（试题 试卷 真题）第14讲 几何体及其面积与体积

第14讲 几何体及其面积与体积一考纲要求（1）了解多面体、凸多面体、正多面体的概念和欧拉公式（2 了解棱柱、棱锥的概念，掌握棱柱、正棱锥的性质和它们的表面积、体积公式（3）掌握球的表面积、体积公式（4）掌握折叠问题二基础过关1. 下面是关于四棱柱的四个命题：若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；若四棱柱的四条对角线两两全等，则该四棱柱为直四棱柱。其中真命题的个数是 （ C ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）32. 棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ C ）ABCD3. 两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是 （ C ） A. B. C. D. 4. 一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ A ）A3B4CD65. 在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是 （ B ）（B）（D）（C）（A）BC1QPA1B1AC6. 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，P、Q分别为棱AA1、BB1上的点，且AP=B1Q,则与的比为（ A ）AB C D三案例探究FEMHG1如图,已知多面体ABCDE中，AB面ACD，DE面ACD，ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F是CD中点，（1）求证：AF面BCE；（2）求多面体ABCDE的体积；（3）求二面角CBED的正切值（北京东城区04）.证明：（1） 取CE的中点M，连接BM，FM，易得四边形AFMB为平行四边形， 故AF面BCE （2） DE面ACD，故DEAF，又ACD是等边三角形，则AFCD 故AF面ECD 故BM面ECD （3）设G是AD的中点，连接CG，则CGAD 由DE平面ACD 故DECGCG平面ADEB， 作GHBE，连接CH，则CHBE CHG为二面角CBED的平面角 易得 2. ABC中，AC=BC=1，ACB=，点D在斜边AB上，DCB=（为锐角），把BCD沿CD折起到B1CD的位置，使得平面B1CD平面ACD，（1）求点B1到平面ACD的距离（用表示）；（2）当B1CAD，求三棱锥B1ACD的体积；CAAABADACABADAAAB1HAHA解：（1）过点B1作， 平面B1CD平面ACD 垂足H在CD上故 B1H为点B1到平面ACD的距离在RtBCH中，易得B1H= （2） 解：如图，以C为原点，CA、CB、CE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系C-xyz，则C(0，0，0），A(1，0，0），在BCD中， CD=故D（），B1（），）又，故（）（）=0解得 故A1B1C1CD1BDA3. 如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CB=C1CD=BCD=，（1）证明：C1CBD；（2）假设CD=2，C1C=，记面C1BD为, 面CBD为，求二面角BD的平面角的余弦值；H（3）当的值为多少时，能使A1C平面C1BD？请给出证明.解：（1)证明：连结A1C1、AC、AC和BD交于O，连结C1O 四边形ABCD是菱形， ACBD，BD=CD又BCC1=DCC1，C1C= C1C， C1BCC1DC C1B=C1D， DO=OB C1OBD， 但ACBD，ACC1O=O， BD平面AC1，又C1C平面AC1 C1CBD (2)解：ACBD，C1OBD， C1OC是二面角BD的平面角在C1BC中，BC=2，C1C=，BCC1=60， C1B2=22()222cos60= OCB=30， OB=BC=1C1O2= C1B2OB2=， C1O=即C1O= C1C作 C1HOC，垂足为H 点H是OC的中点，且OH=，所以cosC1OC= (3)当=1时，能使A1C平面C1BD法一： =1， BC=CD= C1C，又BCD=C1CB=C1CD，由此可推得BD= C1B = C1D 三棱锥CC1BD是正三棱锥 设A1C与C1O相交于G A1 C1AC，且A1 C1OC=21， C1GGO=21又C1O是正三角形C1BD的BD边上的高和中线， 点G是正三角形C1BD的中心， CG平面C1BD即A1C平面C1BD 法二：由()知，BD平面AC1， A1 C平面AC1，BDA1 C 当=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同BDA1 C的证法可得BC1A1C，又BDBC1=B， A1C平面C1BD 四热身演练1. 棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分侧棱、侧面积、体积时，相应截面面积记作、，则 ( A ) (A) (B) (C) (D)2. 球面上有3个点，其中任意两点的球面积距离都等于大圆周长的，经过这三点的小圆周长为4，那么这个球的半径为（ B ）A4B2C2D3. A、B、C是表面积为48的球面上三点，AB=2，BC=4，ABC=60，O为球心，则直线OA与截面ABC所成的角是 （ C ）（A）arcsin （B）arccos （C）arcsin （D）arccos4. 把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为5. 已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H，若四面体EFGH的表面积为T，则6. 侧棱长为1的正三棱锥三条侧棱两两垂直，它的顶点都在同一球面上，此球的体积为7. 一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，五个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为BAC8已知凸多面体每个面都是五边形，每个顶点都有三条棱相交，则该凸多面体的面数为12_，顶点数为20_9. 如右图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，ABC的值为ABCDA1B1C1D110. 已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，A1A平面ABCD，AB=4，AD=2.若B1DBC，直线B1D与平面ABCD所成的角等于30，求平行六面体ABCDA1B1C1D1的体积.解：B1DBC，B1DADAD平面BB1D ADBD 故BD=，故BB1=2 故ABA1CC1B1DM11. 如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=1，CB=，侧棱AA1=1,侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M，（1）求证：CD平面BDM；G（2）求面B1BD与面CBD所成二面角的大小.F证明：（1）连接CA1，AC1，CM 易知CBA1为等腰三角形 ，且CB= 而D为A1B的中点 故CDA1B 易得CDDM 故 CD平面BDM （2）取BC、BD的中点F、G，连接B1G、B1F、FG FG=，FGBD 易得BB1 D为边长为1的正三角形 B1GBD B1G=B1GF为面B1BD与面CBD所成二面角的平面角易得在B1GF中，有余弦定理得故面B1BD与面CBD所成二面角的大小为.BC1MNA1B1ACP12如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=3，AA1=4，M为棱AA1的中点，P是BC上的一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线为，设这条最短路线与CC1的交点为N，求（1）三棱柱的侧面展开图的对角线长；（2）PC和NC的长；（3）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小.（用反三角函数表示）（2004年北京市高考题）解：(1)正三棱柱ABCA1B1C1的侧面展开图是长为9，宽为4的矩形，其对角线长为 (2) 将侧面BB1CC1绕棱CC1旋转120，使其与面