数形结合的历史演变及其发展.doc

数形结合的历史演变及其发展 徐单超 摘要：数学中两大研究对象“形”与“数”的矛盾统一是数学发展的内在因素，“数”“形”结合是推动数学发展的动力。数形结合不应仅仅作为一种解题方法，而应作为一种基本的、重要的数学思想来学习，研究和掌握运用。数形结合能力的提高，有利于从形与数的结合上深刻认识数学问题的实质，有利于扎实打好数学的基础，有利于数学素质的提高，同时必然促进数学能力的发展。本文透过数学发展的历史，论述数形结合的重要地位和作用。关键词： 数；形；结合；历史演变；发展 一、引言数学以客观世界中的空间形式与数量关系为研究对象，数形结合思想是数学中非常重要的思想和解决问题的常用策略，正如华罗庚所指出的“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直观，形少数时难入微。”美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并能创造性思索问题的解法”。在数学家的眼里，世界都是数和形组成的，无处没有数和形。数与形之间建立对应关系，可以把数量关系转化为图形性质，或者把图形性质转化为数量关系，从而使代数问题直观化，或者用代数方法来研究几何问题。二、关于“数”、“形”的涵义 数、形两字内涵丰富。从广义上来说，“数”可以指代作为研究客观世界的工具-数学，“形”即为整个客观世界；从数学学科的维度分析，“数”与“形”的解释也具有层次性。如果将 “数”理解为代数学、分析学及其衍生出的数学分支的研究对象，那么相应地 “形”可以理解为几何学的研究对象。这种理解是基于这样一种隐喻：数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的一门科学。但实际上，尤其是近百年数学的发展，数学基础经历了逻辑主义、直觉主义、形式主义等思潮的影响，数与形己经无法概括数学的全部研究对象了，众多学者多倾向于采用更抽象化概括化、更具现代内涵、更具统一性的数学定义。例如，20世纪50年代前苏联一部分颇有影响力的数学家认为：“现代数学就是各种量之间的可能的，一般说是各种变化着的量的关系和相互联系的数学”; 20世纪80年代一批美国学者将数学简单地定义为关于“模式” 的科学：“数学这个领域已被称作模式的科学，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性”。既然现代数学已经不能再简单地划分为数、形两大领域。那么“数形”究竟怎样来诠释呢?其实，“数形结合”中的“数形”本身就不是一个严格的数学概念，或者说“数形”的语义所指井不完全是数学对象，华罗庚在归纳出该词的时候并不是在进行数学哲学中数学本体的探讨，而是进行类似于波利亚的工作 数学启发法的研究，文中有一句话即为明证： 这是“几何”启发出“代数”，但代数的考虑又大大丰富了几何。由此可见，“数形结合”更多具有问题解决的性质，涉及到思维论、教学论、认知心理学、数学方法论等众多领域。 因此 “数”与“形”可以认为是数学知识的表征形式，对“数”的理解应泛化为：数学文字表征，即数字、文字、式子、数学概念、数学结构、数学性质、数学定理等概念和命题。相应地，“形”泛化为：图形表征，即实物、图像、图形、符号等。三、数与形的扩充与结合简史随着时间的流逝，人类文明进程的不断推进，数学的内容也不断地扩大着，尤其是在17-18世纪直至19世纪，被包括在数学领域内的许多学科和分支已经独立出去，而在各学科的边界又不断创造和衍生出一系列新的学科，这些新学科现在已融合成面向21世纪的庞大的数学科学领域，它是一个具有内在统一性的科学技术群。数与形是数学中的两大基本概念，一部数学史主要是数与形的概念产生、发展、变迁的历史，现代数学也是围绕着这两个概念对其不断抽象、概括、提炼而发展起来的。正因为数学内涵的不断扩充，数学中最原始的对象是数与形这两概念自身也处于不断变化中。从最初计数而产生的自然数，从最初土地测量而产生的几何，发展成为研究代数系统的内在规律的现代代数学，以及与群论、拓扑学、计算机科学等数学分支相融合的种类纷呈的现代几何学。数与形亦作为数学的两大基本研究对象经历了一个“合久必分，分久必合”的过程，从融合走向分离继而又走向融合。数的产生源于计数，是对具体物体的计数。产生数的概念之后，用来表示“数”的工具首先是一系列“形”在古代的各种各样的计数法中，都是以具体的图形来表抽象的数。例如 以及中国的算盘是一个历史最长的计数工具，也可算是数形结合的一个典型范例。“数”产生于各种“形”的计算，“数”又借助于“形”得以记录、使用、计算。数学最早的大发展是以几何学为特征，以欧几里得的几何原本为代表，可谓是总结当时数学成果的大成，但几何原本却并不是单纯讲几何学“形”的。几何学的发展与实际测量有密切联系。巴比伦几何学的主要特征是它的代数性质。一些比较复杂的问题虽然是以几何术语来表达的，但实质上还是一些特殊的代数问题。有许多问题涉及平行于直角三角形的一条边的横截线，它们就引出二次方程;还有一些问题引出了联立方程组，其中有一例就给出了含10个未知数的10个方程。“形数”被看作是某些几何图形中的点的数目，它们成了几何学和算术之间的纽带。图1，2，3说明三角形数、正方形数、五边形数的几何命名法，通过数列求和容易得出这些形数的计算公式如下。 满足关系式： 的数称为三角数。 图1满足关系式： 的数称为正方形数。 图 2满足关系式：= 的数称为五边形数。 图 3形数的许多有趣的定理，可以用纯几何的方法证明。例如图4，5，一目了然地说明了定理1，2。定理1任何一个正方形数都是两个相似的三角形数之和。定理2第 n个五边形数等于第( n - 1) 个三角形数的3倍加上 n 。 图4 图5由此可见，解决“形”的问题常常使用“数”作工具，“数”的关系，也可以用“形”来证明。对“形”的相互关系的比较、度量，促进了“数”的概念的发展，丰富了计算方法。典型例子是无理数的发现：正方形的边长与其对角线的长度之间不存在公度线段。即，不存在一条线段 a，用它去量一个正方形的边长及其对角线的长都正好得到整数倍。由此，导致无理数的发现。二项方程的几何解法。例如，如图6，通过作比例线段解方程 ；如图7，利用圆中的等积线段解方程 。一些代数恒等式也可由几何方法给出证明。例如，利用图8，可导出代数恒等式：(a + b)2 = a2+2ab + b2 。 图6 图7 图8 以上例子说明：在古代，数形结合就很紧密，用几何方法解决代数问题，用代数方法处理几何问题，正是这种结合促进了数学的发展。人类对形与数统一的认识有两次重大的飞跃。第一次是建立数轴，把实数与数轴上的点一一对应起来，数可以视为点，点可以视为数。点在直线上的位置关系可以数量化，而数的运算(特别是有理数的运算) 也可以几何化；第二次是从数轴到平面(直角) 坐标系，把有序实数对与平面上的点一一对应起来，从而使得作为点的轨迹的平面曲线与数对所满足的二元方程的解集也一一对应起来。这样，就可以用代数方法来研究几何图形的性质，把几何研究转换成对应的代数研究，从而诞生了解析几何学科。笛卡尔创立了解析几何学，并在数学中引入“变量”，完成了数学史上一项划时代的变革。恩格斯对此给予极高的评价：“数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了”。可见，数学中两大研究对象“形”与“数”的矛盾统一是数学发展的内在因素。笛卡尔之后，“数”与“形”更进一步密切结合。例如：数学分析中，导数 切线的斜率;积分 曲边梯形的面积。代数中，方程的根 曲线与 x 轴的交点；线性方程组的解 求 n维空间中超平面的交；矩阵的特征根 放大系数(沿某方向拉长、伸长或压缩) ；矩阵的特征向量 坐标轴变换后的主方向。近代数学中，从几何的角度看，代数和几何结合产生了代数几何，分析和几何结合产生了微分几何；而代数几何和微分几何又转过来为代数与分析(以及其他学科) 提供几何背景、解释和研究课题，促进它们的发展；并使数学在实践中的应用更加广泛和深入。现代数学研究中，数量关系的几何解释 “形”的意义也起着很大的作用，甚至有的如果不对数量关系用一个“形”的术语来描写，指明其几何意义，就无法进一步讨论下去。例如，非线性规划的各种算法：可行方向法，共轭梯度法等，均大量使用可行方向、梯度、步长等名词，另外，如单峰函数、瞎子爬山法、内点法、外点法、障碍函数法等，也全是借用几何意义来描写算法过程。如果不是这些形象鲜明的几何形象在帮助我们，我们的研究工作将困难得多。尤其某些算法的设计，实际上是先有一个几何形象的设想，从几何上研究清楚其正确性后，再用解析的方法对这一几何过程加以描述，这就完全是一个“数形”结合的研究过程了。可见，数形结合也是今日数学发展的必然，数形结合贯穿于数学发展的全过程。“形”的概念的本身也在数量关系的描写下不断发展，从平面几何、立体几何发展到 n维空间的仿射几何、射影几何。我们生活在3维空间， n( 3) 维空间描写的已经不是我们所生活的现实世界， n( 3) 维空间的各种说法，比如：距离、夹角、平行、垂直、体积等概念，是人为地在头脑中构造出来的，但这些说法却能给我们一个鲜明的几何形象，便于我们更深刻地理解、更深入地分析数量关系。而且这些说法之所以正确，能被我们接受，是因为在2，3维空间中它们实在地、清楚地描写了空间形式中各个元素的关系。换言之，这些关系式完全可以类比于2，3维空间中的几何形象而在4维以上的空间中找到自己的几何解释。例如：平面解析几何中有：O为原点， P(a，b) ，Q(c， d) 为平面上两点，则 OP OQ ac + bd = 0；类比地，在 n维空间有：O为原点，A (a1，a2，an) ，B(b1，b2，bn)为空间中两点，设a = (a1，a2，an) ，b = (b1，b2，bn) ，则 OA OB ， 即 ab = 0。再如，平面解析几何中，Ax + By + C = 0表示一条直线， 表示圆;而 n维空间中， 表示一个超平面， 表示一个 n - 1维球。可见，人们在用数量关系描写空间形式“形”的过程中，对形的特点有了更进一步的认识，抓住了更本质的关系，从而把它们之间的数量关系推广到了 n维空间，得出了抽象的 n维空间(几何形式) 中的形之间的数量关系，或者说，这些数量关系得到了一个形象的几何解释。数学的产生在于研究“形”而产生“数”，研究形之间的关系、度量方面的比较而进一步发展了数。由于用数量关系来描写“形”之间的各种关系，把这种关系揭示得更深刻、更完整，因而导致我们可以只用数量关系来“创造出了”更高维(4维以上) 的空间，因而也就认识了更多的更一般的“形”。如果抛弃“数”的描写，是不可能构建出4维以上的空间的。同时，对描写4维以上的空间的数量关系式，如果不用“形”的特征，不借助于“空间”中的语言来描述，也不会使我们的认识更深刻，这些关系式的进一步发展、演化也将十分困难。用数量关系式作工具解决形之间的关系问题，用形来帮助解决数量之间的关系问题，两者都是不可缺少的。可以说，从认识论和方法论的角度看，“数”“形”结合这种思维方法的运用，有助于加深对数学问题本质的认识，有助于对具体数量关系和空间形式进行抽象与概括，拓展了人们思维的深度和广度，使数学思维更深刻，更具创造性。四、 关于“数形结合”思想在解题中的几点思考数学研究的对象是现实世界中的数量关系与空间形式。“数形结合”是中学数学极为重要的思想方法之一，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述结合起来，从而使几何问题代数化，代数问题几何化，并进而使抽象思维和形象思维结合起来，可以使许多复杂问题获得简捷的解法。 但是撇开“形”去孤立地研究“数”，或忽视“数”去孤立地研究“形”，都会带来种种不良后果。所以我觉得为了更好地运用“数形结合”的思想方法，还认为应思考以下几点。1、注意利用“数”的精确性几何图形的优点是具有直观性。 但是，有些数学问题仅利用图形是不能得出正确结论的。 此时，有必要再利用“数”的精确性才能解决问题.2、注意数形转化的等价性把一个陌生的、复杂的数学问题转化为简单的、熟知的数学问题，从而使问题得到解决，这就是转化的思想。 但是，一定要注意转化后的问题应当与原问题是等价的。并且同样地，利用图形来解决数学问题时，也要注意转化的等价性。3、注意图形的全面性有些数学问题所对应的图形可能不止一种，此时，就要根据不同情况做出相应的图形，再对不同的图形分别进行讨论求解。4、注意图形的时效性尽管数形结合是非常重要的一种数学思想方法，但是，也有其时效性，有些问题对于特定的条件可以使用此方法，而当条件发生变化后可能就不再适用了。由上面的几点思考可知，数形结合解题，必须把精确的数量关系刻画与图形的准确形象切实结合，才能互相补充，互相利用，才能收到良好成效。文 献 参 考1