有趣的 “黄金分割”.doc

有趣的 “黄金分割”江苏 唐耀庭ABCD图（1）我们已经知道，如果线段AB被点C分成线段AC和BC，且，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。通过计算可知黄金比为。下面我们在从数学的角度看一看“黄金分割”的几个有趣的结论 （1）对称性：我们可以得出，如果线段AB上另有一点D，满足BD=BAAD，那么D点也是AB的黄金分点，因此，一条线段的黄金分割点应该有两个：其中一个靠近这个端点，而另一个靠近另一个端点 （2）有趣的数量关系设C、D为线段AB的黄金分割点，AB长为a（如图1），则不难由定义证明（设C点靠近B点）： ；BC=AD=；CD=；仅以上面二式为例加以证明：BC=AD= （3）有趣的比例关系式如前面的图（1）所示，有0.618 再由定义可以知道，点C不仅是AB的黄金分割点，还是BD的黄金分割点，同样，点D不仅是AB的黄金分割点，也是AC的黄金分割点。将上式分子、分母颠倒后又得到：0.618由此，又可以得到一个有趣的结论：0.618与1.618可近似地看成倒数关系，也就是说，方程x(1+x)=1的正的近似解约是0.618，而方程x（x1）=1的正的近似解约是1.618（4） “黄金角度”生物学家发现植物种类繁多、叶子形态各异，但是叶子在茎上的排列却有着特殊的规律.我们从某种植物的顶端往下看，便会发现上下层相邻的两片叶子之间所构成的角约为137.50,如果每层叶子只画一片来表示，第一层和第二层的相邻两叶之间的角度约为137.50,以后二层到三层、三层到四层、四层到五层两叶之间都成这个角度，这个角度对叶子的通风和采光最为有利.这叶子之间的137.50角与黄金数又有什么联系呢？我们知道，一周为3600，137.50： =137.50：222.500.618.也就是说，各种植物叶子的生长规律中自然隐藏着黄金数.（5）黄金三角形顶角为36的等腰三角形叫黄金三角形其底与腰之比为黄金数，底角平分线与腰的交点为腰的黄金分割点如图（2），ABC中，A=36，AB=AC，ACB的平分线CD交腰AB于D，则BC=DC=AD，且ABCCBD，.即AD=BDAB，AD=BC=AB再作B的平分线交CD于，作BDC的平分线交于，得到、，均为黄金三角形，如此下去则可得到一系列的黄金三角形DABCDD图（2）ABDEPNMRCQ图（3）感兴趣的同学，利用上述结论解决下列问题：找出五角星中所有的黄金分割点和黄金三角形（如图3）（有五个黄金分割点P、Q、R、M、N和个黄金三角形）可以巧用“黄金比” 妙画五角星若上图的第一个黄金三角形的腰，底边与腰之比为,第二个黄金三角形为，依次类推，第2008 个黄金三角形的周长为多少？(,的周长为；的周长为；的周长为；依次类推，第2008 个黄金三角形的周长为对于顶角为108等腰三角形又可称之为“亚黄金三角形”,它在分割出黄金三角形后也能无数次的分割得到新的等腰三角形。（6）黄金矩形一个矩形如果两边之比具有黄金比值，则称这种矩形为黄金矩形它是由一个正方形和另一个小黄金矩形组成。事实上，如图（4），如果设大黄金矩形的两边为a、b，则=，分出一个正方形后，所余小矩形的两边分别为（ba）和a，它们的比为（ba）：a图（4）baba=1=这表明小的矩形也是黄金矩形。上述黄金矩形的性质说明:黄金矩形中，以短边为一边作正方形后得到的另一矩形，都是黄金矩形或以短边为一边作正方形后得到的另一矩形，都是相似矩形，相似比为可以把一个黄金矩形分解为无限个正方形之和，图（4）也表明了分解过程（7） “黄金分割线”类似“黄金分割”得定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线问题1：在中，若点为边上的黄金分割点（如图5），则直线是的黄金分割线 过点任作一条直线交于点，再过点作直线，交于点，连接（如图6），则直线也是的黄金分割线ADB图5CADB图6CFE分析过程：直线是的黄金分割线理由如下：设的边上的高为,直线是的黄金分割线 因为，所以和的公共边上的高也相等，所以有 设直线与交于点所以所以，又因为，所以 因此，直线也是的黄金分割线 问题2：）如图7，点E是ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF/AD，交DC于点F，显然直线EF是ABCD的黄金分割线请你画一条ABCD的黄金分割线，使它不经过ABCD各边黄金分割点分析过程：画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如图5，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是ABCD的黄金分割线画法二：如图6，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM/NE交AB于点M，连接MN，则直线MN就是ABCD的黄金分割线EFCBDA图7 图8 图9（8）“黄金分割面”类似“黄金分割”得定义：截面将一个体积为的图形分成体积为、的两个图形，且，则称直线为该图形的黄金分割面如图10，长方体ABCD-EFGH中，T是线段AB上的黄金分割点，那么经过T点且平行于平面BCGF的截面QRST是长方体的黄金分割面BADC