随机过程习题解答.doc

中科院研究生院20042005第一学期 随机过程讲稿 孙应飞随机过程习题解答（三）P311/1. 解：（1）给定时，有（2）任取，我们有：所以Poission过程不是平稳过程。P311/2. 解：（1）由Poission过程的性质，任取，假定事件：则有：，因此有：（2）由，且仅与有关，可知是平稳过程。P312/3. 解：（1）由均值的定义，我们有：（2）由相关函数的定义，任取，我们可得：P312/4. 解：见课上讲稿。P313/5. 证明：由于： 故是宽平稳过程。分别取，则，因为具有不同分布，所以不满足一级严平稳条件。P314/10. 解：样本函数不连续。令：，下面求相关函数：因为：因此该过程是均方连续的随机过程。P314/11. 证明：令：，则有 由车比雪夫不等式：，即有：P315/13. 解：课上已经讲解。P316/17. 解：（1）由均值函数和相关函数的定义，我们有：由，可得（2）有上面的结果知是一宽平稳过程。令：，不具有相同的分布，所以不是一级严平稳过程。P316/18. 解：见维纳过程的课件。P318/22. 解：根据题目给定的条件，有： ，因为：，因此有：P318/23. 解：根据为一平稳过程，则有：，因此有：P318/25. 解：由平稳过程相关函数的定义，有：P319/28. 解：由题意，我们有：设，则有：令：，则有：，因此有：P319/30. 解：（1）由于：因此输入不是平稳的。（2）由计算可得：（3）计算均值函数和相关函数为：因此输出不是平稳的过程。P445/1解题中给出的是一确定性周期信号，令：，因此它们的时间相关函数和功率谱密度分别为：当时，因此有：P445/2. 解：（3）（4）P445/3. 解：由功率谱密度和相关函数的关系，有：P446/4. 解：（1）由功率谱密度和相关函数的关系，有：因此有：（2）由功率谱密度和相关函数的关系，有：P446/5. 解：由功率谱密度和相关函数的关系及是偶函数，我们有：其均方值为：P447/7. 解：（1）冲激响应为：（2）由6题的结果，我们有：注意到的定义，当或时，当时，当时，因此有：（3）由6题的结果，令：，有：P447/8. 解：由Fourier变换，有：因为：则有：因此有：当时，有由于：，显然，所以不关于对称。P448/11. 证明：当时，利用实平稳过程相关函数的非负定性以及，取：；以及，我们有：由此可得：即有：因此有：P450/14. 解：由样本函数可知，假设为第个脉冲到达时刻，则有：根据： ，由我们有： 由于因此，当时，是平稳过程，且由Fourier变换，可得：P452/16. 解：由，且与的独立性及它们的平稳性，有：P452/17. 证明：（1）由：由于：因此：由于：，因此输出过程是平稳过程。（2）由（1）的结果，有： P454/19. 解：令，我们有：P454/21. 解：（1）取：，则有：， 因此有：（2）由（1）的结果，有：由于因此有：P561/1. 解：只要求矩阵的逆矩阵即可。我们有：P562/4. 解：由求特征函数的公式：我们有：P562/6. 解：只要写出特征函数，利用特征函数与数字特征之间得关系，即可计算。略。P563/7. 解：由的密度函数，我们有： 因此有：计算，得：因此是独立的随机变量。由于变换的雅克比行列式为，因此变换后的分布密度为：由此可以确定。P563/8. 解：求边缘分布密度，由于：即服从正态分布，同理也服从正态分布。注意到：我们可以求得随机变量的分布密度为：由全概率公式，我们有：因此，当时，我们有：即：显然，上式第一项表示的是正态分布的项，而第二项是非零的，因此和的线性组合不是一维正态分布，由书中P472的定理一，我们可知不是二维正态分布。P564/10. 解：略。P564/11. 解：（1）根据维纳辛钦定理，我们有：则有故两两不相关，由于是高斯过程，因此它们是独立的。令：，则有：因此有：的联合概率密度为：（2）由于故有：P568/18. 解：我们知道，平稳奥斯坦乌伦贝克过程是正态过程，且有：由公式（见P466例）：我们有：即有：下面计算：当时，有：由于此时当时，有，因此：当时，我们有：因此有：同理可以讨论当和的情形，同样有。由相关函数各态历经性定理可知，平稳奥斯坦乌伦贝克过程具有相关函数各态历经