对于任意的x1 x2 a b x1 x2 下列结论中正确的有 0 x1 x2 f x1 f x2 0 f a f x1 f x2 f b 0 解析 f x 在 a b 上为增函数 x1 x2与f x1 f x2 的符号相同 均正确 又 不知道x1 x2的大小 无法比较f x1 与f x2 的大小 故 错误 答案 5 已知函数f x 2ax2 4 a 3 x 5在区间 3 上是减函数 则a的取值范围是 解析 当a 0时 f x 12x 5 在 3 上为减函数 当a 0时 要使f x 2ax2 4 a 3 x 5在区间 3 上是减函数 则对称轴x 必在x 3的右边 即 3 故0 a 当a 0时 不可能在区间 3 上恒为减函数 综合知 a的取值范围是 0 答案 0 1 用定义证明函数单调性的一般步骤 1 取值 即设x1 x2是该区间内的任意两个值 且x1 x2 2 作差 即f x2 f x1 或f x1 f x2 并通过通分 配方 因式分解等方法 向有利于判断差的符号的方向变形 3 定号 根据给定的区间和x2 x1的符号 确定差f x2 f x1 或f x1 f x2 的符号 当符号不确定时 可以进行分类讨论 4 判断 根据定义得出结论 2 1 若f x 与g x 在定义域内均是增函数 减函数 那么f x g x 在其公共定义域内是增函数 减函数 2 复合函数的单调性判断 要注意掌握 同则增 异则减 讨论函数f x a 0 的单调性 思路点拨 课堂笔记 f x 函数的定义域为 x x R且x 1 法一 定义法 任取x1 x2 R 且x1 x2均不为1 x1 x2 则f x1 f x2 a a 设x1 x2 1 x1 1 0 x2 1 0 x2 x1 0 a 0 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 设1 x1 x2 x2 1 0 x1 1 0 x2 x1 0 a 0 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 函数f x 在 1 和 1 上均为减函数 法二 导数法 f x 又 a 0 f x 0在 1 1 上恒成立 即函数f x 在 1 和 1 上均为减函数 法三 图象法 由f x a 可知其图象对称中心是 1 a x 1 y a是它的两条渐近线 故其图象如图所示 f x 在 1 和 1 上均为减函数 讨论函数f x a 0 1 x 1 的单调性 解 设 1 x1 x2 1 则f x1 f x2 1 x1 x2 1 x1 1 x2 1 x2 x1 0 1 0 1 0 x1x2 1 即 1 x1x2 1 x1x2 1 0 0 因此 当a 0时 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 此时函数f x 在 1 1 上为减函数 当a 0时 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 此时函数f x 在 1 1 上为增函数 1 求函数的单调区间 1 利用已知函数的单调性 2 定义法 先求定义域 再利用单调性定义 3 图象法 如果f x 是以图象给出的 或者f x 的图象易作出可直接由图象的直观性写出它的单调区间 4 导数法 利用导函数取值的正负确定原函数的单调区间 2 求复合函数y f g x 的单调区间的步骤 1 确定定义域 2 将复合函数分解成基本初等函数 y f u u g x 3 分别确定这两个函数的单调区间 4 若这两个函数同增或同减 则y f g x 为增函数 若一增一减 则y f g x 为减函数 即 同增异减 求下列函数的单调区间 1 f x x2 4 x 3 2 f x 思路点拨 课堂笔记 1 f x x2 4 x 3 于是可得函数f x x2 4 x 3的图象 如图所示 由图可知 函数的增区间为 2 0 2 减区间为 2 0 2 2 y 该函数的定义域为 1 1 又 y 可看作是由y 与u x2 1两个函数复合而成的 且y 在u 0 上为增函数 而u x2 1在 1 上为减函数且u 0 在 1 上为增函数且u 0 当x 1 时 y 为减函数 当x 1 时 y 为增函数 对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义 结合题目中所给性质和相应的条件 对任意x1 x2在所给区间内比较f x1 f x2 与0的大小 或与1的大小 有时根据需要 需作适当的变形 如x1 x2 或x1 x2 x1 x2等 已知函数f x 对于任意x y R 总有f x f y f x y 且当x 0时 f x 0 f 1 1 求证 f x 在R上是减函数 2 求f x 在 3 3 上的最大值和最小值 思路点拨 课堂笔记 1 法一 函数f x 对于任意x y R总有f x f y f x y 令x y 0 得f 0 0 再令y x 得f x f x 在R上任取x1 x2 则x1 x2 0 f x1 f x2 f x1 f x2 f x1 x2 又 x 0时 f x 0 而x1 x2 0 f x1 x2 0 即f x1 f x2 因此f x 在R上是减函数 法二 设x1 x2 则f x1 f x2 f x1 x2 x2 f x2 f x1 x2 f x2 f x2 f x1 x2 又 x 0时 f x 0 而x1 x2 0 f x1 x2 0 即f x1 f x2 f x 在R上为减函数 2 f x 在R上是减函数 f x 在 3 3 上也是减函数 f x 在 3 3 上的最大值和最小值分别为f 3 与f 3 而f 3 3f 1 2 f 3 f 3 2 f x 在 3 3 上的最大值为2 最小值为 2 高考对函数单调性的考查方式灵活 既有函数单调性的判定 单调区间的求法 又有利用函数单调性解不等式 比较大小 求最值等 而抽象函数的单调性问题脱离了特殊的函数模型的实际背景 由一个抽象的代数公式诠释一个具有深远意义的函数性质 从近几年高考看 抽象函数与函数的单调性相结合求参数的取值范围或求自变量x的取值范围成为高考命题的一个新考向 考题印证 2009 辽宁高考 已知偶函数f x 在区间 0 单调增加 则满足f 2x 1 f 的x取值范围是 A B C D 解析 f x 是偶函数 其图象关于y轴对称 又f x 在 0 上递增 f 2x 1 f 2x 1 x 答案 A 自主体验 函数f x 在R上是增函数 且对任意a b R 都有f a b f a f b 1 若f 4 5 则不等式f 3m2 m 2 3的解集为 答案 1 解析 f 4 f 2 2 f 2 f 2 1 5 f 2 3 原不等式可化为f 3m2 m 2 f 2 f x 是R上的增函数 3m2 m 2 2 解得 1 m 故解集为 1 1 2010 大连模拟 下列函数在 0 1 上是减函数的是 A y log0 5 1 x B y x0 5C y 0 51 xD y 1 x2 解析 y log0 5 1 x 在 0 1 上为增函数 y x0 5在 0 1 上是增函数 y 0 51 x在 0 1 上为增函数 函数y 1 x2 在 0 上为增函数 在 0 上为减函数 函数y 1 x2 在 0 1 上是减函数 答案 D 2 已知f x 为R上的减函数 则满足f f 1 的实数x的取值范围是 A 1 B 1 C 0 0 1 D 0 1 解析 依题意得 1 即 0 所以x的取值范围是x 1或x 0 选D 答案 D 3 2010 德州模拟 已知f x 是 上的增函数 那么a的取值范围是 A 1 B 3 C 3 D 1 3 解析 1 由于x 1时 f x logax单调递增 故a 1 2 x 1时 f x 3 a x 4a单调递增 故3 a 0 a 3 要同时满足 1 2 两个条件 则1 a 3 此时 3 a x 4a 0 x 1 又logax 0 x 1 满足题意 答案 D 4 y 的递减区间是 y 的递减区间是 解析 y 1 y 的递减区间是 1 和 1 要使函数y 有意义 则 0 且1 x 0 1 x 1 y 的递减区间为 1 1 答案 1 和 1 1 1 5 若在区间 2 上 函数f x x2 px q与g x x 在同一点取得相同的最小值 则f x 在该区间上的最大值是 解析 对于g x x 在x 1时 g x 取最小值为2 则f x 在x 1时取最小值2 1 f 1 1 p q