高中数学 2.3.2 离散型随机变量的方差复习课件 新人教A版选修23.ppt

2 3 2离散型随机变量的方差 1 理解取有限个值的离散型随机变量的方差和标准差的概念和意义 2 能计算简单的离散型随机变量的方差和标准差 并能解决实际问题 3 掌握方差的性质以及两点分布 二项分布的方差的求法 1 本课的重点是离散型随机变量的方差和标准差的概念及计算方法 方差的性质 两点分布及二项分布的方差的求法 2 本课的难点是应用方差解决实际问题 1 方差及标准差的定义设离散型随机变量x的分布列为 1 方差d x 2 标准差为 2 方差的性质d ax b 3 两个常见分布的方差 1 若x服从两点分布 则d x 2 若x b n p 则d x a2d x p 1 p np 1 p 1 随机变量的方差与样本的方差有何区别与联系 提示 2 已知 的分布列为则d 解析 e 1 0 5 0 0 3 1 0 2 0 3 d 1 0 3 2 0 5 0 0 3 2 0 3 1 0 3 2 0 2 0 61 答案 0 61 3 若随机变量 b 5 则d 解析 随机变量 b 5 d 答案 4 已知随机变量 的方差d 4 且随机变量 2 5 则d 解析 由d a b a2d 得d d 2 5 4d 16 答案 16 对随机变量的方差和标准差的概念理解 1 随机变量x的方差和标准差都反映了随机变量x取值偏离于均值e x 的平均程度 2 随机变量x的方差反映了随机变量x取值的稳定与波动 集中与离散的程度 方差或标准差越小 则随机变量x稳定性越高 波动性越小 3 随机变量x的方差为总体的方差 它是一个常数 不随抽样样本的变化而变化 离散型随机变量的方差及标准差的计算 技法点拨 求离散型随机变量的方差的类型及方法 1 已知分布列型 非两点分布或二项分布 直接利用定义求解 具体如下 求均值 求方差 2 已知分布列是两点分布或二项分布型 直接套用公式求解 具体如下 若x服从两点分布 则d x p 1 p 若x b n p 则d x np 1 p 3 未知分布列型 求解时可先借助已知条件及概率知识先求得分布列 然后转化成 1 中的情况 4 对于已知d x 求d ax b 型 利用方差的性质求解 即利用d ax b a2d x 求解 典例训练 1 已知随机变量x满足d x 2 则d 3x 2 a 6 b 8 c 18 d 202 一牧场有10头牛 因误食含有病毒的饲料而被感染 已知该病的发病率为0 02 设发病的牛的头数为 则d 等于 a 0 2 b 0 8 c 0 196 d 0 804 3 已知 的分布列为 1 求 的方差及标准差 2 设y 2 e 求d y 215 解析 1 选c d 3x 2 9d x 18 2 选c 服从二项分布 b 10 0 02 d 10 0 02 1 0 02 0 196 3 1 e 所以d 2 方法一 随机变量y的分布列为 d y 方法二 y 2 e d y d 2 e 22d 4 384 1536 思考 题1的易错点是什么 题3两种解法哪一种更好 提示 1 题1的易错点是错用d 3x 2 3d x 导致选a 2 两种方法比较显然直接利用方差的性质解题更为简便 故在求解此类问题时 我们常用方差的性质直接求解 变式训练 设随机变量 可能取值为0 1 且满足p 1 p 0 则d 解析 由题意可知 随机变量 服从两点分布 故答案 方差的应用 技法点拨 应用方差解决实际问题的注意点对于方差的实际应用 在两个离散型随机变量的数学期望相等的情况下 主要看离散型随机变量的取值如何在数学期望周围变化 即计算方差 方差大说明离散型随机变量取值比较分散 方差小说明离散型随机变量取值比较稳定集中 关键词 方差的大小 典例训练 1 a b两台机床同时加工零件 每生产一批数量较大的产品时 出次品的概率如下表所示 a机床b机床由上表数据可知机床 加工质量较好 2 甲 乙两射手在同一条件下进行射击 射手甲击中环数8 9 10的概率分别为0 2 0 6 0 2 射手乙击中环数8 9 10的概率分别为0 4 0 2 0 4 用击中环数的数学期望与方差比较两名射手的射击水平 解析 1 e 1 0 0 7 1 0 2 2 0 06 3 0 04 0 44 e 2 0 0 8 1 0 06 2 0 04 3 0 10 0 44 它们的数学期望相同 再比较它们的方差 d 1 0 0 44 2 0 7 1 0 44 2 0 2 2 0 44 2 0 06 3 0 44 2 0 04 0 6064 d 2 0 0 44 2 0 8 1 0 44 2 0 06 2 0 44 2 0 04 3 0 44 2 0 10 0 9264 d 1 d 2 故a机床加工较稳定 质量较好 答案 a 2 设甲 乙两射手射击 击中环数分别为 1 2 e 1 8 0 2 9 0 6 10 0 2 9 d 1 8 9 2 0 2 9 9 2 0 6 10 9 2 0 2 0 4 同理有e 2 9 d 2 0 8 由上可知 e 1 e 2 d 1 d 2 所以 在射击之前 可以预测甲 乙两名射手所得的平均环数很接近 均在9环左右 但甲所得环数较集中 而乙得环数较分散 互动探究 对于题2在题设条件不变的条件下 问 1 其他对手的射击成绩都在8环左右 应派哪一名选手参赛 2 如果其他对手的射击成绩都在9环左右 应派哪一名选手参赛 解析 1 如果其他对手射击成绩都在8环左右 且甲射击水平更稳定 故应派甲 2 如果其他对手射击成绩都在9环左右 由于乙射击10环的可能性较甲大 故应派乙 思考 题1 2的解法说明了什么 对于题2能否说明在一次射击中甲的水平比乙高 提示 1 由题1 2的解法说明了在均值相同的情况下 还需要通过方差来进一步判断其稳定性 2 并不能说明甲的水平比乙高 原因是一次射击即为一次试验 并不一定甲的击中环数比乙多或甲比乙稳定 变式训练 在某次抽奖活动中 获奖者甲面临两种选择 1 获奖金750元 2 从装有10张标有奖金的纸牌中一次性地抽取3张 这10张纸牌中8张标有200元 2张标有500元 这样做 他所获得的奖金数额等于所抽3张纸牌上的奖金额之和 他应如何选择抽奖方案 解析 设第二种选择中获奖金数额为 元 随机变量 的可能取值为600 900 1200 600 表示从10张牌中抽出3张标有200元的牌 900 表示从10张牌中抽出2张标有200元的牌和1张标有500元的牌 1200 表示从10张牌中抽出2张标有500元的牌和1张标有200元的牌 的分布列为所以e 故他应该选第二种选择 易错误区 错用方差公式致误 典例 已知 3 且d 13 那么d 的值为 a 39 b 117 c d 解题指导 解析 选b d 13 阅卷人点拨 通过阅卷后分析 对解答本题的常见错误及解题启示总结如下 注 此处的 见解析过程 即时训练 2012 沈阳高二检测 已知 b 4 并且 2 3 则方差d 解析 选a d 2 3 d 4 d 1 一个样本的方差那么这个样本的平均数与样本容量分别为 a 15 10 b 6 15 c 10 10 d 10 15 解析 选a 由方差的定义 样本平均数为15 样本容量为10 2 已知 b n p 且e 7 d 6 则p等于 解析 选a e np 7 d np 1 p 6 所以 3 已知随机变量 d 则 的标准差为 解析 答案 4 已知随机变量 满足p 1 0 3 p 2 0 7 则e x 和d x 的值分别为 解析 e x 1 0 3 2 0 7 1 7 d x 1 1 7 2 0 3 2 1 7 2 0 7 0 21 答案 1 70 21 5 某