高等代数II-试题01

高等代数()试题一 一. 单项选择题 (2分5=10分) 1设V是实数域上n阶矩阵构成的向量空间, 则V的维数是 ( ) A. n B. n C. D. 2下列变换中, 哪一个是向量空间R3 (R是实数域)的线性变换 （ ） A. (x1 , x2 , x3 ) (x, x2 , x3 ) B. (x1 , x2 , x3 ) (x, x , x3 ) C. (x1 , x2 , x3 ) (x, x , x ) D. (x1 , x2 , x3 ) (x1+x2 , x2+x3 , x3+x1)3. 四个三维向量构成的向量组 （ ） A. 秩为3 B. 秩为4 C. 线性无关 D. 线性相关. 4. 若n阶矩阵A的行列式不为零, 下列数中哪一个一定不是A的特征值 ( ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 35. 向量组（）线性相关的充分必要条件是 （ ） A. 至少有一个零向量 B. 中至少有两个向量成比例 C. 中至少有一个向量可由其余向量线性表示 D. 中任一个部分组都线性相关. 二.多项选择题 (3分4=12分) 1设A是n（n1）阶可逆矩阵, 下列结论中正确的是 ( ) A. |A|0 B. 秩A = n C. 秩A 0 C. | A | = 1 D. | A | = 一1 E. | A | = 1或一14设是向量空间V的可逆线性变换, 1 , 2 ,，n 是V的基，A是关于这个基的 矩阵, 下列结论中正确的是 ( )A. (1) , (2) ,，(n) 也是V的基B. (1) , (2) ,，(n) 不一定是V的基C. A是可逆矩阵D. A-1是-1关于基1 , 2 ,，n 的矩阵E. AT是-1关于基1 , 2 ,，n 的矩阵 三、判断题（你认为命题正确时,在题干后的括号内画“”， 否则画“”, 2分5=10分） 1. 设V是有限维向量空间, 则V的基不唯一. ( )2. 设是向量空间V的线性变换, 则(V)一定是V的平凡子空间. ( )3. 设R3x (R是实数域)是次数不超过三的多项式连同零多项式构成的向量空间, 则x, x2, x3是 R3x的一个基. ( )4. 若两个n阶矩阵A与B有完全相同的特征根, 则A与B相似. ( )5. 任一n (n1) 维欧氏空间一定有标准正交基. ( ) 四、计算题（7分4=28分）1. 求向量组 1 = (1, 2, 1), 2 = (2, 1, 3)，3 = (3, 0, 4), 4= (5, 1, 6) 的一个极大线性无 关组. 并把其余向量用该极大线性无关组线性表示.2.求矩阵的特征值及相应地特征向量. .3.求M2(F)中元素A=在基1=, 2=, 3=, 4= 下的坐标.4. 设1,2, 3, 4是向量空间V的一个基, 且V的线性变换在这个基下的矩阵是 . 求(V)与Ker. 五、证明题（10分4=40分）1 设是向量空间V的线性变换, 1 , 2 ,，m是V中一组线性相关的向量, 证明: (1) , (2) ,，(m) 也线性相关.2. 设是矩阵A的特征值，且, 与是相应地特征向量, 证明： , 线性无关. 3. 设是n维向量空间V的线性变换, 且是单射, 证明, 是V的可逆线性变换.4. 设A是n阶正交矩阵, 且| A | = 1, 证明：1一定是A的一个特征值.高等代数()试题一参考答案及评分标准一 单项选择题（每小题分，共1分）BDAC 二 多项选择题（每小题3分，共12分）A,B,D,E A,B,D A,E A,C,D 三 判断题（每小题2分，共1分）1. 2. 3. 4. 5. 四. 计算题 (每小题7分，共28分）1. 解 以1, 2, 3, 4为列作矩阵 A= 分 对A作行初等变换 A= = B 5分 可知B的列向量与A的列向量有相同的线性关系. 于是1, 2, 3是一个极大的线性无关组, 且 4= 1+(-2)2 +23 7分 2. 解 分1，,33.当1时，得齐次方程组2+分别令 =1, ; =0, 1. 得 （2 ,1 ,0）, 2 （-1 ,0 ,1）,所有特征向量是 +22 ( ,2不同时为零） 5分同理可求得33的特征向量 33 (3不为零), 3 = ( 0,1,1). 7分3. 解 设A = 2分由矩阵的加法和数与矩阵的乘法知 k2 + k3 + k4 = 0 k1 + k3 + k4 = 1 k1 + k2 + k4 = 2 k1 + k2 + k4 = 3 4分 故 k1=0, k2=1, k3=2, k4=3, 因此, A再基1, 2, 3, 4下的坐标是 ( 0,1,2,3). 7分4. 解 先求Ker. 设 Ker, 且的坐标是 ( x1 , x2 , x3 , x4 ), 则()的坐标是 ( 0, 0, 0, 0). 于是有 = . 2分 因秩A= 2, 只需要解前二个方程 2 = 0 2x2 +3= 0 得基础解系（2，）T，（1，2，）T. 因此 Ker= L(, ). 4分再求(V). 因(V) = L ( (1), (2), (3), (4) ), 而( (1), (2), (3), (4) ) = (1, 2, 3,4 ) 由于(1), (2), (3), (4)的秩为2, 且(1), (2) 线性无关, 因此 (V) = L (1), (2). 7分 五. 证明题（每小题10分，共40分）证因为 1 ,2 , m 线性相关, 所以有不全为零的数 k1, k2 , ,k3 使得 k11 + k2 2 + +km m = 0 , 2分于是 (k11 + k2 2 + +km m ) = 0 , 6分即 k1(1) + k2(2) + +km (m ) = 0. 8分故 (1) , (2) , ,(m ) 线性相关. 10分证 设（） 2分则 （）即 （）由（）得 （） 8分（）（）得 （）于是，代入（）, . 故,线性无关.10分 3. 证明 设1, 2, n是V的一个基, 由于是单射, 所以Ker=0.于是(V)的维数是n. V=(V) = L ( (1), (2), (n), 6分 因此, (1), (2), (n)线性无关. 设 (1), (2), (n) = (1, 2, n ) A 则矩阵A可逆, 因此是可逆的线性变换. 10分 4. 证明 由题设