线性代数习题解答第一二三章.doc

线 性 代 数 - 37 -总习题一一、问答题1. 试解释二、三阶行列式的几何意义.（图1）解 在平面解析几何中，已知两向量，如图，以为邻边的平行四边形的面积为，而 ，故 这就是说，二阶行列式表示平面上以为邻边的平行四边形的有向面积，这里符号规定是当这个平行四边形由向量沿逆时针方向转到向量而得到时面积取正值；当这个平行四边形由向量沿顺时针方向转到向量而得到时面积取负值空间三向量的混合积的绝对值等于这三个向量张成的平行六面体的体积，即三阶行列式表示以为相邻棱的平行六面体的有向体积，当构成右手系时，体积取正值；当构成左手系时，体积取负值实际上改变任意两向量次序，取值符号改变类比二、三阶行列式，阶行列式是由维向量张成的维平行多面体的有向体积尽管我们不能看见维平行多面体，但是有2，3维空间做蓝本，我们却能够通过现象抓住行列式概念的本质，进行想象行列式的性质均可以通过几何直观解释，这就是了解几何背景的优势2. 行列式中元素的余子式、代数余子式与行列式有什么关系？解 由定义知，在行列式中，去掉元素所在的第行和第列后，保持相对位置不变得到的阶行列式称为该元素的余子式，记为而把称为元素的代数余子式，记为由定义可知，元素的余子式及代数余子式与该元素的位置有关，而与该元素本身是什么数无关因此，如果只改变行列式的某行（列）的各元素数值，并不会改变该行（列）原来的各元素对应的余子式和代数余子式例如：在行列式=中，将第二行元素都换成1，得，那么的第二行各元素的代数余子式与的第二行各元素的代数余子式是分别对应相同的利用此性质可以方便地计算行列式某些元素的代数余子式的某些线性组合它们与行列式的关系主要表现在行列式按行（列）展开定理及其推论中，即， 3. 试从几何的角度解释三元线性方程组有唯一解的意义.解 线性方程组的解可以借助于子空间的概念来阐明，这样可以使线性方程组的解有了几何意义设三元一次线性方程组,三个方程在空间分别表示三个平面，该方程组有唯一解，就是说它们有唯一一个交点（如右图）这样以直观方式去理解三元线性方程组的解，就会比较顺利地迁移到对元线性方程组的解地理解上去。如果我们利用几何直观来理解线性代数课程，就能为抽象思维提供形象模型，提高应用线性代数理论去解决实际问题的能力4. 范德蒙（Van der monde）行列式的结构特点及结论是什么？请运用范德蒙行列式证明：. 解 范德蒙行列式它的结构特点是：每一列都构成等比数列，首项是1，公比分别是，末项分别是的次幂若将此行列式转置，则各行元素具有此特点.解题时若发现某行列式有此特点，则可以利用范德蒙行列式的结果写出答案根据待求行列式的特点，构造四阶范德蒙行列式：一方面，利用范德蒙行列式结论有，另一方面，按第四列展开有，比较的系数得结论成立 二、单项选择题1级行列式（ ）（A） （B） （C） （D）解 应选（B），本题宜直接计算，采用直选法由行列式的定义，该行列式只有一项不为零，2设，那么的一次项系数为（ ）（A） 1 （B） 2 （C） -1 （D） -2解 应选（C），本题宜直接计算，采用直选法由行列式展开定理，的一次项系数为代数余子式，故选（C）3如果行列式（ ）（A） 2d （B）3d （C）6d （D）-6d 解 应选（C），本题直接计算利用行列式的性质，故选（C）4如果级行列式中每个元素都是1或-1,那么该行列式的值为( )（A）偶数 （B）奇数 （C）1 （D）-1解 应选（A）因为行列式中每个元素都是1或-1,将行列式的第二行元素的一倍加到第一行，行列式的值不变，此时行列式第一行元素只可能是,即2是第一行元素的公因数，也是行列式的一个因数，从而行列式的值一定是偶数说明：读者可以考虑所有满足该题条件的三阶行列式的最大取值是多少？它是一个很有趣的问题5行列式的主对角线上每个元素与其代数余子式乘积之和为( ) （A） （B） （C） （D） 解 应选（C），本题思路是根据行列式的特点，将“主对角线上每个元素与其代数余子式乘积之和”转化为“每行元素与其代数余子式乘积之和”，再利用行列式展开定理解题由于行列式每行只有一个元素不为零，故从而6四阶行列式的值等于（ ）(A) (B) (C) (D) 解 应选(D)，本题可以直接计算，采用直选法计算过程可以用行列式的定义，行列式按行展开定理，也可以用拉普拉斯定理解答使用拉普拉斯定理更快捷本题更好的方法是采用排除法，令，可得此时行列式的值为，经比较，可知(A)、(B)和(C)都不对，故本题应选(D)7行列式为零的充分条件是（ ）(A) 零元素的个数大于个 (B) 中各行元素的和为零(C) 次对角线上元素全为零 (D) 主对角线上元素全为零解 应选(B)因为中各行元素的和为零，根据行列式的倍加不变性质，将其它各列的一倍加到第一列，第一列元素都化为零，故(B)是为零的充分条件说明：建议初学者分别举例说明其它三种情况都不是充分条件8方程的根为（ ）(A) 1，2， (B) 1，2，3 (C) 1，2 (D) 0，1，2解 应选（A）可以将行列式视为关于的四阶范德蒙行列式，立刻得到结论也可以将分别取值后，第4列分别与1,2，3列对比观察，得到结论9当（ ）时，方程组只有零解(A) (B) (C) (D) 解 应选(D)，本题直接计算方程组的系数行列式由克莱姆法则知，当时，齐次线性方程组只有零解10设，则的值可能为（ ）(A) 4 (B) (C) (D)解 应选(D)，本题直接计算行列式：则有三个根，故选(D)三、解答题1. 计算行列式 解 该行列式的阶为，从第列开始，逐列乘以1加到前一列，按第一列展开得原式2. 计算下列行列式（1）； （2）；（3）； （4） 解 （1）；（2）；（3）由习题1.4第5题结论，当，；或直接用展开定理：原式；（4）由拉普拉斯定理可得： 3. 用加边法计算行列式 解 利用行列式展开定理，构造一个等值的行列式，其中第一列元素根据行列式的特点确定，即 原式4. 证明：证明 用数学归纳法证明因为，所以当时命题成立现在假设行列式阶小于时，结论成立，下证对阶行列式结论成立将阶行列式按第1行展开后再展开，有故结论成立5. 设是互异的实数，证明：的充要条件是证明 行列式中元素及其排列接近范德蒙行列式的形式，因此，构造四阶范德蒙行列式：一方面，利用范德蒙行列式结论有，另一方面，按第四列展开有，比较的系数得：又是互异的实数，故的充要条件是6. 证明：证明 左边7. 当为何值时，方程组有唯一解？并用克莱姆法则求解解 因为方程组的系数行列式，所以当时，方程组有唯一解又所以8.设阶行列式的第行元素依次为，第行元素的余子式为全为，第行元素的代数余子式依次为，且行列式的值为1，求的值.解 由题设；，则有据行列式展开定理及其推论有，即解得 9设，计算的值，其中是对应元素的代数余子式解 由行列式按行展开定理10. 设行列式，求的值解 由题设依次将第行的（-1）倍加到第行，得再将第一列分别加到其余各列，得注：用同样的方法，可以求得行列式11设为三角形的三边边长，证明：证明 将2，3，4列的1倍加到第一列，提取公因式，得将第1行的倍，加到利用2，3，4行，按第一列展开，得继续计算由三角形的性质，上式四个因式中有三项小于零，故12设多项式，用克莱姆法则证明：如果存在个互不相同的根，则解 设为互不相同的根，则，于是有该方程组的系数行列式（视为未知元）故该齐次线性方程组只有零解：，从而第二章总习题一、问答题1阶矩阵可以表示成一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和，这种表示是否惟一？解 这种表示是惟一的事实上，若存在对称矩阵和反对称矩阵使得则，即，等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，故它们只能是零矩阵，即2请利用矩阵的乘法表示线性方程组，并借助于可逆矩阵和伴随矩阵，理解克莱姆（Cramer）法则解 记，则线性方程组有矩阵形式如果可逆矩阵可逆（即系数行列式），则克莱姆法则告诉我们方程组有唯一解，解可用矩阵形式表示，从分块矩阵角度理解，对应元素相等，这就是克莱姆法则给出的解的形式3设分别为阶矩阵，举反例说明下列运算不正确(1) ；(2) 若,则；(3) 若,则或；(4) 若,则或；(5) .解 (1) 如，而，它们不相等；(2) 如，但；(3) 如，,但且；(4) 如，有，但且；(5) 以（1）中矩阵为例，行列式，而，它们不相等.4设矩阵的秩为，则是否在中只有一个阶非零子式？存在阶非零子式吗？若，求的秩，并求的最高阶非零子式.解 设矩阵的秩为，则中至少有一个阶非零子式（即可能有多个）因为的阶子式已经全为零，故的阶子式一定全为零矩阵的秩为2，二阶子式，三阶子式一定全为零说明：这些结论对于第三章利用“初等行变换不改变列向量组的线性相关性”讨论向量组的性质很重要5阅读矩阵密码法材料，回答下列问题现有一段明码（中文汉语拼音字母），若利用矩阵加密，发出的“密文”编码：41，97，81，33，92，66，59，154，103请破译这段密文，完成李白脍炙人口的千古绝唱：“故人西辞黄鹤楼，烟花三月下”品味古城名邑的无限风韵，细思加密矩阵的性质要求解 首先将“密文”编码：41，97，81，33，92，66，59，154，103排成矩阵，由于“密文”是通过加密的，故破译这段密文的方法是，对应中文汉语拼音字母yang-zhou (扬州)关于加密矩阵的性质要求，为了计算方便加密矩阵的行列式以为好，根据电文的长度确定矩阵的阶，当阶较大时可以考虑用分块矩阵加密为了增加破译难度，密文数据可以用模26同余数二、单项选择题1若A，B为同阶方阵，且满足，则有（ ）.（A）AO或BO（B）|A|0或|B|0（C）(AB)AB（D）A与B均可逆解 应选（B），本题可采用直选法利用行列式乘法规则，若，则，从而|A|0或 |B|0，故选（B）当然也可采用排除法2若对任意方阵B，C，由AB=AC（A，B，C为同阶方阵）能推出B=C，则A满足（ ）.（A）A0 （B）A0 （C）|A|0 （D）|AB|0解 应选（C）由于矩阵的乘法运算不满足消去律，当矩阵A可逆（即|A|0）时，用左乘AB=AC能推出B=C本题也可以借助克莱姆法则理解，将等式变形为，考虑齐次线性方程组只有零解的条件3设是阶矩阵，若，则有（ ）(A) (B) (C) (D) 解 应选（A）都是交换两行（或列）对应的初等矩阵，它们有一个性质由知，分别用左乘、右乘，没有改变，故均为偶数，选（A）4设，若秩，则有（ ）(A) 或 (B) 或 (C) 且 (D) 且解 应选（C），解题依据是和之间秩的关系：5设同阶方阵满足关系式，则必有（ ）.（A）ACB=E （B）CBA=E （C）BAC=E （D）BCA=E解 应选(D)，采用直选法对于任意方阵我们有“若，则”，由，将或作为一个“整体”与另一个矩阵交换寻找答案6若A，B，B+A为同阶可逆方阵，则(B+A)（ ）.（A）B+A （B）BA （C）(B+A) （D）B(B+A)A解 应选(D)，本题采用“和化积”的思路求逆矩阵在矩阵的左边乘A，右边乘B，得从而，所以，故选(D)注意：也可以写成由逆矩阵的唯一性有7设均为阶方阵，则必有( ).（A） （B） （C） （D）解 应选（C），本题可以用排除法，题目中（A）、（B）和（D）都有反例说明不一定成立，它们都是应该知道的当然，也可以用行列式乘法规则直接计算8已知2阶矩阵的行列式，则（ ）.（A） （B）（C） （D）解 应选（A）考察重要等式，根据可逆矩阵的定义，当时，我们观察可知，所以，选（A）9设是阶矩阵，若，则（ ）.（A） （B） （C） （D） 解 应选(D)，本题可以直接计算，采用直选法计算如下：，说明：本题检查的知识点是“对于阶矩阵，有”10设，则（ ）.（A） （B） (C) （D） 解 应选（C），本题可以直接计算，采用直选法当然计算前应注意观察矩阵的特点和矩阵运算式的特点，这会简化计算事实上，主对角线外的元素对应相等，考虑有，由此选（C）显然三、解答题1设若矩阵与可交换，求的值.解 两矩阵相乘得 ，比较对应位置元素，有，所以2设均为n阶对称矩阵，证明：是阶对称矩阵.证明 因为均为n阶对称矩阵，即，所以从而是阶对称矩阵.3设实矩阵，且，（为的代数余子式），求行列式解 因为，所以由等式，得，两边取行列式得，即，所以或又由，故，从而4设为二阶方阵，为三阶方阵，且A，求解 因为A，所以，又，从而 5设为4阶可逆方阵，且，求解 先将行列式中的矩阵化为同名矩阵，再代入，可得6设，求解 因为，所以，故，；7已知，求解下列矩阵方程：（1） ;(2).解 （1）由，得，所以，;(2)因为，所以8设，三阶方阵满足关系式，求解 因为，所以用左乘表达式的两边，得，从而9设矩阵且满足,求矩阵.解 因为，所以用右乘的两边，得，从而10设为阶方阵，为的伴随矩阵，证明：(1) 若，则； (2) 证明 (1) 设，若，则，当然有；若，则可以利用等式得到，考虑齐次线性方程组，由于，且，故方程组有非零解，从而有 (2) 由（1）只要证明的情形事实上，当时，由可得，两边同除以，则有结论成立11设为阶可逆矩阵，若的每行元素之和为，证明：的每行元素之和为.证明 首先，由行列式的性质可知，否则，与为阶可逆矩阵矛盾其次，利用向量将“的每行元素之和为”用矩阵的乘法表示为：再将上式两边同时左乘，并变形即的每行元素之和为.12设阶矩阵，如果矩阵的秩为，求解 矩阵的行列式的值为，所以当时，矩阵的秩为；当时，易见矩阵的秩为1；当时，所以秩，此时13 设，若互不相等，求矩阵的秩 解 因为，所以对作初等行变换，得由于互不相等，三阶子式，而四阶子式等于零，故矩阵的秩等于314设为矩阵，为矩阵，且，试证：.证明 因为为矩阵，为矩阵，所以矩阵是阶矩阵，又，利用矩阵秩的关系，有，故.15阶矩阵满足时，称为幂等矩阵设为幂等矩阵，证明：和是可逆矩阵，并求其逆证明 由得，即，故是可逆矩阵，且同理，因为，所以是可逆矩阵，且 16设为5阶方阵，且，求解 因为“当阶矩阵满足时，有”，所以由有，从而17设，求一个矩阵，使得的伴随矩阵解 由于矩阵的秩为1，且，所以矩阵的秩为2，从而进一步有，即的每一列为的解，可令由代数余子式，可取，同理，可取，这样可取注意：本题答案不唯一，感兴趣的读者可以尝试再找一个18证明:任何一个阶矩阵都可以表示成为一个可逆矩阵于一个幂等矩阵的乘积.证明 不妨设为阶矩阵，秩为 ，则存在阶可逆矩阵使得从而其中，显然是可逆矩阵，是幂等矩阵.19. 设矩阵是满秩的，证明：直线与直线相交于一点证明 令直线与，则它们的方向向量分别为，在两直线上分别取点，则所以两直线共面又对矩阵作初等变变换，有因为的秩等于3，所以的秩等于3，即不平行，从而两直线相交于一点总习题三一、问答题1. 设非齐次线性方程组和齐次线性方程组（1）若只有零解，能否由此推出有唯一解？若有唯一解，能否由此断言只有零解？为什么？（2）若有非零解，能否由此推出有无穷多个解？若有无穷多个解，能否由此断言只有非零解？为什么？答：（1）不能，考虑，只有零解，但无解反之，能够；（2）不能，考虑，有无穷多组解，但无解反之，能够2. 在中，任一平面是它的子空间吗？为什么？答：不一定比如：不能构成子空间，因为中不含零向量取，但也说明不构成子空间3. 在中，请利用三向量的位置关系，理解它们的线性相关性答：三向量线性相关当且仅当它们共面三向量线性无关当且仅当它们不共面，即4. 请思考在中，向量的维数与向量空间的维数的区别请问三维空间中可以有四维向量吗？答：向量的维数是向量分量的个数，向量空间的维数是基向量组含向量的个数三维空间中可以有四维向量，如生成的是三维空间，其中向量均为四维向量5试从空间三平面的位置关系理解线性方程组有解判定定理和解的结构定理.答：设有线性方程组其中每一个方程在空间表示一个平面. 如果方程组无解，则或者三平面平行，或者两平面重合并与第三个平面平行，或者两平面平行并与第三个平面相交，或者任意两平面相交，其交线平行于第三个平面；如果方程组有唯一解，则三平面相交于一点；如果方程组有无穷多个解，则或者三平面重合，或者两平面重合并与第三个平面相交，或者三平面相交于一条直线.二、单项选择题1设线性相关，线性无关，则正确的结论是（ ）.（A）线性相关 （B）线性无关（C）可由线性表示 （D）可由线性表示解 应选（C）直选法 因为线性无关，所以线性无关，又线性相关，故可由线性表示，从而可由线性表示排除法，取特殊向量排除三个选项令，则线性相关，线性无关，而线性无关，排除（A）选项在上述向量组中改令，其余不变，同时排除（B）和（D）选项2齐次线性方程组的系数矩阵记为，若存在三阶矩阵，使得，则（ ）（A）且 （B）且（C）且 （D）且解 应选（C）因为存在三阶矩阵，使得，则方程组有非零解，而系数行列式，故排除（A）和（B）选项又时，由，有，从而，即，应选（C）3设元线性方程组的系数矩阵的秩为，且为线性方程组的三个线性无关的解向量，则方程组的基础解系为（ ）. （A） （B）（C） （D）解 应选（A）方程组的系数矩阵的秩为，且为线性方程组的三个线性无关的解向量，故是的一个基础解系，四选项中的向量组均为的含3个解向量的向量组，只要它们线性无关即可以作为一个基础解系本题可以用直选法，证明线性无关；也可以用排除法，观察可知（B）、（C）和（D）选项中的向量组均线性相关4设为阶矩阵，是的伴随矩阵，齐次线性方程组有两个线性无关的解，则（ ）的解均为的解 的解均为的解与有唯一公共非零解 与无公共非零解解 应选（A）齐次线性方程组有两个线性无关的解，则，故，即，所以任意维向量均为的解，从而，的解均为的解选（A）5设向量组是方程组的基础解系，是方程组的两个解向量，是任意常数，则方程组的通解为（ ）. （A） （B）（C） （D）解 应选(B)根据特解要求排除（A）和（D）选项又由题设不能确定是线性无关的，排除（C），确定选（B）6设，其中是初等矩阵，则非齐次线性方程组（ ）(A) 无解 (B) 可能有解 (C) 有无穷多组解 (D) 有唯一解解 应选(D) . 因为是初等矩阵，故可逆，非齐次线性方程组有唯一解7设，则三条直线，(其中)交于一点的充要条件是（ ） （A）线性相关 （B）线性无关 （C）秩秩 （D）线性相关，线性无关解 应选(D)三条直线交于一点，即对应的方程组有唯一解当时，即线性相关，线性无关时，有唯一解，选(D)8设向量组：可由向量组，：线性表示，则（ ）（A）当时，向量组必线性相关 （B）当时，向量组必线性相关（C）当时，向量组必线性相关 （D）当时，向量组必线性相关解 应选(D)建议采用直选方法，实际上，只用到两向量组之间的关系的一个定理：设两个向量组，若，则向量组(A)线性相关注意：本题也可以选择特殊向量，用排除法 9设为满足的任意两个非零矩阵，则必有（ ）（A）的列向量组线性相关，的行向量组线性相关（B）的列向量组线性相关，的列向量组线性无关（C）的行向量组线性无关，的行向量组线性相关（D）的行向量组线性无关，的列向量组线性无关 解 应选（A）设，是的列向量组，则根据分块矩阵的乘法运算法则，可将改写为因为是非零矩阵，所以这个等式中至少有一个等式的系数不全为零，这说明线性相关将两边转置，得，根据上面的推证，可知的列向量组，即的行向量组线性相关10设向量组（）可由向量组（）线性表示，则下列命题正确的是（ ）.(A) 若向量组（）线性无关，则 (B) 若向量组（）线性相关，则(C) 若向量组（）线性无关，则 (D) 若向量组（）线性相关，则解 应选（A）考虑第8题解答中使用定理的逆否命题：如果向量组(A)能由向量组(B)线性表示，且向量组(A)线性无关，则 三、解答题1设向量组=,=,=,=,=,=.（1）求,的一个极大线性无关组；（2）问,能否由,的一个极大线性无关组线性表示？为什么？解 将排成矩阵，作初等行变换，化为简化行阶梯形矩阵所以，（1） ,可作为一个极大线性无关组；（2）+；由于对应的方程组无解，故不可以2设向量组试问（1）当为何值时，能由唯一的线性表示？ （2）当为何值时，不能由线性表示？（3）当为何值时，能由线性表示，但表示法不唯一，并写出表示式.解 （1）当，为任何值时，能由唯一的线性表示；（2）当，时，不能由线性表示；（3）当，时，能由线性表示，且表示法不唯一，此时，其中为任意常数3已知4阶方阵，其中均为4维的列向量，且线性无关， 若求线性方程组的通解.解 因为 4阶方阵的列向量组中有是线性无关的，所以，又，即线性相关，得，故这样有方程组的通解形式为，又由，可取为方程组的特解，由，可取为导出组的一个基础解系.从而，方程组的通解为4已知向量组与具有相同的秩，且能由线性表示，求的值.解 因为，所以的秩为2，从而，即有又能由线性表示，所以b=5，代入，得 a=155设向量组；，且，证明：则.证明 因为，所以线性无关，线性相关，从而可以由线性