高考数学 1.2命题及其关系、充分条件与必要条件配套课件 文 新人教A版.ppt

第二节命题及其关系 充分条件与必要条件 1 命题 陈述句 陈述句 真命题 假命题 2 四种命题及其相互关系 1 四种命题间的相互关系 若q 则p 若p 则q 若q 则p 2 四种命题中的等价关系 原命题等价于 否命题等价于 在四种形式的命题中真命题的个数只能是 逆否命题 逆命题 0或2或4 3 充要条件 1 相关概念 充分 必要 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要 2 集合与充要条件 真子集 真子集 a b 包含 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 若原命题 若p 则q 为真 则在这个命题的否命题 逆命题 逆否命题中真命题的个数是1 2 已知命题 若p成立且q成立 则r成立 则其逆否命题是 若r不成立 则p不成立且q不成立 3 命题 若p不成立 则q不成立 等价于 若q成立 则p成立 4 已知集合a b 则a b a b的充要条件是a b 解析 1 错误 原命题为真时 如果逆命题也为真 则否命题 逆否命题均为真 2 错误 p成立且q成立 的否定是 p不成立或者q不成立 3 正确 根据命题与其逆否命题等价可得 4 正确 充分性是显然的 只要结合venn图即可判定必要性 答案 1 2 3 4 1 有以下命题 集合n中最小的数是1 若 a不属于n 则a属于n 若a n b n 则a b的最小值为2 x2 1 2x的解可表示为 1 1 其中真命题的个数为 a 0 b 1 c 2 d 3 解析 选a 假命题 集合n中最小的数是0 假命题 如a 假命题 如a 0 b 0 假命题 1 1 与集合元素的互异性矛盾 2 有以下命题 若x y 0 则x y互为相反数 的逆命题 全等三角形的面积相等 的否命题 若q 1 则x2 2x q 0有实根 的逆否命题 不等边三角形的三个内角相等 的逆命题 其中真命题为 a b c d 解析 选c 的逆命题是 若x y互为相反数 则x y 0 为真命题 的否命题是 不全等的三角形的面积不相等 为假命题 的逆否命题是 若x2 2x q 0没有实根 则q 1 为真命题 的逆命题是 三个内角相等的三角形是不等边三角形 为假命题 3 设a b是向量 命题 若a b 则 a b 的逆命题是 a 若a b 则 a b b 若a b 则 a b c 若 a b 则a b d 若 a b 则a b 解析 选d 原命题的条件是a b 作为逆命题的结论 原命题的结论是 a b 作为逆命题的条件 即得逆命题 若 a b 则a b 故选d 4 已知p 4 k 0 q 函数y kx2 kx 1的值恒为负 则p是q成立的 a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件 解析 选a 4 k 0 k 0 k2 4k 0 函数y kx2 kx 1的值恒为负 不一定有 4 k 0 如k 0时 函数y kx2 kx 1的值恒为负 即p q 而q p 5 设a r 则a 1是的 a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件 解析 选a a 1 则 条件充分 反之不真 如a 1 6 是 cos cos 的 a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件 解析 选b 问题等价于判定cos cos 是 成立的何种条件 显然是必要不充分条件 考向1命题及其相互关系 典例1 1 2012 湖南高考 命题 若则tan 1 的逆否命题是 a 若则tan 1 b 若则tan 1 c 若tan 1 则 d 若tan 1 则 2 命题 若f x 是奇函数 则f x 是奇函数 的否命题是 a 若f x 是偶函数 则f x 是偶函数 b 若f x 不是奇函数 则f x 不是奇函数 c 若f x 是奇函数 则f x 是奇函数 d 若f x 不是奇函数 则f x 不是奇函数 思路点拨 1 把否定的结论作条件 否定的条件作结论即可得出 2 条件的否定作条件 结论的否定作结论即可得出 规范解答 1 选c 原命题的逆否命题是 若tan 1 则 故选c 2 选b 条件的否定是 f x 不是奇函数 结论的否定是 f x 不是奇函数 故该命题的否命题是 若f x 不是奇函数 则f x 不是奇函数 拓展提升 否定的方法 1 一些词语及其否定 2 在根据原命题构造其否命题和逆否命题时 首先要把条件和结论分清楚 其次把其中的关键词搞清楚 提醒 否定时注意易混的关键词 如 都不是 和 不都是 其中 都不是 是指的一个也不是 不都是 指的是其中有些不是 变式训练 已知 命题 若函数f x ex mx在 0 上是增函数 则m 1 则下列结论正确的是 a 否命题是 若函数f x ex mx在 0 上是减函数 则m 1 是真命题 b 逆命题是 若m 1 则f x ex mx在 0 上是增函数 是假命题 c 逆否命题是 若m 1 则函数f x ex mx在 0 上是减函数 是真命题 d 逆否命题是 若m 1 则函数f x ex mx在 0 上不是增函数 是真命题 解析 选d f x ex m 0在 0 上恒成立 即m ex在 0 上恒成立 故m 1 这说明原命题正确 反之若m 1 则f x 0在 0 上恒成立 故逆命题正确 增函数的否定是 不是增函数 结合选项知选d 考向2充分条件 必要条件的判断 典例2 1 2013 湛江模拟 lgx lgy lgz成等差数列是y2 xz成立的 a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件 2 2012 天津高考 设 r 则 0 是 f x cos x x r 为偶函数 的 a 充分而不必要条件 b 必要而不充分条件 c 充分必要条件 d 既不充分也不必要条件 思路点拨 1 利用对数的性质 等差数列的性质及充分条件 必要条件的概念进行判断即可 2 根据三角函数性质 条件的充分性是显然的 只要根据偶函数的定义 在函数f x cos x x r 是偶函数的条件下求出 值 然后根据必要条件的概念判断即可 规范解答 1 选a 若lgx lgy lgz成等差数列 则lgx lgz 2lgy 即xz y2 反之 当x 2 z 8 y 4时 满足y2 xz 但lgx与lgz无意义 故lgx lgy lgz成等差数列是y2 xz成立的充分不必要条件 2 选a 方法一 0时 f x cosx 此时f x cos x cosx f x 对任意实数x恒成立 函数f x 是偶函数 即 0 f x cos x 为偶函数 当f x cos x 为偶函数时 根据三角函数的诱导公式 只要 k k z 则f x cosx或者f x cosx 此时函数f x 是偶函数 但 0只是其中的一个值 所以f x cos x 为偶函数时 不一定等于零 所以 0 是 函数f x cos x x r 为偶函数 的充分而不必要条件 方法二 0 f x cos x 为偶函数同方法一 当f x cos x 为偶函数时 根据偶函数的定义 对任意实数x恒有f x f x 即cos x cos x 对任意实数x恒成立 即cosxcos sinxsin cosxcos sinxsin 对任意实数x恒成立 即sinxsin 0对任意实数x恒成立 其充要条件是sin 0 即 k k z 即函数f x cos x 为偶函数的 的集合是 k k z 由于 0只是这个集合中的一个元素 故 0 是 函数f x cos x x r 为偶函数 的充分而不必要条件 拓展提升 充要条件的三种判断方法 1 定义法 即根据p q q p进行判断 2 集合法 根据p q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断 3 等价转化法 根据一个命题与其逆否命题的等价性 把要判断的充要条件转化为其逆否命题进行判断 这个方法特别适合以否定形式给出的问题 如 xy 1 是 x 1或者y 1 的何种条件 即可转化为判断 x 1且y 1 是 xy 1 的何种条件 变式训练 1 若非空集合a b c满足a b c 且b不是a的子集 则 a x c 是 x a 的充分不必要条件 b x c 是 x a 的必要不充分条件 c x c 是 x a 的充要条件 d x c 既不是 x a 的充分条件也不是 x a 的必要条件 2 是 一元二次方程x2 x m 0有实数解 的 a 充分不必要条件 b 充要条件 c 必要不充分条件 d 既不充分也不必要条件 解析 1 选b a b c 且b不是a的子集 说明集合c a 又a a b c 即集合a c 这说明集合a的元素都在集合c中 但集合c中的元素至少有一个不在集合a中 结合选项可知正确选项为b 2 选a 一元二次方程x2 x m 0有实数解时m满足1 4m 0 即故反之不成立 所以 是 一元二次方程x2 x m 0有实数解 的充分不必要条件 考向3充分条件 必要条件的探究与证明 典例3 已知集合m x x 3或x 5 p x x a x 8 0 1 求实数a的取值范围 使它成为m p x 5 x 8 的充要条件 2 求实数a的一个值 使它成为m p x 5 x 8 的一个充分不必要条件 思路点拨 1 只要求出集合p 使m p x 5 x 8 此时的a的取值范围即为所求 2 只要在 1 中求出的实数a的取值范围内找到一个a值 破坏其中的必要性即可 规范解答 1 由m p x 5 x 8 结合集合m p可得 3 a 5 故 3 a 5是m p x 5 x 8 的必要条件 下面证明这个条件也是充分的 证明 当 3 a 5时 集合p x a x 8 集合m x x 3或x 5 故m p x 5 x 8 综上可知 3 a 5是m p x 5 x 8 的充要条件 2 求实数a的一个值 使它成为m p x 5 x 8 的一个充分不必要条件 就是在集合 a 3 a 5 中取一个值 如取a 0 此时必有m p x 5 x 8 反之 m p x 5 x 8 未必有a 0 故a 0是m p x 5 x 8 的一个充分不必要条件 互动探究 本例中条件不变 求实数a的取值范围 使它成为m p x 5 x 8 的一个必要不充分条件 解析 求实数a的取值范围 使它成为m p x 5 x 8 的一个必要不充分条件就是另求一个集合q满足所述条件 故 a 3 a 5 是集合q的一个真子集 当 a a 5 时 未必有m p x 5 x 8 但是m p x 5 x 8 时 必有a 5 故 a a 5 是所求的一个必要不充分条件 拓展提升 充要条件的证明方法在解答题中证明一个论断是另一个论断的充要条件时 其基本方法是分 充分性 和 必要性 两个方面进行证明的 这类试题一般有两种设置格式 1 证明 a成立是b成立的充要条件 其中充分性是a b 必要性是b a 2 证明 a成立的充要条件是b 此时的条件是b 故充分性是b a 必要性是a b 提醒 在分充分性与必要性分别进行证明的试题中 需要分清充分性是证什么 必要性是证什么 在一些问题中充分性和必要性可以同时进行证明 变式备选 已知ab 0 证明a b 1成立的充要条件是a3 b3 ab a2 b2 0 解析 先证充分性 若a3 b3 ab a2 b2 0 则 a b 1 a2 ab b2 0 所以 a b 1 0 由ab 0得a b 1 0 所以a b 1成立 充分性得证 再证必要性 若a b 1 则由以上对充分性的证明知a3 b3 ab a2 b2 a b 1 a2 ab b2 0 故必要性得证 综上知 a b 1成立的充要条件是a3 b3 ab a2 b2 0 易错误区 混淆充分性与必要性致误 典例 2013 东莞模拟 已知a b r 则 log3a log3b 是 的 a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件 误区警示 本题易由得出a b后 错误地认为从而作出错误的判断 规范解答 选a 由log3a log3b 得a b 0 从而但当a 1 b 2时 有而log3a与log3b没有意义 所以 思考点评 条件 结论的相对性充分条件 必要条件是相对的概念 在进行判断时一定要注意哪个是 条件 哪个是 结论 从语文的角度好理解 如 a是b成立的 条件 其中a是条件 a成立的 条件是b 其中b是条件 其实只要把条件简化为 a是条件 条件是b 就行了 然后再根据充分条件 必要条件的概念进行判断 1 2013 中山模拟 有以下命题 若xy 1 则x y互为倒数 的逆命题 面积相等的三角形全等 的否命题 若m 1 则x2 2x m 0有实数解 的逆否命题 若a b b 则a b 的逆否命题 其中真命题为 a b c d 解析 选d 中逆命题为 若x y互为倒数 则xy 1 是真命题 中否命题为 面积不相等的三角形不是全等三角形 是真命题 中原命题是真命题 所以它的逆否命题也是真命题 中原命题是假命题 所以它的逆否命题也是假命题 2 2013 惠州模拟 已知命题 函数f x g x 定义在r上 h x f x g x 如果f x g x 均为奇函数 则h x 为偶函数 的原命题 逆命题 否命题 逆否命题中正确命题的个数是 a 0 b 1 c 2 d 3 解析 选c 由f x g x 均为奇函数可得h x f x g x 为偶函数 反之则不成立 如h x x2是偶函数 但函数都不是奇函数 故逆命题不正确 根据命题的等价关系其否命题也不正确 即只有原命题和逆否命题正确 故选c 3 2013 广州模拟 若a r 则 a 4 是 的 a 充分不必要条件 b 充要条件 c 必要不充分条件 d 既不充分又不必要条件 解析 选a 当a 4时 当时 则a 4 故 a 4 是 的充分不必要条件 4 2012 山东高考 设a 0且a 1 则 函数f x ax在r上是减函数 是 函数g x 2 a x3在r上是增函数 的 a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充分必要条件 d 既不充分也不必要条件 解析 选a 因为函数f x ax在r上是减函数 所以00 即a 2 转化为若0 a 1 则a 2 而若a 2推不出0 a 1 所以 函数f x ax在r上是减函数 是 函数g x 2 a x3在r上是增函数 的充分不必要条件 5 2013 茂名模拟 设a b r 则 a 1且0 b 1 是 a b 0且 的 a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件 解析 选a 显然