高考数学 第十四章 第一节 二阶矩阵与平面向量及几种常见的平面变换课件 理 苏教版.ppt

第十四章矩阵与变换第一节二阶矩阵与平面向量及几种常见的平面变换 1 矩阵的概念 1 形如这样的矩形数字 或字母 阵列称为 2 行矩阵的表达形式是 3 列矩阵的表达形式是 矩阵 a11a12 4 2 2的零矩阵的表达形式是 5 二阶单位矩阵 e 的表达形式是 6 由4个数a b c d排成的二阶矩阵通常记为 2 二阶矩阵与平面列向量的乘法定义 规定二阶矩阵a 与向量的乘积为即 3 常见的平面变换 1 恒等变换 对平面上任何一点 向量 或图形变换为 的变换 称为恒等变换 其恒等变换矩阵 单位矩阵 是 2 伸压变换 将平面图形沿 方向或 方向伸长或压缩的平面图形变换 称为伸压变换 其变换矩阵是 自身 竖直 水平 3 反射变换 把平面图形f变为关于 或 对称的平面图形 称为反射变换 其关于x轴 y轴 原点的变换矩阵分别是 4 旋转变换 把平面图形f绕某个定点o旋转角度 后得到图形f 称为旋转变换 其变换矩阵是 定直线 定点 5 投影变换 把平面图形f投影到某条直线 或点 的变换 称为投影变换 其中垂直投影到x轴上或直线y x上的变换矩阵分别是 6 切变变换 保持图形的面积大小不变而点间 和线间 可以改变 且点沿 运动的变换 其变换矩阵分别为 距离 夹角 坐标轴 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 式子x 2x2 y是线性表达式 2 二阶矩阵既是一个数 也是一个代数式 3 如果两个二阶矩阵的元素是一样的 那么这两个矩阵相等 4 把每个点的纵坐标变为原来的2倍 横坐标不变的线性变换 对应的二阶矩阵为 5 对于旋转变换 6 二阶矩阵a与平面向量的乘积仍然是一个平面向量 解析 1 错误 线性表达式都是关于x y的一次式 故错误 2 错误 二阶矩阵仅仅是一个包含两行 两列的数表 它既不是数 也不是代数式 3 错误 两个矩阵相等 不但要求元素相同 而且要求相同元素的位置一样 4 错误 该变换对应的二阶矩阵应为 5 正确 表示顺时针旋转表示逆时针旋转两种变换是一个变换 6 正确 由 可知 二阶矩阵与向量的乘积结果仍然是向量 答案 1 2 3 4 5 6 考向1二阶矩阵与平面向量 典例1 已知若与的夹角为135 求x 思路点拨 本题通过变换矩阵a将两向量变为新向量后 利用向量的数量积公式 求未知数x的值 规范解答 由条件得从而由得x 3 2 x 解得经检验 是所列方程的根 故 拓展提升 矩阵与向量乘法的意义从映射与变换的观点来认识 理解 即由矩阵m确定的变换tm 当表示某个平面图形f上的任意点时 这些点就组成了图形f 它在tm的作用下 将得到一个新的图形f 变式训练 已知a a b 设求 解析 由条件得从而 考向2几种常见的平面变换问题 典例2 1 已知矩阵把点 1 1 变换成点 2 2 求a b的值 求曲线c x2 y2 1在矩阵a的变换作用下对应的曲线方程 2 设矩阵 其中a 0 b 0 若曲线c x2 y2 1在矩阵m所对应的线性变换作用下得到曲线c 求a b的值 思路点拨 1 从题中所给点的变换结果 利用待定系数法求a b的值 从而得到坐标变换公式 再将曲线方程变换成新方程 2 本题变换矩阵符合伸压变换的特征 求解的关键是准确把握变换前后点的坐标间的关系 运用待定系数法列出方程组 即可获解 规范解答 1 由得 a 1 b 2 设曲线c上任一点m x0 y0 在矩阵a变换作用下为点m x y m 在曲线c上 故所求曲线方程为 2 设曲线c上任意一点p x y 它在矩阵m所对应的线性变换作用下得到点p x y 则由得而点p x y 在曲线c 上 所以有又由x2 y2 1得因a 0 b 0 故a 2 b 1 拓展提升 二阶矩阵与线性变换的关系在矩阵m的作用下 直线变成直线这种变换通常称为线性变换 我们在前面梳理中写出的六种变换都是线性变换 线性变换与二阶矩阵是一一对应的 既可以通过二阶矩阵来研究对应的线性变换 又可以通过线性变换来研究对应的二阶矩阵 提醒 必须说明的是投影变换不是一一映射 变式训练 在平面直角坐标系xoy中 设椭圆4x2 y2 1在矩阵对应的变换作用下得到曲线f 求f的方程 解析 设p x0 y0 是椭圆上任意一点 点p x0 y0 在矩阵对应的变换作用下变为点p x0 y0 则有即所以又因为点p在椭圆上 故从而所以 曲线f的方程是x2 y2 1 1 设a b r 若矩阵把直线l x y 1 0变为直线m x y 2 0 求a b的值 解析 设 x y 为直线l上的任意一点 x y 在矩阵a对应的变换下变为 x y 则得代入x y 2 0 得ax y by 2 0 又直线l x y 1 0 所以a 2 b 1 2 求函数y x2在矩阵变换作用下的解析式 解析 x x y 4y 代入 3 2013 徐州模拟 设试求曲线y sinx在矩阵mn变换下的曲线方程 解析 设 x y 是曲线y sinx上的任意一点 在矩阵mn变换下对应的点为 x y 则所以即代入y sinx得 即y 2sin2x 即曲线y sinx在矩阵mn变换下的曲线方程为y 2sin2x 4 已知在一个二阶矩阵m的变换作用下 点a 1 2 变成了点a 4 5 点b 3 1 变成了点b 5 1 1 求矩阵m 2 若在矩阵m的变换作用下 点c x 0 变成了点c 4 y 求x y 解析 1 设该二阶矩阵为由题意得所以解得a 2 b 1 c 1 d 2 故 2 因为解得x 2 y 2 5 运用旋转矩阵 求直线2x y 1 0绕原点逆时针旋转45 后所得的直线方程 解析 旋转矩阵直线2x y 1 0上任意一点 x0 y0 旋转变换后为 x0 y0 得 即直线2x y 1 0绕原点逆时针旋转45 后所得的直线方程是 6 二阶矩阵m对应的变换将点 1 1 与 2 1 分别变换成点 1 1 与 0 2 1 求矩阵m 2 设直线l在m对应的变换作用下得到直线m x y 4 求直线l的方程 解析 1 设则有所以且解得所以 2 设 x y 是直线l上任意点 在m对应的变换下的点为 x y x y 在x y 4上 因为且m x y 4 所以 x 2y 3x 4y 4 即x y 2 0为直线l的方程 7 在平面直角坐标系中 一种线性变换对应的二阶矩阵为 1 求点在该变换作用下的象 2 求圆x2 y2 1在该变换作用下的新曲线的方程 解析 1 即点a在该变换作用下的象为 2 设 x y 为x2 y2 1上任意点 在该变换作用下对应的点为 x y 有得有x 2 2y 2 1 得x 2 4y 2 1 即所求曲线方程为x2 4y2 1 8 如果曲线x2 4xy 3y2 1在矩阵的作用下变换为曲线x2 y2 1 试求a b