24《圆》学案.doc

BA C D O M 24 1 2 垂直弦的直径学案垂直弦的直径学案 学习目标 知识与技能知识与技能 1 理解圆的轴对称性 掌握垂径定理及其他结论 2 学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明 计算和作图问题 3 了解拱高 弦心距等概念 过程与方法过程与方法 经历探索发现圆的对称性 证明垂径定理及其他结论的过程 锻炼思维品质 学习证明的方法 情感 态度与价值观情感 态度与价值观 在学生通过观察 操作 变换 探究出图形的性质后 还要求对发现的性质进行证明 培养学生的 新意识 良好的运用数学 重点重点 垂径定理及其推论 难点难点 垂径定理及其推论 学习过程 一 自主学习一 自主学习 一 复习巩固 判断 1 直径是弦 弦是直径 2 半圆是弧 弧是半圆 3 周长相等的两个圆是等圆 4 长度相等的两条弧是等弧 5 同一条弦所对的两条弧是等弧 6 在同圆中 优弧一定比劣弧长 7 请在图上画出弦 CD 直径 AB 并说明 叫做弦 叫做直径 8 在图上画出弧 半圆 优弧与劣弧并填出概念及表示方法 弧 半圆 优弧 表示方法 劣弧 表示方法 9 同心圆 等圆 10 同圆或等圆的半径 等弧 二 自主探究 请同学按下面要求完成下题 如图 AB 是 O 的一条弦 作直径 CD 使 CD AB 垂足为 M 1 如图是轴对称图形吗 如果是 其对称轴是什么 圆是圆是 对称图形 其对称轴是任意一条过对称图形 其对称轴是任意一条过 的直线 的直线 2 你能发现图中有哪些相等的线段和弧 为什么 相等的线段 相等的弧 这样 我们就得到垂径定理垂径定理 垂直于垂直于 的直径平分弦 并且平分弦所对的两条的直径平分弦 并且平分弦所对的两条 表达式 表达式 下面我们用逻辑思维给它证明一下 已知 直径 CD 弦 AB 且 CD AB 垂足为 M 求证 AM BM 弧 AC BC 弧 AD BD 分析 要证 AM BM 只要证 AM BM 构成的两个三角形全等 因此 只要连结 OA OB 或 AC BC 即可 证明 如图 连结 OA OB 则 OA OB 在 Rt OAM 和 Rt OBM 中 Rt OAM Rt OBM AM 点 和点 关于 CD 对称 O 关于 CD 对称 当圆沿着直线 CD 对折时 点 A 与点 B 重合 弧AC与BC重合 AD与CD重合 进一步 我们还可以得到结论 平分弦 平分弦 的直径垂直于 的直径垂直于 并且平分弦所对的两条 并且平分弦所对的两条 表达式 表达式 三 归纳总结 1 圆是 图形 任何一条 所在直线都是它的对称轴 2 垂径定理 推论 四 自我尝试 1 辨析题 下列各图 能否得到 AE BE 的结论 为什么 2 赵州桥的桥拱是圆弧形 它的跨度 弧所对的弦的长 为 37 4m 拱高 弧的中点到弦 的距离 为 7 2m 你能求出赵州桥的主桥拱的半径吗 BA C O M D A B C D O E A B O E A B O E D A B O E D R E D BA C CBD O A C E D O F 注 在半径 r 弦 a 弦心距 d 拱高 h 四个量中 任意知道其中的 个量中 利用 定理 就可以求出其余的量 3 如图 两圆都以点 O 为圆心 求证 AC BD 二 教师点拔二 教师点拔 1 圆是轴对称图形 经过圆心的 都是它的对称轴 由此可得出垂径定理 垂 直于弦的直径 弦 并且 弦所对的两条弧 平分弦 不是直径 的直径 于 弦 并且 弦所对的两条弧 如果具备垂径定理五个条件中的任何两个 那么也就 具备其他三个及其推论 可以概括如下 对于一个圆和一条直线来说 如果一条直线具 备 经过圆心 垂直于弦 平分弦 不是直径 平分弦所对的优弧 平分 弦所对的劣弧 五个条件中的任何两个 那么也就具备了其他三个 在圆的有关计算和 证明中 常作圆心到 的垂线段 这样不仅为利用垂径定理创造条件 而且为构造直 角三角形利用勾股定理 沟通已知与未知量之间的关系创造条件 2 本节学习的数学方法是数形结合和转化思想 三 课堂检测三 课堂检测 P82P82 练习练习 1 1 2 2 四 课外训练四 课外训练 1 P 为 O 内一点 OP 3cm O 半径为 5cm 则经过 P 点的最短弦长为 最 长弦长为 2 如图 5 OE OF 分别为 O 的弦 AB CD 的弦心距 如果 OE OF 那么 只需 写一个正确的结论 5 6 3 如图 6 O 直径 AB 和弦 CD 相交于点 E AE 2 EB 6 DEB 30 则弦 CD 长 4 如图 一条公路的转弯处是一段圆弦 即图中 CD 点 O 是 CD 弧所在圆的圆心 其中 CD 300m E 为 CD 弧上一点 且 OE CD 垂足为 F EF 45m 求这段弯路的半径 5 AB 和 CD 分别是 O 上的两条弦 圆心 O 到它们的距离分别是 OM 和 ON 如果 AB CD OM 和 ON 的大小有什么关系 为什么 B A C E D O B A C E D O F M M O A B C D B A O B B A A O 24 1 3 弧 弦 圆心角学案弧 弦 圆心角学案 学习目标 知识与技能知识与技能 1 理解圆的旋转不变性 掌握圆心角的概念以及弧 弦 圆心角之间的相等关系 并能运用这些关系 解决有关的证明 计算 2 弧 弦 圆心角之间的相等关系是论证同圆或等圆中弧相等 角相等 线段相等的主要依据 过程与方法过程与方法 经历探索发现圆的旋转不变性 证明圆心角 弦 弧之间的关系 情感 态度与价值观情感 态度与价值观 学生通在探索圆的旋转不变性 圆心角 弧 弦之间关系过程中体验其成立的喜悦 重点重点 弧 弦 圆心角之间的相等关系 难点难点 定理的证明 学习过程 一 自主学习一 自主学习 一 复习巩固 1 圆是轴 图形 任何一条 所在直线都是它的对称轴 2 垂径定理 推论 二 自主探究 如图所示 AOB 的顶点在圆心 像这样顶点在圆心的角叫做 请同学们按下列要求作图并回答问题 如图所示的 O 中 分别作相等的圆心角 AOB 和 A OB 将圆心角 AOB 绕圆旋转 到 A OB 的位置 你能发现哪些等量关系 为什么 相等的弦 相等的弧 理由 结论 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的 相等 所对的弦也 表达式 同样 还可以得到 在同圆或等圆中 如果两条弧相等 那么它们所对的 相等 所对的弦也 表达式 O B A C E D F 在同圆或等圆中 如果两条弦相等 那么它们所对的圆心角 所对的 也相等 表达式 注 同圆或等圆中 两个圆心角 两条弧 两条弦中有一组量相等 它们所对应的其 余各组量也 新 课 标 第 一 网 三 归纳总结 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的 相等 所对的弦也 在同圆或等圆中 如果两条弧相等 那么它们所对的 相等 所对的弦也 在同圆或等圆中 如果两条弦相等 那么它们所对的圆心角 所对的 也相等 四 自我尝试 1 如图 在 O 中 AB AC ACB 60 求证 AOB BOC AOC 2 如图 AB CD 是 O 的两条弦 1 如果 AB CD 那么 2 如果 AB CD 那么 3 如果 AOB COD 那么 4 如果 AB CD OE AB 于点 E OF CD 于点 F OE 与 OF 相等吗 为什么 3 如图 AB 是 O 的直径 BC CD DE COD 35 求 AOE 的度数 二 教师点拔二 教师点拔新 课 标 第 一 网 1 根据圆的旋转不变性 可以得出关于圆心角 弧 弦之间的关系 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 反过来也成立 也就是说 在同圆或等圆中 如果两个圆 心角 两条弧 两条弦中有一组量相等 那么它们所对应的其余各组量都相等 特别注 意的是 运用本知识点时应注意其成立的条件 同圆或等圆中 本知识点是证明弦相 等 弧相等的常用方法 在同圆或等圆中 圆心角和弧间的倍分关系可以互相转化 但 O BC A OA B E D C 与弦之间倍分关系就不能互相转化 2 本节学习的数学方法是归纳 化思想 三 课堂检测三 课堂检测 1 已知 O 的半径为 2 弦 AB 所对的劣弧为圆的 则弦 AB 的长为 AB 的弦心距为 3 1 2 如图 5 在半径为 2 的 O 内有长为的弦 AB 则此弦所对的圆心角 AOB 32 3 如图 6 在 O 中 弦 AB CD 求证 1 DB AC 2 BOD AOC 7 4 如果两个圆心角相等 那么 A 这两个圆心角所对的弦相等 B 这两个圆心角所对的弧相等 C 这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D 以上说法都不对 5 在同圆中 圆心角 AOB 2 COD 则两条弧 AB 与 CD 关系是 A AB 2CD B AB 2CD C AB 2CD D 不能确定 6 如图 7 O 中 如果 AB 2AC 那么 A AB 2AC B AB AC C AB2AC 7 P83 练习 1 2 四 课外训练四 课外训练 1 一条弦长恰好为半径长 则此弦所对的弧是半圆的 2 圆内接梯形 ABCD 中 AB CD O 半径为 13 AB 24 CD 10 则梯形面积为 3 如图 在 O 中 C D 是直径 AB 上两点 且 AC BD MC AB ND AB M N 在 O 上 1 求证 AM BN 2 若 C D 分别为 OA OB 中点 则AM MN NB成立吗 4 如图 AOB 90 C D 是 AB 三等分点 AB 分别交 OC OD 于点 E F 求证 AE BF CD O B A C 图 5 O AB 图 6 B D O A C 24 1 4 圆周角学案 圆周角学案 1 学习目标 知识与技能知识与技能 理解圆周角的概念及其相关性质 并能运用相关性质解决有关问题 过程与方法过程与方法 经历探索圆周角的有关性质的过程 体会分类 转化等数学思想方法 学会数学地思 考问题 情感 态度与价值观情感 态度与价值观 在探求新知的过程中学会合作 交流体会数学中的分类转化等方法 重点重点 圆周角及圆周角定理 难点难点 圆周角定理的应用学习过程 图 1 一 自主学习一 自主学习 一 复习巩固 1 叫圆心角 2 在同圆或等圆中 圆心角的度数等于它所对的 度数 二 自主探究 1 如图 1 点 A 在 O 外 点 B1 B2 B3在 O 上 点 C 在 O 内 度量 A B1 B2 B3 C 的大小 你能发现什么 B1 B2 B 有什么共同的特征 归纳得出结论 顶点在 并且两边 的角叫做圆周角 强调 条件 识别图形 判断下列各图中的角是否是圆周角 并说明理由 2 如图 AB 为 O 的直径 BOC BAC 分别是 BC 所对的圆心角 圆周角 求出图 中 BAC 的度数 O C B A 图 2 通过计算发现 BAC BOC 试证明这个结论 3 如图 2 BC 所对的圆心角有多少个 BC 所对的圆周角有多少个 请在图中画出 BC 所对的 圆心角和圆周角 并与同学们交流 4 思考与讨论 1 观察上图 在画出的无数个圆周角中 这些圆周角与圆心 O 有几种位置 2 设 BC 所对的圆周角为 BAC 除了圆心 O 在 BAC 的一边上外 圆心 O 与 BAC 还有哪几种 位置关系 对于这几种位置关系 结论 BAC BOC 还 2 1 成立吗 试证明之 通过上述讨论总结归纳出圆周角定理 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的 相等 都等于这条弧所对的 表达式 在同圆或等圆中 如果两个圆周角相等 它们所对的弧一定 表达式 三 归纳总结 1 圆周角与圆心角的相同点是 不同点是 2 一条弧所对的圆周角与圆心角有三种位置关系 即圆心角的顶点在圆周角的 四 自我尝试 1 如图 1 点 A B C D 在 O 上 点 A 与点 D 在点 B C 所在直线的同侧 BAC 350 1 BDC 理由是 2 BOC 理由是 O A B C D 图 1 图 2 图 3 2 如图 2 点 A B C 在 O 上 1 若 BAC 60 求 BOC 2 若 AOB 90 求 ACB 3 如图 3 点 A B C 在 O 上 点 D 在圆外 CD BD 分别交 O 于点 E F 比较 BAC 与 BDC 的大小 并说明理由 二 教师点拔二 教师点拔 圆周角的性质 一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的 对于这一结论要 掌握同一条弧所对的圆周角与圆心角的三种位置关系 即圆心角的顶点在圆周角的 在同一个圆中 同弧或等弧所对的圆周角 都等于这条 弧所对的圆心角的 在同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧相等 该结论是证明 相等或 相等的常用方法 由角找弧 由弧找角 半圆 或直径 所对的圆周角 是 90 的圆周角所对的弦是 这一结论 一是用来确定圆心 二是为在圆中 确定直角 构成垂直关系创造条件 并为在圆中证明直径提供了理论依据 三 课堂检测三 课堂检测 1 如图 4 点 A B C 在 O 上 点 D 在 O 内 点 A 与点 D 在点 B C 所在直线的同侧 比较 BAC 与 BDC 的大小 并说明理由 图 4 图 5 图 6 2 如图 5 AC 是 O 的直径 BD 是 O 的弦 EC AB 交 O 于 E 图中哪些与 BOC 相 2 1 等 请分别把它们表示出来 3 如图 6 在 O 中 弦 AB CD 相交于点 E BAC 40 AED 75 求 ABD 的度数 4 P86 练习练习 1 四 课外训练四 课外训练 1 如图 ABC 的 3 个顶点都在 O 上 ACB 40 则 AOB OAB 2 如图 点 A B C D 在同一个圆上 四边形 ABCD 的对角线把 4 个内角分成 8 个角 在这 8 个角中 有几对相等的角 请把它们分别表示 3 如图 AB 是 O 的直径 BOC 120 CD AB 则 ABD 4 如图 ABC 的 3 个顶点都在 O 上 BAC 的平分线交 BC 于点 D 交 O 于点 E 则图 中相等的圆周角有 5 如图 点 A B C D 在 O 上 ADC BDC 60 判断 ABC 的形状 并说明理由 24 1 4 圆周角学案 圆周角学案 2 学习目标 知识与技能知识与技能 掌握直径 或半圆 所对的圆周角是直角及 90 的圆周角所对的弦是直径的性质 并能运用此性质解 决问题 过程与方法过程与方法 经历圆周角性质的过程 培养学生分析问题和解决问题的能力 情感 态度与价值观情感 态度与价值观 激发学生探索新知的兴趣 培养刻苦学习的精神 进一步体会数学源于生活并用于生活 重点重点 圆周角的推论学习 难点难点 圆周角推论的应用 一 自主学习一 自主学习 一 复习巩固 1 如图 点 A B C D 在 O 上 若 BAC 40 则 1 BOC 理由是 1 BDC 理由是 O C B A 第 2 题 O C B A E O D C BA E O D C B A 2 如图 在 ABC 中 OA OB OC 则 ACB 3 如图 在 O 中 ABC 是等边三角形 AD 是直径 则 ADB DAB 4 如图 AB 是 O 的直径 若 AB AC 求证 BD CD 二 自主探究 1 如图 BC 是 O 的直径 它所对的圆周角是锐角 钝角 还是直角 为什么 引导学生探究问题的解法 2 如图 在 O 中 圆周角 BAC 90 弦 BC 经过圆心吗 为什么 三 归纳总结 1 归纳自己总结的结论 新 课 标 第 一 网 1 2 注意 1 这里所对的角 90 的角必须是圆周角 2 直径所对的圆周角是直角 在圆的有关问题中经常遇到 同学们要高度重视 四 自我尝试 1 如图 AB 是 O 的直径 弦 CD 与 AB 相交于点 E ACD 60 ADC 50 求 CEB 的度数 2 如图 ABC 的顶点都在 O 上 AD 是 ABC 的高 AE 是 O 的直径 求证 DAC BAE O D C B A 第 1 题 O D C B A 第 3 题 O D C B A 第 4 题 O A B C F E O D C B A A B E C D O 3 变式 如图 ABF 与 ACB 中 C 与 ABF 相等吗 4 如图 A B E C 四点都在 O 上 AD 是 ABC 的高 CAD EAB AE 是 O 的直径吗 为什么 二 教师点拔二 教师点拔 1 两条性质 2 直径所对的圆周角是直角是圆中常见辅助线 三 课堂检测三 课堂检测 1 如图 AB 是 O 的直径 A 10 则 ABC 2 如图 AB 是 O 的直径 CD 是弦 ACD 40 则 BCD BOD 3 如图 AB 是 O 的直径 D 是 O 上的任意一点 不与点 A B 重合 延长 BD 到点 C 使 DC BD 判断 ABC 的形状 4 如图 AB 是 O 的直径 AC 是弦 BAC 30 则 AC 的度数是 A 30 B 60 C 90 D 120 四 课外训练四 课外训练新 课 标 第 一 网 1 如图 AB CD 是 O 的直径 弦 CE AB 弧 BD 与弧 BE 相等吗 为什么 2 如图 AB 是 O 的直径 AC 是 O 的弦 以 OA 为直径的 D 与 AC 相交于点 E AC 10 求 AE 的长 E O D C B A 第 1 题 A B C DO E 第 2 题 3 如图 点 A B C D 在圆上 AB 8 BC 6 AC 10 CD 4 求 AD 的长 4 利用三角尺可以画出圆的直径 为什么 你能用这种方法确定一个圆形工件的圆心吗 5 如图 ABC 的 3 个顶点都在 O 上 直径 AD 4 ABC DAC 求 AC 的长 6 如图 AB 是 O 的直径 CD AB P 是 CD 上的任意一点 不与点 C D 重合 APC 与 APD 相等吗 为什么 7 如图 AB 是 O 的直径 CD 是 O 的弦 AB 6 DCB 30 求弦 BD 的长 C D AB 第 3 题 o o C B A 8 如图 ABC 的 3 个顶点都在 O 上 D 是 AC 的中点 BD 交 AC 于点 E DCB DEC 吗 为什么 9 如图 在 O 中 直径 AB 10 弦 AC 6 ACB 的平分线交 O 于点 D 求 BC 和 AD 的长 24 2 1 点和圆位置关系学案点和圆位置关系学案 学习目标 知识与技能知识与技能 弄清并掌握点和圆的三种位置关系及数量间的关系 探求过点画圆的过程 掌握过不在同一直线上三 点画圆方法 了解运用 反证法 证明命题的思想方法 过程与方法过程与方法 通过生活中的实际事例 探求点和圆三种位置关系 并提炼出相关的数学知识 从而渗透数形结合 分类讨论等数学思想 情感 态度与价值观情感 态度与价值观 通过本节知识的学习 体验点和圆的位置关系与生活中的射击 投掷等活动紧密相连 感知数学就在 我们身边 从而更加热爱生活 激发学习数学的兴趣 重点重点 圆的三种位置关系 三点的圆 证法 难点难点 线和圆的三种位置关系及数量间的关系 反证法 学习过程 一 自主学习一 自主学习 一 复习巩固 1 圆的定义是 2 什么是两点间的距离 二 自主探究 1 放寒假了 爱好运动的小华 小强 小兵三人相邀搞一次掷飞镖比赛 他们把靶子钉在 一面墙上 规则是谁掷出落点离红心越近 谁就胜 如下图中 A B C 三点分别是他们三 人某一轮掷镖的落点 你认为这一轮中谁的成绩好 2 观察下图这些点与圆的位置关系有哪几种 3 点与圆的位置与这些点到圆心的距离有何关系 到圆心的距离等于半径的点在 大于半径的点在 小于半径的点在 4 在平面内任意取一点 P 若 O 的半径为 r 点 P 到圆心 O 的距离为 d 那么 点 P 在圆 d r 点 P 在圆 d r 点 P 在圆 d r 5 若 A 的半径为 5 点 A 的坐标为 3 4 点 P 的坐标为 5 8 则点 P 的位置为 A 在 A 内 B 在 A 上 C 在 A 外 D 不确定 6 两个圆心均为 O 的甲 乙两圆 半径分别为 r1和 r2 且 r1 OA r2 那么点 A 在 A 甲圆内 B 乙圆外 C 甲圆外 乙圆内 D 甲圆内 乙圆外 7 探索确定圆的条件 经过一点可以作无数条直线 经过二点只能作一条直线 那么 经过一点能作几个圆 经过二点 三点呢 请同学们按下面要求作圆 1 作圆 使该圆经过已知点 A 你能作出几个这样的圆 2 作圆 使该圆经过已知点 A B 你是如何做的 你能作出几个这样的圆 其圆心的 分布有什么特点 与线段 AB 有什么关系 为什么 3 作圆 使该圆经过已知点 A B C 三点 其中 A B C 三点不在同一直线上 你 是如何做的 如何确定圆心 你能作出几个这样的圆 结论 不 在同一直线上的三个点确定 圆 8 经过三角形的三个顶点可以做一个圆 这个圆叫做三角形的 圆 外接圆的圆心是三角形三条边 的交点 叫做这个三角形的 心 rrr P P P 9 用反证法的证明 经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆 证明 如图 假设过同一直线 L 上的 A B C 三点可以作一个圆 设这个圆的圆心为 P 那么点 P 既在线段 AB 的垂直平分线 L1 又在线段 的垂直平分线 L2 即点 P 为 L1与 L2的 点 而 L1 L L2 L 这与我们以前所学的 过一点有且只有 条直 线与已知直线 矛盾 所以 过同一直线上的三点不能作 圆 上面的证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同 它不 是直接从命题的已知得出结论 而是假设命题的结论不成立 即假设过同一直线上的三点 可以作一个圆 由此经过推理得出矛盾 由矛盾断定所作假设不正确 从而得到命题成 立 这种证明方法叫做 在某些情景下 反证法是很有效的证明方法 10 用反证法证明 若 A B C 分别是的三个内角 则其中至少有一个角不ABC 大于 60 11 判断正误 经过三个点一定可以作圆 任意一个三角形一定有一个外接圆 任意一个圆一定有一内接三角形 并且只有一 个内接三角形 三角形的外心到三角形各个顶点的距离都相等 三 归纳总结 1 点和圆的位置关系有 和 不在 的三个点确定 一个圆 2 反证法是 四 自我尝试 1 已知 P 的半径为 3 点 Q 在 P 外 点 R 在 P 上 点 H 在 P 内 则 PQ 3 PR 3 PH 3 2 O 的半径为 10cm A B C 三点到圆心的距离分别为 8cm 10cm 12cm 则点 A B C 与 O 的位置关系是 点 A 在 点 B 在 点 C 在 3 正方形 ABCD 的边长为 2cm 以 A 为圆心 2cm 为半径作 A 则点 B 在 A 点 C 在 A 点 D 在 A 4 某地出土一明代残破圆形瓷盘 如图所示 为复制该瓷盘确定 其圆心和半径 请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心 5 下列图形中四个顶点在同一个圆上的是 A 矩形 平行四边形 B 菱形 正方形 C 正方形 平行四边形 D 矩形 等腰梯形 6 一个三角形的外心在三角形的内部 则这个三角形是 三角形 7 在中 则此三角形的外心ABC cmAB8 cmAC15 cmBC17 是 外接圆的半径为 8 在中 外心到的距离为 则外接圆的半径为 ABC cmBC24 OBCcm6ABC 9 已知矩形的边 ABCDcmAB3 cmAD4 以点为圆心 为半径作 求点 与 的位置关系 Acm4ABCDA 若以点为圆心作 使得 三点中有且只有一点在圆外 求 的半径AABCDA l2 l1 B AC P 的取值范围 r 二 教师点拔二 教师点拔 1 三角形外接圆的圆心叫三角形的 它是三角形三边 的交点 三角形的 外心到三角形的 的距离相等 要注意的是 锐角三角形的外心在三角形的 直角三角形的外心是三角形是三角形的 钝角三角形的外心在三角形的 反之成立 2 反证法是证明问题的一种方法 反证法证明的一般步骤 首先假设 不成立 然后进行 得出与所设相矛盾 或与已知矛盾 或与学过的定义 定理 公理 等相矛盾 最后得出结论 成立 三 课堂检测三 课堂检测 1 已知 的直径为 若点是 内部一点 则的长度的取值范围为 Ocm6POOP A B C D 6 OP3 OP30 OP30 OP 2 直角三角形的两条直角边分别为和 5 则其外接圆的半径为 12cmcm A 5 B 12 C 13 D 6 5cmcmcmcm 3 下列命题不正确的是 A 三点确定一个圆 B 三角形的外接圆有且只有一个 C 经过一点有无数个圆 D 经过两点有无数个圆 4 是平面内的三点 下列说法正确的是 ABC3 AB3 BC6 AC A 可以画一个圆 使 都在圆上 B 可以画一个圆 使 在圆上 ABCAB 在圆外C C 可以画一个圆 使 在圆上 在圆外 D 可以画一个圆 使 在圆上 ACBBC 在圆内A 5 三角形的外心是 A 三角形三条中线的交点 B 三角形三条高的交点 C 三角形三条角平分线的交点 D 三角形三条边的垂直平分线的交点 6 若 的半径为 5 圆心的坐标为 3 4 点的坐标 5 8 则点的位置为 AAPP A 内 B 上 C 外 D 不确定AAA 7 P93 练习练习 1 2 3 4 四 课外训练四 课外训练 1 已知 的半径为 5 为一点 当时 点在 当 OcmPcmOP5 POP 时 点在圆内 当时 点在 PcmOP5 P 2 已知的三边长分别为 6 8 10 则这个三角形的外接圆的面积为ABC cmcmcm 结果用含 的代数式表示 2 cm 3 如图 通过防治 非典 人们增强了卫生意识 大街随地乱扔生活垃圾的人少了 人 们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中 如图所示 为市内的三个住宅小区 环保ABC 公司要建一垃圾回收站 为方便起见 要使得回收站建在三个小区都相等的某处 请问如 果你是工程师 你将如何选址 4 如图 在中 以点为圆心 ABC 90ACB 30AABCD cmAC3 C 为半径画 请判断 与 的位置关系 并说明理由 3cmCABDC 24 2 2 直线和圆的位置关系学案 直线和圆的位置关系学案 1 学习目标 知识与技能知识与技能 了解直线和圆的三种位置关系 掌握运用圆心到直线的距离的数量关系或用直线和圆交点个数来确定 直线与圆的三种位置关系的方法 了解切线 割线的概念 过程与方法过程与方法 通过生活中的实际事例 探求直线和圆三种位置关系 并提炼出相关的数学知识 从而渗透数形结合 分类讨论等数学思想 情感 态度与价值观情感 态度与价值观 通过本节知识的操作 实验 发现 确认等数学活动 从探索直线和圆的位置关系中 体会运动变化 的观点 量变到质变的辩证唯物主义观点 感受数学中的美感 重点重点 直线与圆的三种位置关系 会正确判断直线和圆的位置关系 难点难点 会正确判断直线和圆的位置关系 学习过程 一 自主学习一 自主学习 一 复习巩固 复习点与圆的位置关系 回答问题 如果设 O 的半径为 r 点 P 到圆心的距离为 d 请你用 d 与 r 之间的数量关系表示点 P 与 O 的位置关系 二 自主探究 1 操作 请你画一个圆 上 下移动直尺 思考 在移动过程中它们的位置关系发生了怎样的变化 请你描述这种变化 讨论 通过上述操作说出直线与圆有几种位置关系 直线与圆的公共点个数有何变化 2 直线与圆有 种位置关系 直线与圆有两个公共点时 叫做 这条直线 叫 做圆的 直线与圆有惟一公共点时 叫做 这条直线叫做 这个公共点叫做 新 课 标 第 一 网 直线和圆没有公共点时 叫做 3 下图是直线与圆的三种位置关系 请观察垂足 D 与 O 的三种位置关系 说出这三种 位置关系同直线与圆的三种位置关系的联系 4 探索 若 O 半径为 r O 到直线 l 的距离为 d 则 d 与 r 的数量关系和直线与圆的位置 关系 直线与圆 d r 直线与圆 d r 新 课 标 第 一 网 直线与圆 d r 5 在 ABC 中 A 45 AC 4 以 C 为圆心 r 为半径的圆与直线 AB 有怎样的位 置关系 为什么 1 r 2 2 r 2 3 r 32 三 归纳总结 新课标第一网 1 直线与圆有 种位置关系 分别是 2 若 O 半径为 r O 到直线 l 的距离为 d 则 d 与 r 的数量关系和直线与圆的 位置关系 直线与圆 d r 直线与圆 d r 直线与圆 d r 四 自我尝试 在 ABC 中 AB 5cm BC 4cm AC 3cm 1 若以 C 为圆心 2cm 长为半径画 C 则直线 AB 与 C 的位置关系如何 2 若直线 AB 与半径为 r 的 C 相切 求 r 的值 3 若直线 AB 与半径为 r 的 C 相交 试求 r 的取值范围 二 教师点拔二 教师点拔新课标第一网 圆心到直线的距离与半径的大小关系是决定圆与直线位置关系的重要因素 当我们 判断直线与圆的位置关系时 应该用数量关系来说明 从而断定是哪种关系 另外用直 线与圆的交点的个数来确定直线与圆的位置关系 直线与圆没有公共点 直线与圆 直线与圆有一个公共点 直线与圆 直线与圆有两个公共点 直线与圆 三 课堂检测三 课堂检测 1 圆 O 的直径 4 圆心 O 到直线 L 的距离为 3 则直线 L 与圆 O 的位置关系是 A 相离 B 相切 C 相交 D 相切或相交 2 直线 上的一点到圆心 O 的距离等于 O 的半径 则直线 与 O 的位置关系是 ll A 相切 B 相交 C 相离 D 相切或相交 3 直角三角形 ABC 中 C 900 AB 10 AC 6 以 C 为圆心作圆 C 与 AB 相切 则圆 C 的半径为 6 D 4 8 4 在直角三角形 中 角 厘米 厘米 以 为圆心 为 r 半径作圆 当 r 厘米 圆 与 位置关系是 r 4 8 厘米 圆 与 位置关系是 r 厘米 圆 与 位置关系是 5 已知圆 的直径是 厘米 点 到直线 的距离为 d 若 与圆 相切 则 d 厘米 若 d 厘米 则 与圆 的位置关系是 若 d 厘米 则 与圆 有 个公共点 6 P94 练习 1 2 四 课外训练四 课外训练 1 已知圆 的半径为 r 点 到直线 的距离为 厘米 1 若 r 大于 厘米 则 与圆 的位置关系是 2 若 r 等于 厘米 与圆 有 个公共点 若圆 与 相切 则 r 厘米 2 已知 Rt ABC 的斜边 AB 6cm 直角边 AC 3cm 以点 C 为圆心 半径分别为 2cm 和 4cm 画两圆 这两个圆与 AB 有怎样的位置关系 当半径多长时 AB 与 C 相切 3 如图 AOB 30 点 M 在 OB 上 且 OM 5cm 以 M 为圆心 r 为半径画圆 试讨论 r 的大小与所画 M 和射线 OA 的公共点个数之间的对应关系 O O B B A A MM 24 2 2 直和圆位置关系 直和圆位置关系 2 学习目标 知识与技能知识与技能 1 了解切线的概念 掌握切线的性质定理和判定定理 2 会过圆上一点画圆的切线 过程与方法过程与方法 经历切线的判定定理及性质定理的探究过程 养成能自主探索 又能合作探究的良好学习习惯 情感 态度与价值观情感 态度与价值观 体验切线在实际生活中的应用 感受数学就在我们身边 感受证明过程的严谨性及结论的确定性 重点重点 切线的性质定理和判定定理 难点难点 切线的性质定理和判定定理 学习过程 一 自主学习一 自主学习 一 复习巩固 1 直线和圆的位置关系有哪些 它们所对应的数量关系又是怎样的 2 判断直线和圆的位置关系有哪些方法 特别地 判断直线与圆相切有哪些方法 二 自主探究 1 探索直线与圆相切的另一个判定方法 如下图 O 中 直线l经过半径 OA 的外端 点 A 作且直线l OA 你能判断直线l与 O 的位置关系吗 你能说明理由吗 理由 结论 总结切线判定定理 定理的符号语言 如何作一个圆的切线 2 思考探索 如图 直线 l 与 O 相切于点 A OA 是过切点的半径 直线 l 与半径 OA 是否一定垂直 你能说明理由吗 理由吗 反证法证明 切线的性质定理 定理的符号语言 3 如图 ABC 内接于 O AB 是 O 的直径 CAD ABC 判断直线 AD 与 O 的位置 关系 并说明理由 三 归纳总结 1 判断直线与圆相切有哪些方法 2 直线与圆相切有哪些性质 3 在已知切线时 常作什么样的辅助线 四 自我尝试 如图 PA PB 是 O 的切线 切点分别为 A B C 是 O 上一点 若 APB 40 求 ACB 的度数 二 教师点拔二 教师点拔 相切是直线与圆位置关系中最理想 最漂亮 最具有美学性的关系 本节内容的探 索与推敲向我们揭示出 抓住有价值的特殊现象作深入细致的研究 可以增强创新能力 和素质 在解决与圆有关的问题时 常常需要添加辅助线 已知直线是圆的切线时 通常 需要连接 和 这条半径垂直于切线 要证明一条直线是圆的切线时 如果 直线经过圆上某一点 则需要连接 和 得到辅助线半径 再证明所作半径垂直于 这条直线 总结为 已知公共点 连半径证垂直 如果已知条件中直线与圆的公共点 没有确定 那么应过 作直线的 得垂线段 再证明这条垂线段的长等于半径 总结为 未知公共点 作垂线证半径 三 课堂检测三 课堂检测 1 如图 AB 为 O 的直径 BC 为 O 的切线 AC 交 O 于点 D 图中互余的角有 A 1 对 B 2 对 C 3 对 D 4 对 2 如图 PA 切 O 于点 A 弦 AB OP 弦垂足为 M AB 4 OM 1 则 PA 的长为 A B C D 2 5 55254 3 已知 如图 直 O 线 BC 切于点 C PD 是 O 的直径 A 28 B 26 PDC 4 P96 练习练习 1 2 四 课外训练四 课外训练 1 如图 AB 是 O 的直径 MN 切 O 于点 C 且 BCM 38 求 ABC 的度数 2 如图在 ABC 中 AB BC 以 AB 为直径的 O 与 AC 交于点 D 过 D 作 DF BC 交 AB 的延长 线于 E 垂足为 F 求证 直线 DE 是 O 的切线 3 如图 AB CD 是两条互相垂直的公路 ACP 45 设计师想在拐弯处用一段圆弧形弯道 把它们连接起来 圆弧在 A C 两点处分别与道路相切 你能在图中画出圆弧形弯道的示意 图吗 24 2 2 直和圆位置关系学案 直和圆位置关系学案 3 学习目标 知识与技能知识与技能 1 掌握切线长的概念及切线长定理 2 掌握三角形的内切圆及内心等概念 3 会作三角形的内切圆 过程与方法过程与方法 MM P P D D D D O O B B A A C C O O A A P P O O A A B B B B C C O O A A MM N N B B C C A A P P C C B B D D 1 利用圆的轴对称性帮助探索切线长的特征 2 结合求三角形内面积最大的圆的问题 给出了三角形的内切圆和内心的概念 3 类比思想 数形结合 方程思想的运用 情感 态度与价值观情感 态度与价值观 通过操作 实验 发现 证明等数学活动 探索数学结论 激发学生学习数学的兴趣 重点重点 切线长定理 难点难点 内切圆 内心的概念及运用 学习过程 一 自主学习一 自主学习 一 复习巩固 1 三角形的外心 2 角平分线的性质定理 3 切线的判定定理 4 切线的性质定理 二 自主探究 1 按探究要求 请同学们动手操作 思考 24 2 12 中 OB 是 O 的一条半径吗 PB 是 O 的切线吗 利用图形的轴对称性 说明圆中的 PA 与 PB APO 与 BPO 有什么关系 2 什么叫切线长 注意 切线和切线长是两个不同的概念 切线是 不能度量 切线长是 的长 这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点 可以度量 3 切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条 它们的切线长 这一点和圆心 的连线 两条切线的 4 常用辅助线 已知 PA PB 切 O 于 A B 1 2 4 3 图 1 中 有什么结论 图 2 中 连结 AB 增加了什么结论 图 3 中 再连结 OP 增加了什么结论 图 4 中 再连结 OA OB 又增加了什么结论 B A C E D O F 5 和三角形的各边都相切的圆 与三角形各边都 的圆叫做三角形的内切圆 内切圆的圆 心是三角形三条 的交点 叫做三角形的内心 注意 注意 接 与 切 是说明三角形顶点和边与圆的关系 顶点都在圆上的叫做 接 各边都与圆相切的叫做 切 三 归纳总结 1 圆的切线长概念 2 切线长定理 3 三角形的内切圆及内心的概念 四 自我尝试 1 如图 1 PA PB 分别切圆 O 于 A B 并与圆 O 的切线 分别相交于 C D 已知 PA 7cm 则 PCD 的周长等于 B A C D P O 1 2 如图 已知 O 是 ABC 的内切圆 切点为 D E F 如果 AB 2 BC 3 AC 1 且 ABC 的面积为 6 求内切圆的半径 r 提示 内心为 O 连接 OA OB OC 3 当 ABC 的内切圆的半径 r ABC 的周长为 L 求 ABC 的面积 二 教师点拔二 教师点拔 1 切线长是一条 长 是经过圆外一点向圆作的 这一点与切点间的线段 的长度 而切线是 不能度量它的长度 我们不能说两切线相等 而应该说 两 相等 2 作三角形的内切圆 关键是找圆心的位置和确定圆的半径大小 圆心就是三角形 而半径等于这个交点到三角形 的距离 由此可见 任何一个三角形 内切圆 而一个圆有 个外切三角形 三 课堂检测三 课堂检测 1 如图 3 PA PB 分别切圆 O 于 A B 两点 C 为劣弧 AB 上一点 APB 30 则 AOB B A C P O B A C E D O F 3 4 2 Rt 在 ABC 中 C 90 AC 6 BC 8 则 ABC 的内切圆的半径 r 3 如图 4 圆 O 内切 Rt ABC 切点分别是 D E F 则四边形 OECF 是 4 4 P98P98 练习练习 1 1 2 2 四 课外训练四 课外训练 1 如图所示 PA PB 是 O 的两条切线 A B 为切点 求证 ABO APB 1 2 2 圆外一点 P PA PB 分别切 O 于 A B C 为优弧 AB 上一点 若 ACB a 则 APB A 180 a B 90 a C 90 a D 180 2a 3 如图 3 边长为 a 的正三角形的内切圆半径是 4 如下图所示 EB EC 是 O 的两条切线 B C 是切点 A D 是 O 上两点 如果 E 46 DCF 32 求 A 的度数 B A C E D O F B A P O B A C O P A C B B A C E D O F 5 如图 已知 O 是 ABC 的内切圆 切点为 D E F 如果 AE 1 CD 2 BF 3 且 ABC 的面积为 6 求内切圆的半径 r 提示 内心为 O 连接 OA OB OC 6 如图 ABC 中 A O 是 ABC 的内心 求证 24 2 3 圆和圆位置关系学案圆和圆位置关系学案 学习目标 知识与技能知识与技能 弄清圆与圆的五种位置关系及如何用两圆的半径 R r 与圆心距 D 的数量间的关系来判别两圆的位置 关系 过程与方法过程与方法 通过生活中的实际事例 探求圆与圆的五种位置关系 并提炼出相关的数学知识 从而渗透运动 变化观点 数形结合 分类讨论原则等数学思想 情感 态度与价值观情感 态度与价值观 经过操作 实验 发现 确认等数学活动 从探索两圆位置关系的过程中 体会运动变化的观点 量 变到质变的辩证唯物主义 感受数学中的美感 重点重点 圆与圆的五种位置关系及其应用 难点难点 圆与圆的五种位置及数量间的关系 学习过程 一 自主学习一 自主学习 一 复习巩固 1 直线和圆有几种位置关系 各是怎样定义的 设圆心到直线的距离为 d 半径为 r 2 平面内点和圆的关系有多少种呢 设圆心与点的距离为 d 半径为 r 二 自主探究 1 古希腊的数学家毕达哥拉斯认为 一切平面图形中最美的是圆 在实际生活 中 我们所见到的不仅仅是单一的圆 很多都是有两个甚至更多的圆所组成的美丽图案 你发现了哪些好看的图案呢 结合课本 98 页的图片 让我们一起感受两圆的位置关系 并完成 99 页的探究 把你的结论写到下边 圆和圆具备 种位置关系 由远及近 分 别是 当两圆没有公共点时 可能具备的位置关系是 或 我们把它统称 为 当两圆有唯一公共点时 可能 或 统称为 当两圆 有 2 个公共点时 两圆 2 如果两圆的半径分别为 R r 圆心距为 d 则 两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切 两圆内含 完成表格 位置关系图形交点个数d 与 R r 的关系 4 O1和 O2的半径分别为 3cm 和 4cm 若两圆外切 则圆心距 d 若两圆内 切 则 d 若两圆外离 则 d 若两圆内含 则 d 若两圆相 交 则 d 满足 5 已知相切两圆的半径是一元二次方程 X2 7X 12 0 的两根 则这两个圆的圆心距是 6 两个半径相等的圆的位置关系有 种 它们是 7 O 的半径是 5 厘米 点 P 是 O 外一点 OP 8 厘米 以 P 为圆心作一个圆与 O 外 切 这个圆的半径应是多少 以 P 为圆心做一个圆与 O 内切呢 三 归纳总结 1 圆和圆的五种位置关系是 2 探讨圆和圆的五种位置关系圆心距 d 与 R 和 r 之间的关系 四 自我尝试 已知图中各圆两两相切 O 的半径为 2R O1 O2的半径为 R 求 O3的半径 二 教师点拔二 教师点拔 圆与圆的位置关系就好像识别点与圆 直线与圆的位置关系一样 也用数量关系来 体现与圆的位置关系 在识别圆与圆的位置关系时 关系式比较多 也难于记忆 如果 用数轴来体现圆与圆的位置关系 理解起来就会更深刻 记忆也会更容易 此外 在判 断两圆的位置关系时 要牢牢抓住两个特殊点 即 和 两点 当圆心距刚好 等于两圆的半径 时 两圆外切 等于两圆的半径 时 两圆内切 若圆心距处 于半径和与半径差之间时 两圆 大于两圆半径和时 两圆 小于两圆半 径差时 两圆 三 课堂检测三 课堂检测 1 已知两圆的半径分别为 5cm 和 7cm 圆心距为 9 cm 那么这两个圆的位置关系是 A 内切 B 相交 C 外切 D 外离 2 A 与 B 相切 圆心距为 10cm 其中 A 半径为 4cm 则 B 半径为 cm A 6 B 14 C 6 或 14 D 3 或 7 3 两圆内切时圆心距是 2 外切时圆心距是 6 则两圆的半径分别是 4 已知两圆的半径分别为 3 和 7 且这两圆有公共点 则这两个圆的圆心距 d 满足 5 如果两圆半径为 R r R r 圆心距为 d 若 R2 r2 d2 2Rd 则这两个圆的位置关系 是 6 6 P101P101 练习练习 1 1 2 2 3 3 4 4 四 课外训练四 课外训练 1 如图 国际奥委会会旗上的图案是由五个圆环组成 在这个图案中反映出的两圆位置关 系有 A 内切 相交 B 外离 相交 C 外切 外离 D 外离 内切 2 已知两圆的半径分别为 3cm 和 2cm 圆心距为 5cm 则两圆的位置关系是 A 外离 B 外切 C 相交 D 内切 3 若 O1与 O2的半径分别为 4 和 9 根据下列给出的圆心距 d 的大小 写出对应的两 圆的位置关系 1 当 d 4 时 两圆 2 当 d 10 时 两圆 3 当 d 5 时 两圆 4 当 d 13 时 两圆 5 当 d 14 时 两圆 4 已