备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板：专题43 立体几何中的探索问题（解析版）.doc

【高考地位】探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，立体几何中的探究性问题既能够考查学生的空间想象能力，又可以考查学生的意志力及探究的能力近几年高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题内容涉及异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，平行与垂直等方面，对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决一般此类立体几何问题描述的是动态的过程，结果具有不唯一性或者隐藏性，往往需要耐心尝试及等价转化，因此，对于常见的探究方法的总结和探究能力的锻炼是必不可少的【方法点评】方法一 直接法使用情景：立体几何中的探索问题解题模板：第一步 首先假设求解的结果存在，寻找使这个结论成立的充分条件；第二步 然后运用方程的思想或向量的方法转化为代数的问题解决；第三步 得出结论，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件，或出现了矛盾，则不存在.例1如图甲， 的直径，圆上两点、在直径的两侧，使，沿直径折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），为的中点，为的中点根据图乙解答下列各题：（1）求证：；（2）在弧上是否存在一点，使得平面？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由思路分析：（1）利用等边三角形的性质可得DEAO，再利用面面垂直的性质定理即可得到平面，进而得出结论（2）要满足平面，可过直线做一平面使其与平面平行，找到所做平面与弧的交点点评：本题考查了直线与平面垂直的判定和直线与平面平行的判定. 这类探索性题型通常是找命题成立的一个充分条件，所以解这类题采用下列二种方法：通过各种探索尝试给出条件;找出命题成立的必要条件，也证明充分性【变式演练1】如图，在四棱锥中，平面，平面，（）求棱锥的体积；（）求证：平面平面；（）在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由（）结论：在线段上存在一点，且，使平面解：设为线段上一点， 且， 过点作交于，则因为平面，平面，所以又因为所以，所以四边形是平行四边形，则又因为平面，平面，所以平面【变式演练2】如图，在四棱锥中，底面是正方形点是棱的中点，平面与棱交于点（1）求证：；（2）若，且平面平面，试证明平面；（3）在（2）的条件下，线段上是否存在点，使得平面?（直接给出结论，不需要说明理由）【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析【解析】方法二 空间向量法使用情景：立体几何中的探索问题解题模板：第一步 首先根据已知条件建立适当的空间直角坐标系并假设求解的结果存在，寻找使这个结论成立的充分条件；第二步 然后运用空间向量将立体几何问题转化为空间向量问题并进行计算、求解；第三步 得出结论，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件，或出现了矛盾，则不存在.例2. 如图，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面于直线，且，且（）设点为棱中点，求证：平面；（）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值等于？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由思路分析：（）方法一：以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，由此证得结果；方法二：连结，其交点记为，连结，由中位线定理可得，从而证得四边形是平行四边形，进而由平行四边形的性质可使问题得证；（）先求出平面的一个法向量，然后由此利用向量法求出线段上存在一点，当点与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为（方法二）由三视图知，两两垂直连结，其交点记为，连结，因为四边形为矩形，所以为中点因为为中点，所以，且又因为，且，所以，且=所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面点评：利用空间直角坐标系求解空间角的关键是建立空直角坐标系，而建立空间直角坐标系主要途径：（1）一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；（2）如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点；（3）建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系【变式演练3】如图，在多面体中，四边形为正方形，为的中点. （1）求证：平面；（2）在线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)存在点的坐标为,使.【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用线面垂直的判定定理推证；(2)借助题设构建空间坐标系运用空间向量求解探求.（2）因为两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，则，.设点，于是有，. 考点：空间线面的位置关系及空间向量的有关知识的综合运用【变式演练4】如图,是边长为3的正方形，,与平面所成的角为.(1)求二面角的的余弦值;(2)设点是线段上一动点，试确定的位置，使得，并证明你的结论.解：【变式演练4】如图，平面平面， 是等腰直角三角形，四边形是直角梯形，点、分别为、的中点.（1）求证：平面；（2）求直线和平面所成角的正弦值；（3）能否在上找到一点，使得平面？若能，请指出点的位置，并加以证明；若不能，请说明理由. 【高考再现】1. 【2016年高考北京理数】（本小题14分）如图，在四棱锥中，平面平面，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在，试题解析：（1）因为平面平面，所以平面，所以，又因为，所以平面；（2）取的中点，连结，因为，所以.又因为平面，平面平面，所以平面.因为平面，所以.因为，所以.如图建立空间直角坐标系，由题意得，. 所以直线与平面所成角的正弦值为.（3）设是棱上一点，则存在使得.因此点.因为平面，所以平面当且仅当，即，解得.所以在棱上存在点使得平面，此时.考点：1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用.【名师点睛】平面与平面垂直的性质的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等.2. 【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，ADBC，ADC=PAB=90，BC=CD=AD，E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90. （）在平面PAB内找一点M，使得直线CM平面PBE，并说明理由；（）若二面角P-CD-A的大小为45，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.【答案】（）详见解析；（）.【解析】试题解析：（）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB，DC，相交于点M（M平面PAB），点M即为所求的一个点.理由如下：由已知，BCED，且BC=ED.所以四边形BCDE是平行四边形.，所以CDEB从而CMEB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM平面PBE.（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）（）方法一：易知PA平面ABCD，从而PACE.于是CE平面PAH.所以平面PCE平面PAH.过A作AQPH于Q，则AQ平面PCE.所以APH是PA与平面PCE所成的角.在RtAEH中，AEH=45，AE=1，所以AH=.在RtPAH中，PH= ，所以sinAPH= =.方法二：作AyAD，以A为原点，以 ,的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以=（1,0,-2），=（1,1,0），=（0,0,2）设平面PCE的法向量为n=(x,y,z)，由 得 设x=2，解得n=(2,-2,1).设直线PA与平面PCE所成角为，则sin= = .所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为 .考点：线线平行、线面平行、向量法.3. 【2016高考北京文数】（本小题14分）如图，在四棱锥中，平面，（I）求证：；（II）求证：；（III）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得平面?说明理由.【答案】（）见解析；（）见解析；（III）存在.理由见解析.【解析】所以所以平面所以平面平面考点：空间垂直判定与性质；空间想象能力，推理论证能力【名师点睛】平面与平面垂直的性质的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等.【反馈练习】1.【江苏省淮安市2015届高三第五次模拟考试】（本题满分14分）如图，边长为2的正方形是圆柱的中截面，点为线段的中点，点为圆柱的下底面圆周上异于，的一个动点 （1）在圆柱的下底面上确定一定点，使得平面； （2）求证：平面平面(第16题)【答案】（1）点为线段的中点；（2）详见解析；【解析】2.【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(2)】(本小题满分14分)已知直三棱柱中，分别为的中点，,点在线段上，且求证:；若为线段上一点，试确定在线段上的位置，使得平面第16题ABCDEF【答案】（1）见解析；（2）BE=4ME【解析】 ABCDEFM连结AE，在BE上取点M，使BE=4ME, 连结FM，,F，在中，由BE=4ME，AB=4AF所以MF/AE， 又在面AA1C1C中，易证C1D/AE，所以平面 3.【扬州市20142015学年度第四次调研测试试题高三数学】如图,三棱锥中,侧面是等边三角形,是的中心 若,求证； 若上存在点,使平面,求的值【答案】见试题分析； 【解析】平面,所以平面, 因为上存在点,所以平面,所以平面, 又平面,平面平面,所以, 在中,因为,所以 4【2016届福建省福州市第八中学高三上学期第三次质检】在如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形，/，（1）求证：平面；（2）求四面体的体积； （2）线段上是否存在点，使/平面？证明你的结论【答案】（1）祥见解析；（2）；（2）祥见解析.【解析】 5【2016届辽宁省大连市第二十高级中学高三上学期期中考试】如图，四边形ABCD中，ABAD，ADBC，AD6，BC4，AB2，E、F分别在BC、AD上，EFAB现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF 平面EFDC（1）当，是否在折叠后的AD上存在一点，使得CP平面ABEF？若存在，求出P点位置，若不存在，说明理由；（2）设BEx，问当x为何值时，三棱锥ACDF的体积有最大值？并