高考数学考点回归总复习《第四十七讲 直线平面垂直的判定及其性质》课件 新人教版.ppt

第四十七讲直线 平面垂直的判定及其性质 回归课本 1 直线与平面所成的角 1 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角 一条直线垂直于平面 就说它们所成的角是直角 一条直线和平面平行或在平面内 就说它们所成的角是0 的角 可见 直线和平面所成的角的范围是 2 直线与平面垂直 定义 如果一条直线l和一个平面 内的任意一条直线都垂直 那么就说直线l和平面 互相垂直 判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 那么这条直线垂直于这个平面 性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面 那么这两条直线平行 注意 1 定义中的 任意一条 与 所有条 是同义词 不同于 无数条 2 判定定理在应用时 一定要明确 平面内的两条相交直线 3 直线与平面垂直是直线与平面相交的特例 2 二面角 1 二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 叫做二面角 二面角的平面角 一个平面垂直于二面角 l 的棱l 且与两个半平面的交线分别是射线oa ob o为垂足 则 aob叫做二面角 l 的平面角 直二面角 平面角是直角的二面角叫直二面角 二面角的平面角的范围是 0 180 当两个半平面重合时 0 相交时0 180 共面时 180 2 两个平面垂直两个平面相交 如果它们所成的二面角是直二面角 就说这两个平面互相垂直 3 两个平面垂直的判定定理及性质定理 平面和平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 平面和平面垂直的性质定理 如果两个平面垂直 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 考点陪练 1 2010 改编题 在三棱锥v abc中 va vc ab bc 则下列结论一定成立的是 a va bcb ab vcc vb acd va vb答案 c 2 2010 改编题 如图 ab是 o的直径 pa垂直于 o所在的平面 c是圆周上不同于a b的任意一点 则图中互相垂直的平面共有 a 4对b 3对c 2对d 1对答案 b 3 菱形abcd中 bad 60 如图所示沿对角线bd将 bcd向上折起 使ac ab 则二面角c bd a的余弦值的大小为 答案 a 4 2010 全国卷 正方体abcd a1b1c1d1中 bb1与平面acd1所成角的余弦值为 解析 bb1与平面acd1所成的角等于dd1与平面acd1所成的角 在三棱锥d acd1中 由三条侧棱两两垂直得点d在底面acd1内的射影为等边三角形acd1的垂心即中心h 连接d1h dh 则 dd1h为dd1与平面acd1所成的角 设正方体棱长为a 则cos dd1h 故选d 答案 d 5 2010 滨州月考 对于任意的直线l与平面 在平面 内必有直线m 使m与l a 平行b 相交c 垂直d 互为异面直线 解析 如果l 那么 内的直线m不可能与l异面 所以 选项d不正确 如果l与 相交 那么 内的直线m不可能与l平行 所以 选项a不正确 如果l 那么 内的直线m不可能与l相交 所以 选项b不正确 在上述三种情况下 内总存在直线m 使得m l 答案 c 类型一线线垂直解题准备 判定直线与直线垂直的方法 1 计算两直线所成的角为90 包括平面角与异面直线所成的角 2 线面垂直的性质 若a b 则a b 3 a b 0 a b 典例1 如图 cd ea 垂足为a eb 垂足为b 求证 cd ab 分析 要证cd ab 只需证cd 平面abe即可 证明 cd cd cd 又ea cd ea cd 同理eb cd ea eb e cd 平面eab ab 平面eab ab cd 反思感悟 证明空间中两直线互相垂直 通常先观察两直线是否共面 若两直线共面 则一般用平面几何知识即可证出 如勾股定理 等腰三角形的性质等 若两直线异面 则转化为线面垂直进行证明 类型二线面垂直的判定和性质解题准备 1 判定定理可以简单的记为 线线垂直 线面垂直 定理中的关键词语是 平面内两条相交直线 和 都垂直 2 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面 那么另一条也垂直于这个平面 即 3 直线和平面垂直的性质 1 垂直于同一个平面的两条直线平行 2 如果一条直线垂直于一个平面 则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线 3 过一点有且只有一条直线和已知平面垂直 过一点有且只有一个平面和已知直线垂直 4 如果一条直线与两个平面都垂直 那么这两个平面平行 典例2 如图 已知pa垂直于矩形abcd所在的平面 m n分别是ab pc的中点 若 pda 45 求证 mn 平面pcd 证明 如图 取pd的中点e 连接ae ne e n分别为pd pc的中点 en又 m为ab的中点 am enam 四边形amne为平行四边形 mn ae pa 平面abcd pda 45 pad为等腰直角三角形 ae pd 又 cd ad cd pa ad pa a cd 平面pad 而ae 平面pad cd ae 又cd pd d ae 平面pcd mn 平面pcd 反思感悟 取pd的中点e 连接ae 则有mn ae 考虑证明ae 平面pcd 证明线面垂直的常用方法 1 利用线面垂直的定义 证一直线垂直于平面内任一直线 这条直线垂直于该平面 2 用线面垂直的判定定理 证一直线与一平面内的两条相交直线都垂直 这条直线与平面垂直 3 利用线面垂直的性质 两平行线中的一条垂直于平面 则另一条也垂直于这个平面 4 用面面垂直的性质定理 两平面垂直 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 5 用面面平行的性质定理 一直线垂直于两平行平面中的一个 那么它必定垂直于另一个平面 6 用面面垂直的性质 两相交平面同时垂直于第三个平面 那么两相交平面的交线垂直于第三个平面 类型三面面垂直的判定和性质解题准备 利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法 先从现有的直线中寻找平面的垂线 若这样的直线在图中存在 则可通过线面垂直来证明面面垂直 若这样的直线在图中不存在 则可通过作辅助线来解决 而作辅助线则应有理论根据并有利于证明 不能随意添加 典例3 如图 已知平行六面体abcd a1b1c1d1的底面为正方形 o1 o分别为上 下底面的中心 且a1在底面abcd的射影是o 求证 平面o1dc 平面abcd 证明 如图 连接ac bd a1c1 b1d1 则o为ac bd的交点 o1为a1c1 b1d1的交点 由平行六面体的性质知 a1o1 oc 且a1o1 oc 四边形a1oco1为平行四边形 a1o o1c a1o 平面abcd o1c 平面abcd 又 o1c 平面o1dc 平面o1dc 平面abcd 反思感悟 证明面面垂直 可先证线面垂直 即设法先找到其中一平面的一条垂线 再证明这条垂线在另一平面内或与另一平面内一直线平行 类型四求直线和平面所成的角解题准备 斜线和平面所成的角 简称 线面角 它是平面的斜线与它在平面内的射影的夹角 求直线和平面所成的角 几何法一般先定斜足 再作垂线找射影 然后通过解直角三角形求解 可以简述为 作 作出线面角 证 证所作为所求 求 解直角三角形 通常 通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段 垂足和斜足的连线是产生线面角的关键 典例4 已知三棱柱abc a1b1c1的侧棱与底面边长都相等 a1在底面abc内的射影为 abc的中心 则ab1与底面abc所成角的正弦值等于 答案 b 反思感悟 求线面角的关键是作出这个角 而作出这个角就要过平面斜线上的一点作平面的垂线 一般方法是有直接法和根据面面垂直的性质定理的方法 类型五二面角解题准备 二面角大小的求法 由于二面角的大小是用它的平面角的大小度量的 因此求解二面角的大小的关键是作出它的平面角 将面面角的计算转化为一个平面上的线线角的计算 其基本步骤是作 作平面角 证 证所作即所求 算 计算平面角的大小 作二面角的平面角的常用方法有 1 直接法 根据平面角的概念直接作 如二面角的棱是两个等腰三角形的公共底边 就可以取棱的中心 2 垂面法 过二面角棱上一点作棱的垂面 则垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角或其补角 3 垂线法 过二面角的一个半平面内一点a作另一个半平面的垂线 再从垂足b向二面角的棱作垂线 垂足为c 这样二面角的棱就垂直于这两个垂线所确定的平面abc 连接ac 则ac也与二面角的棱垂直 acb就是二面角的平面角或其补角 这样就把问题归结为解一个直角三角形 这是求解二面角的最基本 最重要的方法 典例5 如图 已知pa垂直于正方形abcd所在平面 且pa ab 1 求平面pdc与平面abcd所成二面角的大小 2 求二面角b pc d的大小 3 求二面角a pb c的大小 4 求平面pab与平面pcd所成二面角的大小 分析 根据所求的二面角 选择适当的作二面角的方法作出二面角 然后求解 解 1 pa 平面abcd dc 平面abcd dc pa 由正方形abcd 有dc ad dc pd 三垂线定理 故 pda即为平面pdc与平面abcd所成二面角的平面角 pa ab ab ad pad为等腰直角三角形 pda 45 即平面pdc与平面abcd所成二面角的大小为45 2 在rt pcb与rt pcd中 bc dc poc pbc pc为公共边 pcb pcd 在平面pbc内作be pc于点e 连接de 则de pc bed即为二面角b pc d的平面角 且be de 又设pa ab a 则pb pd be de a 又bd 在 bde中 cos bed 又0 bed 180 bed 120 即二面角b pc d的大小为120 3 解法一 pa 平面abcd bc 平面abcd pa bc 又bc ab 且pa ab a bc 平面pab 又bc 平面pbc 平面pbc 平面pab 故二面角a pb c为直二面角 解法二 bc ab bc pa bc 平面pab 点b为点c在平面pab上的射影 线段pb为 pbc在平面pab内的射影 二面角a pb c为直二面角 4 pa 平面abcd pa ad 又abcd为正方形 ad ab 从而有ad 平面pab 同理cb 平面pab pab是 pcd在平面pab上的射影 设平面pab与平面pcd所成的二面角为 则cos 反思感悟 二面角的作法种数较多 要根据题设条件和所求 选择最优方法作角 在计算中 适当设棱长为一个字母表示长度 可简化计算步骤 类型六线面垂直中的探索性问题解题准备 立体几何中的开放题在近几年的各地高考试题中是出现较多的 开放题很好地考查了学生发散思维和探究学习的能力 解题中常规作法一是根据对题目的综合分析和观察猜想出点或线的位置 再加以证明 二是假设所求的点或线存在 并用设定的参数表示出来 再根据其满足的条件确定参数 典例6 如图 四棱锥p abcd中 底面abcd是 dab 60 的菱形 侧面pad为正三角形 其所在平面垂直于底面abcd 1 求证 ad pb 2 若e为bc边的中点 能否在棱pc上找到一点f 使平面def 平面abcd 并证明你的结论 解 1 证明 取ad的中点g 连接pg bg bd pad为等边三角形 pg ad 又 平面pad 平面abcd pg 平面abcd 在 abd中 a 60 ad ab abd为等边三角形 bg ad ad 平面pbg ad pb 2 连接cg de 且cg与de相交于h点 在 pgc中作hf pg 交pc于f点 连接df fh 平面abcd 平面dhf 平面abcd h是cg的中点 f是pc的中点 在pc上存在一点f 即为pc的中点 使得平面def 平面abcd 反思感悟 近年来开放型问题不断在高考试题中出现 这说明高考对学生的能力要求越来越高 这也符合新课标的理念 因而在复习过程中要善于对问题进行探究 立体几何中结合垂直关系 设计开放型试题将是新课标高考命题的一个动向 错源一抓不住线面垂直的本质 典例1 给出下面四个命题 1 若一直线垂直于平面内的两条直线 则这条直线垂直于这个平面 2 若一直线垂直于平面内的无数条直线 则这条直线垂直于这个平面 3 若一直线垂直于平面内的任意一条直线 则这条直线垂直于这个平面 4 若一直线垂直于梯形的两腰所在直线 则这条直线垂直于梯形所在平面 其中正确的命题共有 a 1个b 2个c 3个d 4个 错解 c 2 3 4 正确 剖析 错解对于线面垂直的概念理解不到位 没有抓住概念的本质 正解 b 3 4 正确 错源二使用判定定理时忽视条件而致误 典例2 如图 a b 点p在a b所确定的平面外 pa a于a ab b于b 求证 pb b 错证 因为a b 所以a b确定一平面 因为pa a a b 所以pa b 所以pa 所以pb b 剖析 本证法的错因在于没有正确使用线面垂直的判定定理 由pa a pa b得pa 而忽略了a b 证明 因为pa a a b 所以pa b 又因为ab b pa ab a 所以b 平面pab 故pb b 错源三防止主观臆断的失误 典例3 如图 四棱锥s abcd中 底面abcd为平行四边形 侧面sbc 底面abcd 已知 abc 45 sa sb 求证 sa bc 错解 作so bc 垂足为o 因为侧面sbc 底面abcd 侧面sbc 底面abcd bc 所以so 底面abcd 又so 面sao 所以面sao 底面abcd 因为sa 面sao bc 底面abcd 所以sa bc 剖析 错误原因在于解答到最后时无中生有地造了一个判定定理 如果两个平面垂直 那么一个平面中任意一条直线一定垂直于另一个平面中的任意一条直线 因这个结论是错误的 故而出错 正解 作so bc 垂足为o 连接ao 由侧面sbc 底面abcd得so 底面abcd 因为sa sb 所以ao bo 又 abc 45 故 aob为等腰直角三角形 ao bo 因为so 平面sao ao 平面sao so ao o 所以bc 平面sao 又sa 平面sao 所以sa bc 技法一快速解题 利用三余弦公式 典例1 如图 过 boc的顶点o作该角所在平面的斜线 使 aob aoc 60 若oa ob oc 1 bc 求oa与平面boc所成的角 快解 由题设易知 boc是等腰rt boc 90 由于 aob aoc 60 故oa在平面boc内的射影是 boc的平分线 则 bod 45 故cos aod aod 45 即oa与平面boc所成角为45 另解切入点 ob oc 1 bc boc是等腰rt 可以证明 abc也是等腰直角三角形 分析 boc与 abc都是等腰rt 取其公共斜边的中点d 连接od ad 则