高考数学必考点解题方法秘籍 待定系数法 理(1).doc

2014高考理科数学必考点解题方法秘籍：待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。（表示恒等于）待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。待定系数法是中学数学中的一种重要方法，它在平面解析几何中有广泛的应用(一)求直线和曲线的方程例1 过直线x-2y-3=0与直线2x-3y-2=0的交点，使它与两坐标轴相交所成的三角形的面积为5，求此直线的方程【解】 设所求的直线方程为(x-2y-3)+(2x-3y-2)=0，整理，得依题意，列方程得 于是所求的直线方程为 8x-5y20=0或2x-5y-10=0【解说】 (1)本解法用到过两直线交点的直线系方程，是待定系数(2)待定系数法是求直线、圆和圆锥曲线方程的一种基本方法例2 如图29，直线l1和l2相交于点m，l1l2，点nl1，以a、b为端点的曲线c上的任一点到l2的距离与到点n的距离相等若系，求曲线c的方程【解】 如图29，以l1为x轴，mn的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系由已知，得曲线c是以点n为焦点、l2为准线的抛物线的一段，其中点a、b为曲线c的端点设曲线c的方程为y2=2px，p0(x1xx2，y0)其中，x1、x2分别是a、b的横坐标，p=|mn|从而m、n解之，得p=4，x1=1故曲线c的方程为y2=8x (1x4，y0)(二)探讨二元二次方程(或高次方程)表示的直线的性质例3 已知方程ax2bxycy2=0表示两条不重合的直线l1、l2求：(1)直线l1与l2交角的两条角平分线方程；(2)直线l1与l2的夹角的大小【解】 设l1、l2的方程分别为mxny=0、qxpy=0，则ax2+bxycy2(mx+ny)(qx+py)从而由待定系数法，得amq，bmpnq，c=np(1)由点到直线的距离公式，得所求的角平分线方程为 即(m2n2)(qxpy)2=(q2+p2)(mxny)2，化简、整理，得 (nq-mp)(nqmp)x22(np-mq)xy-(nqmp)y2=0 l1、l2是两条不重合的直线b2-4ac(mp+nq)2-4mnpq=(mpnq)20即 mp-nq0从而(nqmp)x22(np-mq)xy-(nq+mp)y2=0把 mq=a，mp+nq=b，np=c代入上式，得 bx2+2(c-a)xy-by20即为所求的两条角平分线方程(2)显然当mqnp=0，即a+c=0时，直线l1与l2垂直，即夹角为90当mqnp0即ac0时，设l1与l2的夹角为，则【解说】 一般地说，研究二元二次(或高次)方程表示的直线的性质，用待定系数法较为简便(三)探讨二次曲线的性质1证明曲线系过定点例4 求证：不论参数t取什么实数值，曲线系(4t2t1)x2+(t1)y24t(t1)y-(109t221t+31)=0都过两个定点，并求这两个定点的坐标【证明】 把原方程整理成参数t的方程，得(4x24y-109)t2+(x2+y2+4y-21)t+x2y2-31=0 t是任意实数上式都成立，【解说】 由本例可总结出，证明含有一个参数t的曲线系f(x，y，t)=0过定点的步骤是：(1)把f(x，y，t)=0整理成t的方程；(2)因t是任意实数，所以t的各项系数(包括常数项)都等于零，得x、y的方程组；(3)解这个方程组，即得定点坐标2求圆系的公切线或公切圆例5 求圆系x2y2-2(2m1)x-2my4m24m1=0(m0)的公切线方程【解】 将圆系方程整理为x-(2m+1)2(y-m)2=m2(m0)显然，平行于y轴的直线都不是圆系的公切线设它的公切线方程为 y=kxb，则由圆心(2m1，m)到切线的距离等于半径|m|，得从而(1-2k)m-(kb)2m2(1k2)，整理成m的方程，得 (3k2-4k)m2-2(1-2k)(k+b)m+(k+b)2=0 m取零以外的任意实数上式都成立，【解说】 由本例可总结出求圆系f(x，y，m)=0的公切线方程的步骤是：(1)把圆系方程化为标准方程，求出圆心和半径；(2)当公切线的斜率存在时，设其方程为y=kxb，利用圆心到切线的距离等于半径，求出k、b、m的关系式f(k，b，m)=0；(3)把f(k，b，m)=0整理成参数m的方程g(m)=0由于mr，从而可得m的各项系数(包括常数项)都等于零，得k、b的方程组；(4)解这个方程组，求出k、b的值；(5)用同样的方法，可求出x=a型的公切线方程3化简二元二次方程例6 求曲线9x24y218x-16y-11=0的焦点和准线【分析】 把平移公式x=xh，y=yk，代入原方程化简【解】 (略)已知函数y的最大值为7，最小值为1，求此函数式。【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。【解】 函数式变形为： (ym)x4x(yn)0， xr, 由已知得ym0 (4)4(ym)(yn)0 即： y(mn)y(mn12)0 不等式的解集为(-1,7)，则1、7是方程y(mn)y(mn12)0的两根，代入两根得： 解得：或 y或者y此题也可由解集(-1,7)而设(y1)(y7)0,即y6y70，然后与不等式比较系数而得：，解出m、n而求得函数式y。【注】 在所求函数式中有两个系数m、n需要确定，首先用“判别式法”处理函数值域问题，得到了含参数m、n的关于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数m、n。两种方法可以求解，一是视为方程两根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集写出不等式，比较含参数的不等式而列出m、n的方程组求解。本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻，也要求理解求函数值域的“判别式法”：将y视为参数，函数式化成含参数y的关于x的一元二次方程，可知其有解，利用0,建立了关于参数y的不等式，解出y的范围就是值域，使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程。例8. 设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是，求椭圆的方程。【分析】求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据a、b、c之值，问题就全部解决了。设a、b、c后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程，再将焦点与长轴较近端点的距离转化为ac的值后列出第二个方程。【解】 设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c，则|bf|a 解得： 所求椭圆方程是：1也可有垂直关系推证出等腰rtbbf后，由其性质推证出等腰rtbof，再进行如下列式： ，更容易求出a、b的值。【注】 圆锥曲线中，参数（a、b、c、e、p）的确定，是待定系数法的生动体现；如何确定，要抓住已知条件，将其转换成表达式。在曲线的平移中，几何数据（a、b、c、e）不变，本题就利用了这一特征，列出关于ac的等式。一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或几何数据）几何条件转换成方程求解已知系数代入。例9. 是否存在常数a、b、c，使得等式1223n(n1)(anbnc)对一切自然数n都成立？并证明你的结论。 （89年全国高考题）【分析】是否存在，不妨假设存在。由已知等式对一切自然数n都成立，取特殊值n1、2、3列出关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，再用数学归纳法证明等式对所有自然数n都成立。【解】假设存在a、b、c使得等式成立，令：n1，得4(abc)；n2，得22(4a2bc)；n3，得709a3bc。整理得：,解得，于是对n1、2、3，等式1223n(n1)(3n11n10)成立，下面用数学归纳法证明对任意自然数n，该等式都成立：假设对nk时等式成立，即1223k(k1)(3k11k10)；当nk1时，1223k(k1)(k1)(k2)(3k11k10) (k1)(k2)(k2)（3k5）(k1)(k2)（3k5k12k24）3(k1)11(k1)10，也就是说，等式对nk1也成立。综上所述，当a8、b11、c10时，题设的等式对一切自然数n都成立。【注】建立关于待定系数的方程组，在于由几个特殊值代入而得到。此种解法中，也体现了方程思想和特殊值法。对于是否存在性问题待定系数时，可以按照先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行。本题如果记得两个特殊数列12n、12n求和的公式，也可以抓住通项的拆开，运用数列求和公式而直接求解：由n(n1)n2nn得s1223n(n1)(12n)2(12n)(12n)2(3n11n10)，综上所述，当a8、b11、c10时，题设的等式对一切自然数n都成立。例10. 有矩形的铁皮，其长为30cm，宽为14cm，要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？【分析】实际问题中，最大值、最小值的研究，先由已知条件选取合适的变量建立目标函数，将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究。【解】 依题意，矩形盒子底边边长为(302x)cm，底边宽为(142x)cm，高为xcm。 盒子容积 v(302x)(142x)x4(15x)(7x)x ， 显然:15x0，7x0，x0。设v(15aax)(7bbx)x (a0,b0） 要使用均值不等式，则解得：a， b ， x3 。 从而v()(x)x()27576。所以当x3时，矩形盒子的容积最大，最大容积是576cm。【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以用“待定系数法”求。本题解答中也可以令v(15aax)(7x)bx 或 (15x)(7aax)bx，再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数，本题也体现了“凑配法”和“函数思想”。【巩固练习】：用待定系数法解证下列各题：设f(x)m，f(x)的反函数f(x)nx5，那么m、n的值依次为_。a. , 2 b. ， 2 c. , 2 d. ，2二次不等式axbx20的解集是(,)，则ab的值是_。a. 10 b. 10 c. 14 d. 14在(1x)（1x）的展开式中，x的系数是_。a. 297 b.252 c. 297 d. 207函数yabcos3x (b0的解集是(,)，则ab的值是_。a. 10 b. 10 c. 14 d. 14在(1x)（1x）的展开式中，x的系数是_。a. 297 b.252 c. 297 d. 207函数yabcos3x (b0，7x0，x0。设v(15aax)(7bbx)x (a0,b0） 要使用均值不等式，则解得：a， b ， x3 。 从而v()(x)x()27576。所以当x3时，矩形盒子的容积最大，最大容积是576cm。【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以用“待定系数法”求。本题解答中也可以令v(15aax)(7x)bx 或 (15x)(7aax)bx，再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数，本题也体现了“凑配法”和“函数思想”。、巩固性题组：函数ylogx的x2,+)上恒有|y|1，则a的取值范围是_。a. 2a且a1 b. 0a或1a2 c. 1a2或0a方程xpxq0与xqxp0只有一个公共根，则其余两个不同根之和为_。a. 1 b. 1 c. pq d. 无法确定 如果函数ysin2xacos2x的图像关于直线x对称，那么a_。a. b. c. 1 d. 1满足c1c2cnc500的最大正整数是_。a. 4 b. 5 c. 6 d. 7无穷等比数列a的前n项和为sa , 则所有项的和等于_。a. b. 1 c. d.与a有关(1kx)bbxbxbx，若bbbb1，则k_。经过两直线11x3y90与12xy190的交点，且过点(3,-2)的直线方程为_。 8. 正三棱锥底面边长为2，侧棱和底面所成角为60，过底面一边作截面，使其与底面成30角，则截面面积为_。9. 设yf(x)是一次函数，已知f(8)15,且f(2)、f(5)、(f14)成等比数列，求f(1)f(2)f(m)的值。10. 设抛物线经过两点(-1,6)和(-1,-2)，对称轴与x轴平行，开口向右，直线y2x7和抛物线截得的线段长是4, 求抛物线的方程。1引言在数学解题过程中，有时候无法直接求的题目的答案如：对因式分解，将表示为的方幂的形式这个时候引进待定系数法，建立等式关系，能够达到解决问题的结果待定系数法是一种基本的数学方法，是一种很好的解决问题的手段2待定系数法的定义待定系数法是根据已知条件，建立起给定的算式和所求的结果之间的恒等式，得到以需要待定的系数为未知数的方程或方程组，解方程或方程组得到待定的系数的一种数学方法3待定系数法的步骤（1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式（2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程或方程组（3）解方程或方程组以确定待定的系数4应用待定系数法解题的常用题型（1）用待定系数法进行因式分解，如：对因式分解（2）用待定系数法求函数解析式，如：已知函数，（其中，）的图像与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图像上一个最低点为，求其解析式（2009年陕西高考）（3）用待定系数法求数列通项式，如：已知等差数列满足：，的前项和为，求（2010年山东高考）（4）用待定系数法求解的其它类型如：不等式问题、三角函数问题、向量问题、求部分分式和等等5待定系数法求解实例51 待定系数法进行因式分解例1 分解因式： 分析：这是一个关于的四次多项式，由于次数相对过高，不能使用十字相乘分组分解法又有困难经过验证由没有有理根但是次数是确定的，我们能够根据次数大概猜测其因式分解以后的形式，这个时候我们可以引进待定系数法进行因式分解解：设= =，比较等式两边的多项式对应项的系数，列出方程组，得，解该方程，得到，所以评析：与这个类型题相似解题的还有解方程、解不等式如把题目改成解方程，或者解不等式这两种类型的题型的做法跟本题因式分解方法相同52用待定系数法求部分分式和例2将化为部分分式之和 分析：这类型的问题思路基本上跟因式分解类似，首先用未知数表示化为部分分式和以后的形式，展开后，根据分子、分母的多项式分别相等可列出含有未知数的方程组，解方程组，代入所设的部分和即可得结果解：由于，则可设，则,由相等的多项式各项系数相等可列出方程组,解以上方程组得 ,故=53用待定系数法求函数解析式例3已知椭圆 的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点，为顶点的三角形的周长为一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上已于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为，和，求椭圆和双曲线的标准方程（2010年山东高考）分析：要用待定系数法求解解析式，首先要知道函数解析式的形式，然后用字母表示出解析式然后根据题目中给出的已知条件解出未知数，最后写出解析式解：设椭圆的半焦距为c，由题意可得：椭圆的离心率为，根据几何关系，可得到关系式，联立上两式解方程组，得，又根据关系式，可得故椭圆的标准方程为由题意可设等轴双曲线的标准方程为，又由于等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以有评析：用待定系数法求方程的解析式，不仅可以求椭圆、双曲线，一次函数、二次函数等简单能估计其解析式形式的题型例4是否分别存在满足下列条件的函数：（1）是三次函数，且，；（2）是一次函数，且 如存在，求出的表达式；若不存在，说明理由分析：首先假设函数存在，用字母设出函数的解析式，利用已知的条件建立方程或方程组，解方程组，求出未知数，写出函数解析式解：（1）设，则由题意可建立方程式，得，解以上方程组，得，故存在满足条件的的函数存在，表达式为（2）假设存在，由是一次函数可知是二次函数，故可设，则将和代入已知条件，得，整理得，由等式两边各项系数相等，可建立方程组，解以上方程组可得，所以满足条件的存在，表达式为评析：利用待定系数法求解函数解析式，可以使问题简化54用待定系数法求数列通项式例5已知数列中，设，求数列的通项公式（2010高考全国卷一）分析：利用待定系数法求数列的解析式，首先把某些已知条件转化成我们熟知的简单的数列的形式，比如等差数列、等比数列等，用字母表示，然后根据数列的性质，解出未知数，即可得结果解：，则，即（1）则可设，即通过与（1）式比较，可解得则又有，故故是首项为，公比为4的等比数列，即则评析：对，当时，若为等差数列，则，则只需要要用叠加法即可求解对，当且时，若为等差数列，则可设，那么可设，即，通过所设的式子与原式的对比可设方程组，解方程组得，故数列为等差数列最后可以根据等差数列的性质及题目给出的条件求出数列的通项式用待定系数法求其它问题例6已知二次函数，且满足，求的取值范围分析：如果直接把和1代入二次函数的解析式，求出和的取