高三2轮立体几何专题.pdf

1 2013陕西18 2013陕西18 如图 四棱柱ABCD A1B1C1D1的底 D 是正方形 O 为底面中心 A1O 平面 ABCD 立体几何部分专题讲义 面 ABC 一 高考命题热点分析 1 2ABAA 高考题中立体几何至少一小题一大题 考察的 重点热点内容有 1 三视图的识别 转化 根据 三视图求表面积与体积 2 位置关系的判断与推 证 3 空间中角和距离问题等 O O D D1 1C C1 1 在命题形式上在动态变化 存在性问题 探索 性问题以及与其它知识交汇上不断创新 彰显空间 问题平面化 几何问题代数化 立体几何向量化的 特点 二 体验高考 2013 陕西 12 2013 陕西 12 某几 何体的三视图如图所 示 则其体为 3 2012 陕西 5 2012 陕西 5 如图 在 空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC A1B1C1 CA CC1 2CB 则直线 BC1与直线 AB1夹角的余弦 值为 A A 5 5 B 5 3 C 2 5 5 D 3 5 2011 陕西 5 2011 陕西 5 某几何体的三视图如图所示 则它的 体积是 A A 8 8 3 B 8 3 C 82 D 2 3 B B1 1 A A D D C C A A B B 1 1 证明 A1C 平面 BB1D1D 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角 的大小 角 平面 OCB角 平面 OCB1 1与平面 BB与平面 BB1 1D D1 1D 的夹D 的夹 为为 3 11 2 11 2 1 1 2012 陕西 18 2012 陕西 18 1 如图所示 证明命题 a是平面 内的一条直线 b是 外的一条直线 b不垂直于 c是直线b在 上的投影 若a b 则a c 线 b 上异于点 A 的任 O a c b 是 外的 的投 影 若 为真 2 写出上述命题的逆命题 并判断其真假 不需 证明 解 1 证 如图 记 c b A P 为直 意一点 过 P 作 PO 垂足为 PO a 直线 PO 又 a b b 平面 PAO PO b P O 则 O c a a 平面 PA 又 c 平面 PAO 2 逆命题为 a 是平面 内的一条直线 一条直线 b 不垂直于 c 是直线 b 在 上 a c 则 a b 逆命题为真命题 2 201 201BC 中 ABC AD 是 BC 上的高 沿 AD折起 1 证明 平面 ADB 平面 BDC 2 设 E 为 BC中点 求 60 把 ABD 1 陕西 16 1 陕西 16 在 A BAC90 使 BDC 90 的AE 与夹角的余弦 值 DB AE 与与DB 夹角的余弦值是夹角的余弦值是 22 22 第一讲 考纲解读 空间几何体 空间几何体 能画出简 圆锥 三视图 能识别上述三视图 空间几何体 一 1 1 单空间图形 长方体 球 圆柱 棱柱等的简易组合 的 所表示的立体模型 会用斜二侧法画出它们的直观 图 了解球 棱柱 棱锥 台的表面积和体积公式 考点 1 空间几何体与三视图 考点 1 空间几何体与三视图 的三视图如图所示 则该几何体 例 1 2013 四川 3 例 1 2013 四川 3 一个几何体 的直观图可以是 D 训练 1 2013 全国 7 训练 1 2013 全国 7 一个四面体的顶点在空间直角 标系Oxyz 中的坐标分别是 1 0 1 1 1 0 坐 点 2 三视图与空间几何体的表面积体积 2 3 广东 5 点 2 三视图与空间几何体的表面积体积 2 3 广东 5 四棱台的三视图如图 则 该四棱台的体积是 B A 0 1 1 0 0 0 画该四面体三视图中的正视图时 以zOx平面为投影面 则得到正视图可以为 A A B C D 考 考 1 201 201 某例例所示 4 B 14 3 C 16 3 D 训练2 2013湖北8 训练2 2013湖北8 一几何体的三视图如图所示 该几何体从由四个简单几何体组成 其体积分 别记 上 两个简单几何体均为旋转 下面两个简单几何体均 6 个 上到下 为 1 VV2 3 V 4 V 面 体 为多面体 则有 C A 1243 VVVV B 1324 VVVV 2134 C VVVV D 2314 VVVV 点 3 三视图与空间几何 考 点 3 三视图与空间几何 考 正视图侧视图 俯视图 2 1 1 1 2 3 体的表面积体积 2013 辽宁 10 体的表面积体积 2013 辽宁 10 已知直三棱柱 ABC A1B1C1的 6 顶点都在球 O 的球面上 若 AB 3 AC 4 AB 例 3 例 3 个 AC AA1 12 则球 O 的半径为 C A 3 17 2 B 2 10 C 13 2 D 3 10 训练 3 2013 新课标 6 训练 3 2013 新课标 6 如图 有一个水平放置的 透盖的容器 在容器口 再向容器内加水 当球面恰好接触水面 明无正方体 容器高cm 将一个球放8 时测得水深为cm6 如果不计容器的厚度 则球的 体积为 A A 3 3 500 cm B 3 3 866 cm C 3 3 1372 cm D 3 3 2048 cm 第二讲 空间中的平行与垂直关系 一 考纲解读 理解空间直线 平面位置关系的定义 并了解 可以作为推理依据 的公理和定理 公理 1 公理 1 如果一条直线上的两点 在同一个平面内 么这条直线在此平面内 如下 那 ABAB 公理 2 公理 2 过不在一条直线上的三点 有且只有一个 么它们有且只有一条过改点的公共直线 平面 公理 3 公理 3 如果两个不重合 的平面有一个公共点 那 PPlPl 公理 4 公理 4 平行于同一条直线的两条直线平行 ac bcab 定理 定理 空间中如果两个角的两条边分别对应平行 那 么这两个角相等或互补 11 180oB 1111 1111 OAO A OBO B AOBAO BAOBAO 或 理解以下判断定理 则该 直线与此平面平行 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行 abaab 一个平面内的两条相交 直线与另一个平面都 平行 则这两个平面平行 ababP ab 一条直线与一个平面内的两条 相交 直线都垂直 则 该直线与此平面垂直 mnmnP lm lnl 一个平面过 另一个平面的垂线 则两个平面垂直 aa 理解以下性质定理 并能够证明 一条直线与一个平面平行 则过该直线的任一个 b 平面与此平面的交线 与该直线平行 aa ba 两个平面平行 则任意一个平面与这两个平面相 b 交所得的交线 相互平行 aba 垂直于同一个平面的两条直线平行 abab 两个平面垂直 则一个平面内垂直 于交线 的直线与 另一个平面垂直 l aala 4 例 1例 1 2013 江苏 16 2013 江苏 16 如图 在三棱锥中 ABCS ABCS 平面 SAB平面SBC BCAB ABAS 过A作SBAF 垂足为F 点GE 分别是棱 SCSA 的中点 求证 1 平面平面 2 1 又 E G 是 SA SC 的中点 EF AB EG AC EF 平面 ABC EG 平面 ABC 又 EFEG E 平面 EFG 平面 ABC 2 平面平面 平面 又 AFAB A EFG EFGABCABC SABC SABC AS AB SBAF F 为 SB 的中点 AS AB SBAF F 为 SB 的中点 SAB SBC SAB SBC SBC BC SBC BC SBAF SBAF AF AF AFAF BCAB BCAB BC 平面 SAB BC SA 例例 4 例 1例 1 2013 江苏 16 2013 江苏 16 如图 在三棱锥中 平面 SAB平面SBC BCAB ABAS 过A作SBAF 垂足为F 点GE 分别是棱 SCSA 的中点 求证 1 平面平面 2 1 又 E G 是 SA SC 的中点 EF AB EG AC EF 平面 ABC EG 平面 ABC 又 EFEG E 平面 EFG 平面 ABC 2 平面平面 平面 又 AFAB A BC 平面 SAB BC SA 例 2 2013 全国 19 例 2 2013 全国 19 如图 四棱锥 90 2 PABCDABCBADBC ADPABPAD 中 与都是等边三角形 I 证明 II 求 PBCD PDC APD平面与平面夹角大小 3 6 arccos夹角大小为 训练 1 训练 1 如图 已知直角梯形 ABCD 中 AB CD AB BC AB 1 BC 2 31CD 过 A 作 AE CD 垂 足为 E G F 分别为 AD CE 的中点 将 ADE 沿 AE 折叠 使得 DE EC 1 求证 BC 平面 CDE 2 求证 FG 平面 BCD 3 在线段 AE 上找一点 R 使得平面 BDR 平面 DCB 并说明理由 点 R 满足 3AR RE 时 点 R 满足 3AR RE 时 阅卷现场评分细则 阅卷现场评分细则 阅卷案例 2013 辽宁 18 阅卷案例 2013 辽宁 18 本小题满分 12 分 如图 AB 是圆的直径 PA 垂直圆所在的平面 C 是圆上的点 A B C S G F E 1 求证 平面 PAC 平面 PBC 2 若 AB 2 AC 1 PA 1 求二面角 C PB A 的余弦值 5 明 由圆的得 AC 1 标准解答 标准解答 1 证AB 是直径 BC分 由面 AC 分 6 11 4 分 由题意知二面角 C PB A 的余弦值为 6 12 分 PA 平BC BC 平面 AB 得 PA BC 24 又 PA AC A PC PA平面 AC A平面 PAC 评析评析 1 本题涉及三棱锥的概念与性质 解三角 所以 BC 平面 PAC 4 分 形 线面垂直的判定与性质 二面角的概念等知识 平面垂直 求出二面角 因为 BC平面 PBC 所以平面 PBC 平 PAC 6 分 点 2 本题要求证明平面与 的平面角 证明过程要求严格规范 框线内是给分点 2 过 C 作 CM AP 则 CM 平面 ABC 以点 C 为坐标原点 分别以直线 CB CA CM x 轴 y 轴 z间直角坐标系 少一个扣一个的分 3 涉及数形结合 化归与转化 如图 为 等基本数学思想 能考查空间想象能力 第三讲 空间向量与简单几何体 考纲解读 空间向量与立体几何 理解直线方向向量与平面法向量 能用向量语言表述线线 线面 面面的平行和垂直 系 能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系 轴建立空 一 关 3因为 AB 2 AC 1 所以 BC 因为0 1 PA 1 所以 A 0 B 3的一些简单定理 包括三垂线定理 直线与平面 平面 0 0 P 0 1 1 能用向量方法解决直线与直线 故 CB 3 0 0 0 1 1 8 分 设平面 BCP 的法向量为 n n1 x y z 所以 CP 与平面的夹角计算问题 二 主干知识 则 1 0 CB n n 1 0 CP n n 30 0 x yz y 1 则 n n1 0 1 1 9 分 因为 不妨令 AP 0 0 1 AB 3 1 0 设平面 ABP 的法向量为 n n2 x y z 则所以 2 2 0 0 AP AB n n n n 0 30 z xy 不妨令 x 1 则 n n2 1 3 0 10 分 于是 cos n n1 n n2 12 2 22222 12 0 1 11 3 0 01 1 130 nn n n 6 考点 1 空间向量处理空间线面关系 空间角 考点 1 空间向量处理空间线面关系 空间角 例 1 2013 重庆 19 例 1 2013 重庆 19 如图 四棱锥中 底面 PABCD PAABCD 2BCCD 4AC 3 ACBACD F为PC的中点 AF 求的 答答 1 PB PA长 BFADFA求平面与平面所成角正弦值 案 案 PA 2 3 2 正弦值为 3 7 8 训 训BCDE DE 平面 ACD AC AD CD DE 2 AB 1 G 为 AD 中 点 1 请在线段 CE 上找到点 F 的位置 使得恰有直 线 F 平面 ACD 并证明 2 求平面 BCE 与平面 ACD 所成角的大小 3 求点 G 到平面 BCE 的距离 选做 答案 答案 1 练 1 练 1 如图 多面体 A中 AB 平面 ACD B F 为线段 CE 中点 2 夹角为 4 3 距离为 3 2 4 向量解决探索性问题 向量解决探索性问题 在四棱柱 考点 2 利用空间 例 2 2013 福建 19 考点 2 利用空间 例 2 2013 福建 19 如图 1111 ABCDABC D 中 侧棱 1 AAABCD 底面 ABDC 1 AA1 3k 4ADk AB 5BCk 6DCk 0 k 1 求证 11 CDADD A 平面 2 若直线 1 AA与平面ABC所成角的正弦值为 1 6 7 求k的值 3 现将与四棱柱形状和大小完 相同的两个四棱柱拼的棱柱 规定 若 接成的新的四棱柱形全相同 则视为同 种拼接方案 问 共的方案 在这些拼 1111 ABCDABC D 接成一个新 状和大小完 有几种不同 全 拼 一 接成的新四棱柱中 记其中最小的表面积为 f k 写出 f k的表达式 直接写出答案 不必要说明理 案 案 2 的值为 1 3 共有种不同的方案 由 答答 k 4 2 2 5 7226 0 18 5 3636 18 kkk f k kk k 7 强 强 给定下列命题 各个面都是三角形的几何体是三棱锥 以三角形的一条边所在直线为旋转轴 其余两边 锥 棱锥可能是六棱锥 其中不正确的命题是 化训练 化训练 绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等 则该 侧棱都相等的四棱锥的各顶点必在同一球面上 如图 如图 AB是圆的直径 点是圆上 异于 OCO A B的点 直线PC 平面ABC E 分F 别是PA PC的中点 记平面与平面BEFABC的交线为 试判l 断直线l与平面PAC的位置关系 并加以证明 设 中的直线l与圆的另一个交点为O D 且点Q满足 1 2