第十九章含参量积分.doc

第十九章 含参量积分1 含参量正常积分从本章开始我们讨论多元函数的各种积分问题，首先研究含参量积分.设是定义在矩形区域上的二元函数.当取上某定值时，函数则是定义在上以为自变量的一元函数.倘若这时在上可积分，则其积分值是在上取值的函数，记它为，就有 （1） 一般地，设为定义在区域上的二元函数，其中，为定义在上的连续函数（图19-1），若对于上每一固定的值，作为的函数在闭区间上可积分，则其积分值是在上取值的函数，记作时，就有 （2） 高等教育出版社图19-1用积分形式所定义的这两个函数（1）与（2），通常为定义在上的含参量的（正常）积分，或简称含参量积分. 下面讨论含参量积分的连续性、可微性与可积性. 定理19.1(连续性) 若二元函数在矩形区域上连续，则函数 在上连续. 证 设，对充分小的，有（若为区间的端点，则仅考虑（或），于是 （3）由于在有界闭域R上连续，从而一致连续，即对任给的正数，总存在某个整数，对内任意两点与，只要就有 （4）所以由(3),(4)可推得；当这就证得在上连续.同理可证：若在矩形区域上连续，则含参量的积分 （5）在上连续. 对于定理19.1的结论也可以写成如下的形式：若在矩形区域上连续，则对任何，都有这个结论表明，定义在矩形区域上的连续函数，其极限运算与积分运算的顺序是可以交换的. 定理19.2（连续性） 设二元函数在区域上连续，其中，为上连续函数，则函数 （6）在上连续 证 对积分（6）用换元积分法，令 当在与取值时，在上取值，且所以从（6）式可得 =.由于被积函数在矩形区域上连续，由定理19.1得积分（6）所确定的函数在上连续. 下面讨论含参量积分的求导与积分运算的可交换性. 定理19.3（可微性） 若函数与其偏导数都在矩形区域上连续，则在上可微，且.证 对于内任意一点，设（若为区间端点，则讨论单侧导数），则由微分学的拉格朗日中值定理及在有界闭域R上连续（从而一致连续），对任给正数，存在正数，只要当时，就有 其中.因此 这就证得对一切，有定理19.4（可微性）设在上连续，为定义在上其值含于内的可微函数，则函数在上可微，且 （7）证 把看作复合函数：由复合函数求导法则及活动上限积分的求导法则，有关于函数和的可积性，可由定理19.1与定理19.2推得：定理19.5（可积性） 若在矩形区域上连续，则和分别在和可积.这就是说：在连续性假设下，同时存在两个求积顺序不同的积分：与.为书写简便起见，今后将上述两个积分写作和前者表示先对求积然后对求积，后者则求积顺序相反，它们统称为累次积分，或更确切地称为二次积分.下面的定理指出，在连续性假设下，累次积分与求积顺序无关.定理19.6 若在矩形区域上连续，则 =.证 记 其中，现在分别求与的导数。对于，令，则有 .因为与都在R上连续，由定理19.3，故得，因此对一切，有（为常数）当时，于是，即得 .取，就得到所要证明的（8）式。 2 含参量反常积分一 一致收敛性及其判别法设函数定义在无界区域上，若对每个固定的，反常积分 （1）都收敛，则它的值是在上取值的函数，当记这个函数为时，则有 ， （2）称（1）式为定义在上的含参量的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分.如同反常积分与数项级数的关系那样，含参量反常积分与函数项级数在所研究的问题与论证方法上也极为相似.首先引如含参量反常积分的一致收敛概念及柯西准则.定义1 若含参量反常积分（1）与函数对任给的正数，总从在某一实数，使得当时，对一切，都有即 则称含参量反常积分（1）在上一致收敛于，或简单地说含参量积分（1）在上一致收敛. 定理19.7（一致收敛的柯西准则） 含参量反常积分（1）在上一致收敛的充要条件是：对任给正数，总存在某一实数，使得当时，对一切，都有 (3)定理19.8 含参量反积分（1）在上一致收敛的充要条件是：对任一趋于的递增数列（其中），函数项级数 （7）在上一致收敛. 证 必要性由（1）在上一致收敛，故对任给，必存在,使当时，对一切，总有| . (8)又由，所以对正数，存在正整数，只要当时，就有.由（8）对一切，就有 = .这就证明了级数（7）在上一致收敛. 充分性 用反证法.假若（1）在上不一致收敛，则存在某个正数，使得对于任何实数，存在相应的和，使得.现取，则存在及，使得一般地，取，则有及使得.由上述所得到的数列是递增数列，且现在考察级数由（9）式知存在正数对任何正数,只要，就有某个使得这与级数（7）在上一致收敛的假设矛盾.故含参量反常积分（1）在上一致收敛. 下面列出含参量反常积分的一致收敛性判别法.由于它们的证明与函数项级数相应的判别法相仿，故从略. 维尔斯特拉斯M判别法 设有函数使得若收敛，则在上一致收敛. 狄利克雷判别法 设(i) 对一切实数，含参量反常积分 对参量在上一致有界，即存在正数M，对一切及一切都有 （ii）对每一个函数关于是单调递减且当时，对参量，一致地收敛于0， 则含参量反常积分 在上一致收敛. 阿贝尔判别法 设（i）在上一致收敛； （ii）对每一个函数为的单调函数，且对参量，在上一致有界，则含参量反常积分 在上一致收敛.二 含参量反常积分的性质 定理19.9（连续性） 设在上连续，若含参量反常积分 （12）在上一致收敛，则在上连续. 证 由定理19.8，对任一递增且趋于的数列，函数项级数 （13）在上一致收敛，又由于在上连续，故每个都在上连续.根据函数项级数的连续性定理，函数在上连续. 这个定理也表明，在一致收敛的条件下，极限运算和积分运算可以交换： （14）定理19.10（可微性）设与在区域上连续.若在上收敛，在上一致收敛，则在上可微，且 （15） 证 对任一递增且趋于的数列，令 由定理19.3推得 由在上一致收敛及定理19.8，可得函数项级数在上一致收敛，因此根据函数项级数的逐项求导定理，即得或写作最后结果表明在定理条件下，求导运算和积分运算可以交换. 定理19.11(可积性) 设在上连续，若在上一致收敛，则在上可积，且 （16）证 由定理19.9知道在上连续，从而在上可积. 又由定理19.9的证明可以看到，函数项级数（13）在在上一致收敛，各项在上连续，因此根据函数项级数逐项求积定理，有 （17）这里最后一步是根据定理19.6关于积分顺序的可交换性.（17）式又可写作 这就是（16）式. 当定理19.11中的取值范围为无限区间时，则有如下定理： 定理19.12 设在上连续.若 （i）关于在任何闭区间上一致收敛，关于在任何闭区间上一致收敛； （ii）积分与 （18）中有一个收敛， 则（18）中另一个积分也收敛，且 （19） 证 不妨设设（18）中第一个积分收敛，由此推断得也收敛.当时， .根据条件（i）及定理19.11，可推得有条件（ii），对于任给的，有，使当时，有选定后,由的一致收敛性，存在，使得当时有把这两个结果应用到（20）式，得到 即这就证明了（19）式. 定义2 对任给正数，总存在某正数使得当时，对一切都有则称含参量反常积分（25）在上一致收敛. 读者可参照含参量无穷限反常积分的办法建立相应的含参量无界函数反常积分的一致收敛性判别法，并讨论他们的性质，这里不再赘述了. 3 欧拉积分含参量积分： （1） （2）在应用中经常出现，它们统称为欧拉积分，其中前者又称为格马函数（或许写作函数），后者称为贝塔函数（或写作B函数）.下面我们分别讨论这两个函数的性质. 一 函数 函数可写成如下两个积分之和：其中当时是正常积分，当时是收敛的无界函数反常积分（可用柯西判别法推得）；当时是收敛的无穷限反常积分（也可用柯西判别法推得），所以含参量积分（1）在时收敛，即函数的定义域为. 1. 在定义域内连续且可导 在任何闭区间上，对于函数，当时有，由于收敛，从而在上一致收敛；对于，当时，有，由于收敛，从而在上也一致收敛，于是在上连续. 用上述相同的方法考察积分它在任何闭区间上一致收敛.于是由定理19,10得到在上可导，由的任意性，在上可导，且仿照上面的办法，还可推得在上存在任意阶导数：2. 递推公式对下述积分应用分部积分法，有让就得到这个函数的递推公式： （3） 设即应用递推公式（3）次可得到 （4）公式（3）还指出，如果已知在上的值，那么在其他范围内的函数值可又它计算出来. 若为正数，则（4）式可写成 . (5) 3. 函数图像的讨论 对一切，和恒大于0，因此的图像位于轴上方，且是向下凸的.因为，所以在上存在唯一的极小点且又在内严格减；在内严格增. 由于及，故有由（5）式及在上严格增可推得综上所述，函数图像如图 高等教育出片社19-2中部分所示. 4. 延拓 改写递推公式（3）为 （6）当时，（6）式右端有意义，于是可应用（6）式来定义左端函数在内的值，并且可推得这时 用同样的方法，利用已在内有定义这一事实，由（6）时又可定义在内的值，而且这是依次下去把延拓到整个数轴（除了以外），其图像如图高等教育出片社19-2中部分所示. 5. 的其他形式 在应用上，也常以如下形式出现.如令，则有令，就有 （7） 二 B函数 B函数（2）当时，是以为瑕点的无界函数反常积分；当时，是以为瑕点的无界函数反常积分.应用柯西判别法可证得当时这两个无界函数反常积分都收敛，所以函数的定义为. 1在定义域.内连续 由于对任何成立不等式而积分收敛，故由魏尔斯特拉斯M判别法知在上一致收敛.因而推得在 内连续. 2. 对称性：作变换，得3. 递推公式 （8） （9） 证